精品解析：北京市第二中学分校2025-2026学年度第二学期期中考试初二数学

北京市第二中学分校2025-2026学年度第二学期期中考试初二数学 第I卷（选择题 共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 经过二、三、四象限 C. 与轴的交点坐标为 D. 当时， 5. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形中，交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 且 7. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移单位长度后恰好经过点，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 8. 某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 10. 一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 11. 菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是______． 12. 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 13. 已知关于x的函数（是常数），与的部分对应值如下表：则______（从“”“””“”中选一个填空） x … 0 2 3 … y … s b t … 14. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，过点O作垂直交于点E，则的长是______． 15. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 16. 已知关于的一次函数，其中， （1）当时，则________； （2）当时，自变量始终能取到整数值，且整数值的个数不超过2个，则的取值范围为________． 三、解答题（共68分，其中第17-22每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 已知，求下列代数式的值． （1）_______，_______； （2）． 19. 如图，在平行四边形中，点在线段上，，完成下列作图和证明过程． （1）尺规作图：作的角平分线交线段于点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 证明：， ________． ________， ． _________ ． ， 且． _______．（_________） ， 四边形为菱形．（________） ．（________） 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中画出面积为5的正方形； （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，且矩形的边不与网格线平行，该矩形的面积为________． 21. 如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB． （1）求证：四边形ABEO是菱形； （2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是 ． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． （1）求点的坐标及直线的函数表达式； （2）直接写出点的坐标； （3）直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： （1）处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） （2）如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． （3）设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 26. 【课本原型】人教版八年级下册数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】小厉同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： （1）a的值为________； （2）在图中画出该函数的图象； （3）【数学思考】结合图象，下列说法正确的是：________； A．函数图象关于轴对称 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．函数图象与轴围成图形的面积为4 （4）【深入探究】函数图象上有两点和，当时，直接写出的取值范围． 27. 如图，在正方形中，为对角线，点是边上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点． （1）依题意补全图形，并求的度数； （2）判断线段、和之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于平面内一点及直线，设点到直线的距离分别为，且，称为点关于直线，的“二分率”． （1）已知点的坐标为，其中． ①当时，点关于轴，轴的“二分率”为_______； ②若线段上总存在点，使点关于轴，轴的“二分率”不小于4，求的取值范围； （2）已知直线分别与两坐标轴交于两点，若线段上存在唯一的点，使点关于轴，直线的“二分率”为4，请你直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二中学分校2025-2026学年度第二学期期中考试初二数学 第I卷（选择题 共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和乘法公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 需要逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：∵选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，正确． ∴ 计算错误的是C． 故选：C． 4. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 经过二、三、四象限 C. 与轴的交点坐标为 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小，故A错误． ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，故B错误． 令，得，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故C错误． ∵随的增大而减小，当时，， ∴当时，，故D正确． 5. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 已知四边形中，交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，需逐一分析各条件能否判定四边形为平行四边形，最终得到正确选项． 【详解】解：选项A：当时，四边形可以是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A错误． 选项B：当时，无法推出对角线互相平分或两组对边平行相等，不能判定是平行四边形，故B错误． 选项C：当 时，无法推出两组对边分别平行，不能判定是平行四边形，故C错误． 选项D：， ． ， ， ， 四边形中两组对边分别平行，因此四边形是平行四边形，故D正确． 7. