9.1因式分解的概念 同步复习讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

本讲义聚焦“因式分解的概念”核心知识点，系统阐述因式分解的定义，明确其与整式乘法的互逆关系及恒等变形的检验方法，为后续学习提公因式法、公式法等因式分解技巧搭建基础认知支架。 资料通过20道精选选择题，覆盖因式分解与整式乘法的辨析、错误变形判断等易错点，助力学生在辨析中培养抽象能力和推理意识。课中辅助教师针对性讲解概念本质，课后学生可通过练习强化理解，有效查漏补缺。

第9章第1节 因式分解的概念 题型1 因式分解的意义 ▉题型1 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a2﹣4ab﹣4b2＝（a﹣2b）2 B．x2﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1 C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 D．ax+ay+a＝a（x+y+1） 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1 C． D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） 4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4 B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1 C．m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n） D．m2﹣4m﹣5＝（m﹣2）2﹣9 5．下列变形是因式分解的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．am+bm﹣m＝m（a+b） C．y2﹣y（y）2 D．9+6（x+y）+（x+y）2＝（x+y+3）2 6．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a） 7．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 ②m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） ③a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 ④2mR+2mr＝2m（R+r）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列各恒等变形属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x•y C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 9．下面四个多项式中，能进行因式分解的是（　　） A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2﹣1 D．x2+x+1 10．下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．属于正确的因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x⋅y C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 12．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B． C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z 13．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2 B．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．2a2+4a＝2a（a+2） 14．下列从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A．2a（a2﹣3b）＝2a3﹣6ab B．a2+9＝（a+3）（a﹣3） C．a2+2a+1＝（a+1）2 D．a2+4a+5＝a（a+4）+5 15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25 16．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+3x＝x（x+3） B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1 D．6xy2＝3x•2y2 17．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．6ab＝2a•3b 18．下列各式从左到右，是因式分解的是（　　） A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1 B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 19．下列变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1） D．x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4 20．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值． 解：设另一个因式是（2x+b）， 根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）． 展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b． 所以，，解得 所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章第1节 因式分解的概念 题型1 因式分解的意义 ▉题型1 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a2﹣4ab﹣4b2＝（a﹣2b）2 B．x2﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1 C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 D．ax+ay+a＝a（x+y+1） 【答案】D 【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下： A、a2﹣4ab﹣4b2＝（a﹣2b）2，等号左右两边不相等，故不符合题意； B、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、x2﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； D、ax+ay+a＝a（x+y+1）是因式分解，符合题意， 故选：D． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1 C． D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 【答案】D 【解答】解：根据因式分解的定义： A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，属于整式的乘法，A不符合题意； B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解， 故B不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解， 故C不符合题意； D、x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，属于因式分解， 故D符合题意； 故选：D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） 【答案】D 【解答】解：x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意； a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab是乘法运算，则B不符合题意； x（x+2y）＝x2+2xy是乘法运算，则C不符合题意； x2﹣2xy＝x（x﹣2y）符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4 B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1 C．m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n） D．m2﹣4m﹣5＝（m﹣2）2﹣9 【答案】C 【解答】解：m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4中等号右边不是积的形式，则A不符合题意， （m+1）（m﹣1）＝m2﹣1是乘法运算，则B不符合题意， m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）符合因式分解的定义，则C符合题意， m2﹣4m﹣5＝（m﹣2）2﹣9中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：C． 5．下列变形是因式分解的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．am+bm﹣m＝m（a+b） C．y2﹣y（y）2 D．9+6（x+y）+（x+y）2＝（x+y+3）2 【答案】D 【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是乘法运算，则A不符合题意； am+bm﹣m＝m（a+b）中左右两边不相等，则B不符合题意； y2﹣y（y）2中左右两边不相等，则C不符合题意； 9+6（x+y）+（x+y）2＝（x+y+3）2符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 6．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a） 【答案】B 【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、是因式分解，故本选项符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 ②m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） ③a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 ④2mR+2mr＝2m（R+r）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9是整式的乘法，不是因式分解，故①不正确； ②m2﹣4＝（m+2）（m﹣2），符合定义，是因式分解，故②正确 ③a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1右边不是积的形式，故③不正确； ④2mR+2mr＝2m（R+r），符合定义，是因式分解，故④正确； 故选：B． 8．下列各恒等变形属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x•y C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 【答案】D 【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 9．下面四个多项式中，能进行因式分解的是（　　） A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2﹣1 D．x2+x+1 【答案】C 【解答】解：A、x2+y2不能进行因式分解，故本选项错误； B、x2﹣y不能进行因式分解，故本选项错误； C、x2﹣1能利用平方差公式进行因式分解，故本选项正确； D、x2+x+1不能进行因式分解，故本选项错误． 故选：C． 10．下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．属于正确的因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①x2﹣x2y4＝x2（1﹣y4）＝x2（1﹣y2）（1+y2）＝x2（1+y）（1﹣y）（1+y2），故原题因式分解错误； ②x2﹣1+2x＝（x﹣1）2，故原题因式分解错误； ③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，正确； ④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解， 所以属于正确的因式分解的有1个． 故选：A． 11．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x⋅y C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 【答案】D 【解答】解：A．x2+2x+2＝x（x+2）+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．2xy2＝2x⋅y，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意； D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 12．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B． C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z 【答案】C 【解答】解：A、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意； D、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 13．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2 B．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．2a2+4a＝2a（a+2） 【答案】D 【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式的积，故B错误； C、是整式的乘法，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式的积，故D正确； 故选：D． 14．下列从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A．2a（a2﹣3b）＝2a3﹣6ab B．a2+9＝（a+3）（a﹣3） C．a2+2a+1＝（a+1）2 D．a2+4a+5＝a（a+4）+5 【答案】C 【解答】解：A．2a（a2﹣3b）＝2a3﹣6ab，从左边到右边的变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．多项式a2+9在实数范围内不能因式分解，故本选项不符合题意， C．a2+2a+1＝（a+1）2，从左边到右边的变形是因式分解，故本选项符合题意； D．a2+4a+5＝a（a+4）+5，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25 【答案】B 【解答】解：A、a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误； B、a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确； C、（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误； D、a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误； 故选：B． 16．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+3x＝x（x+3） B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1 D．6xy2＝3x•2y2 【答案】A 【解答】解：x2+3x＝x（x+3）符合因式分解的定义，则A符合题意； （x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则B不符合题意； x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意； 6xy2＝3x•2y2中6xy2是单项式，则D不符合题意； 故选：A． 17．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．6ab＝2a•3b 【答案】C 【解答】解：A、右边不是积的形式，故A选项错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误； C、是运用完全平方公式，符合因式分解的定义，故C选项正确； D、不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误． 故选：C． 18．下列各式从左到右，是因式分解的是（　　） A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1 B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 【答案】D 【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误； B、结果不是积的形式，故本选项错误； C、不是对多项式变形，故本选项错误； D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确． 故选：D． 19．下列变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1） D．x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4 【答案】C 【解答】解：A：等式左边为单项式相乘，右边为多项式相加，不符合概念，故本项错误； B：等式右边既有相乘，又有相加，不符合概念，故本项错误； C：等式左边为多项式相加，左边为单项式相乘，符合概念，故本项正确； D：等式右边既有相乘，又有相减，不符合概念，故本项错误． 故选：C． 20．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值． 解：设另一个因式是（2x+b）， 根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）． 展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b． 所以，，解得 所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设另一个因式是（3x+b）， 根据题意，得3x2+10x+m＝（x+4）（3x+b）． 展开，得3x2+10x+m＝3x2+（b+12）x+4b． 所以，，解得：， 所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8． 学科网（北京）股份有限公司 $