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移单位长度后恰好经过点，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式求解的值即可． 【详解】解：将向下平移个单位长度后，得到的函数解析式为： ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入解析式得： ， 整理得 ， 解得 ． 8. 某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像，分段分析时间段内的最高温度和最低温度，从而确定温差的变化情况，结合选项即可得出答案． 【详解】解：由图像可知：当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，为定值； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且 综上所述，的图像在上为水平线段，其余时间段递增，且． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 10. 一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式推导出底边上高的计算式，代入已知的面积和底边长，利用二次根式的除法运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：设该底边上的高为， 整理计算得： 11. 菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，直角三角形的性质．，过点A作于点E，根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，，过点A作于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴它的面积是． 故答案为：． 12. 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大， 当时，，即． 不等式的解集为． 13. 已知关于x的函数（是常数），与的部分对应值如下表：则______（从“”“””“”中选一个填空） x … 0 2 3 … y … s b t … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解表格系数，掌握待定系数法是关键，根据表格信息，代入计算得到，运用作差法即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，过点O作垂直交于点E，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由矩形的性质结合勾股定理可求出，，又易证，即得出，代入数据即可求出，从而由求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∵垂直， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，根据“箭尺随箭壶中的水位匀速上浮”并结合表格，列出函数关系式，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得，至，读数从变成了； 至，读数从变成了， ∴箭尺每小时匀速上升， 以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为， ∴ 设当箭尺读数为时， 解得． ∴从经过8小时后，指示时间为． 16. 已知关于的一次函数，其中， （1）当时，则________； （2）当时，自变量始终能取到整数值，且整数值的个数不超过2个，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）将代入解析式即可求解； （2）令，根据题意得出，由题意得出解不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， ∴， ∵， ∴， （2）∵令 ∴ 当时， ∴ ∵自变量始终能取到整数值，整数值的个数不超过2个 ∴ 解得：或 三、解答题（共68分，其中第17-22每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并同类二次根式得出答案． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 18. 已知，求下列代数式的值． （1）_______，_______； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 19. 如图，在平行四边形中，点在线段上，，完成下列作图和证明过程． （1）尺规作图：作的角平分线交线段于点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 证明：， ________． ________， ． _________ ． ， 且． _______．（_________） ， 四边形为菱形．（________） ．（________） 【答案】（1） 解：如图所示， （2） ；平分；；四边形为平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；邻边相等的平行四边形是菱形；菱形对角线互相垂直 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中画出面积为5的正方形； （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，且矩形的边不与网格线平行，该矩形的面积为________． 【答案】（1） 解：如图所示， （2） 解：如图所示， （3） 如图所示， 该矩形的面积为 【解析】 【分析】（1）画出边长为的正方形，即可求解； （2）画出边长为的菱形，即可求解； （3）画出两边分别为的矩形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：矩形的边长分别为 矩形的面积为 21. 如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 【答案】 证明：∵点、分别是、的中点， ∴， ∵点是延长线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】根据中位线的性质可得，结合已知可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证 【详解】略 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．熟练掌握一次函数图象的平移，数形结合求解是解题的关键． （1）由平移可知，，将代入，求得，然后作答即可； （2）数形结合求解作答即可． 【小问1详解】 解：由平移可知，， 将代入中得，， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 由题意知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为且． 23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB． （1）求证：四边形ABEO是菱形； （2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是 ． 【答案】 （1）证明：， 四边形是平行四边形， 点是平行四边形对角线的交点，且， ， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据平行四边形的性质可得，再根据菱形的性质可得，然后利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后利用菱形的面积公式即可得． 【详解】（1） 略 （2）如图，连接，交于点， 四边形是平行四边形，且， ， 四边形是菱形， ， 在中，， ， 则四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． （1）求点的坐标及直线的函数表达式； （2）直接写出点的坐标； （3）直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入，即可求解； （3）过点作轴交于点，得出，设，进而分类讨论，根据三角形的面积公式，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入 ∴ ∴ 设直线的函数表达式为 将、代入 ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为 【小问2详解】 解：当时， ∴ 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交于点， 当时，，则，则 设 当在的上方时， ∴ 解得：， ∴ 当在的下方时，如图 ∴ 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为或 25. 某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： （1）处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） （2）如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． （3）设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 【答案】（1） ①如图所示： ②； （2） 解：不会发生永久形变． 理由如下： 当弹簧的长度为21时，弹簧的伸长量， 当时，． ， 不会发生永久形变． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长，弹力增加，即可确定关系式； （2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可． （3）根据，依题意，则 【小问1详解】 解：①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的伸长量（） ②根据题意得：每伸长，弹力增加， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵弹簧的劲度系数， ∵物块的质量大于物块的质量，质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大 ∴， 根据图形可得， ∴ 26. 【课本原型】人教版八年级下册数学课本，原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】小厉同学类比此函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： （1）a的值为________； （2）在图中画出该函数的图象； （3）【数学思考】结合图象，下列说法正确的是：________； A．函数图象关于轴对称 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．函数图象与轴围成图形的面积为4 （4）【深入探究】函数图象上有两点和，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 根据表中的数据，描点、连线，画图如下： （3）BD （4） 【解析】 【分析】（1）由表知，当时，；当时，，把它们代入函数式中，即可求得k、b的值，求得函数解析式，再求出时函数值即可求得a的值； （2）根据表中的数据，描点、连线即可； （3）根据所画函数图象，逐项分析解答即可； （4）根据和在上得出，，结合，得出． 【小问1详解】 解：由表知，当时，；当时，， 把它们代入函数式中，得：， 解得：， 故函数解析式为； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据所画函数图象关于直线对称，不是关于y轴对称，故A说法错误； 当时，函数图象是上升的，即y随x的增大而增大，故B说法正确； 当时，根据函数图象得：或，故C说法错误； 由表知，函数图象与x轴相交于、， 则函数图象与x轴围成图形的面积为，故D正确； 【小问4详解】 解： 和在上 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 27. 如图，在正方形中，为对角线，点是边上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点． （1）依题意补全图形，并求的度数； （2）判断线段、和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图， （2） 解： 证明如下：如图，过点作交于，过点作于，连接， ∵在正方形中，为对角线 ∴ ∴，同理可得 又∵ ∴ ， ∵ ∴， ∴， ， ， 为中点 ， ， ， 在中，， 在中， ∴ 即 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，证明得出，则是等腰直角三角形，即可求解； （2）过点作交于，过点作于，连接，，证明，得出，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，，根据三线合一得出，在中，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即是等腰直角三角形， ∴ 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于平面内一点及直线，设点到直线的距离分别为，且，称为点关于直线，的“二分率”． （1）已知点的坐标为，其中． ①当时，点关于轴，轴的“二分率”为_______； ②若线段上总存在点，使点关于轴，轴的“二分率”不小于4，求的取值范围； （2）已知直线分别与两坐标轴交于两点，若线段上存在唯一的点，使点关于轴，直线的“二分率”为4，请你直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，② （2）或 【解析】 【分析】（1）①求出各点到x轴和y轴的距离，即可得到“二分率”； ②根据新定义可得，推导出， （2）先将轴即上下平移至或，则在与构成的夹角的角平分线上运动，同理将沿其垂线方向平移4个单位，得到其角平分线，根据题意得出线段与上述角平分线只能有一个交点，找到临界值，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，点的坐标为， ∴点关于轴，轴的距离分别为， ∴点关于轴，轴的“二分率”为； ②∵点的坐标为，其中，则直线的解析式为， ∴点关于轴，轴的距离分别为，点关于轴，轴的“二分率”不小于4， ∴，即， ∴， 【小问2详解】 解：作直线，分别与直线交于，两点． 过点作与的两条角平分线，则上的点到直线与距离相等， 故上的点到直线与轴距离，且，． 同理，过点作与的两条角平分线，则的点到直线与距离相等 故上的点到直线与轴距离，且， 同理，将直线按照垂直于的方向平移个单位， 如图，即 当时，，解得：，则 当时，，解得：，则 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得, 过点作平行于的直线与轴的角平分线，故角平分线上的点到直线与轴距离，且 同理过点作平行于的直线与轴的角平分线，角平分线的点到直线与轴距离，且 若线段上存在唯一的点，使点关于轴，直线的“二分率”为，则线段与上述角平分线只能有一个交点， ①当过点时， ②当过点时，直线与的夹角为，设其解析式为 代入， 得， 解得：，即 ③当过点时，将代入得， 解得： ④当时，，解得：，则 当过点时，直线与的夹角为，设其解析式为代入得 解得： 即 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $