8.6.3 平面与平面垂直（2）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 第二课时 证明：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面BB1C1C B1C⊂平面BB1C1C ∴AB⊥B1C 又∵BC1⊥B1C，AB∩BC1=B , AB⊂平面 ABC1D1，BC1⊂平面 ABC1D1 复习回顾 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面 AB1 C⊥平面ABC1D1. ∴平面 AB1 C⊥平面ABC1D1. ∴B1 C⊥平面ABC1D1 又∵B1 C⊂平面AB1C 温故知新 线面垂直 面面垂直 判定 思考1：两个平面互相垂直，其中一个平面内的直线（异于交线）与另一个平面垂直吗? ？ 不一定，可能平行或相交 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 两个平面垂直的判定定理： 思考2：平面α⊥平面β时，平面α内的直线m（异于交线l）与平面β的关系关键在于它与哪条直线的位置关系？ β α l m 思考3：平面α内的直线m与交线l是什么位置关系时，平面α与平面β垂直？ 平面与平面的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号表示: 简述为： 面面垂直 线面垂直 α⊥β α∩β=l m⊂α m⊥l ⇒ m⊥β β α l m ①它能判定线面垂直. ②它能在一个平面的垂面内作与这个平面垂直的垂线. 作用： 1.设两个平面互相垂直，则(　　) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上 C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直 概念辨析 B 2．若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则下列命题中正确的个数是( ) . （1）平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线． （2）平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线． （3）平面α内的任一条直线必垂直于平面β． （4）过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β． (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 C 例9 如图，已知平面α⊥平面β，直线a⊥β,a⊄α,判定a与α的位置关系。 α b a l β 解：在α内作垂直于α与β交线的直线b， ∵ α⊥β ∴ b⊥β ∵ a⊥β ∴ a∥b. 又∵ aα ∴ a∥α. 即直线a与平面α平行. 例10 如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证: BC⊥平面PAB ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC. 又∵PA∩AE=A ∴BC⊥平面PAB 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， ∴AE⊥平面PBC. ∵BC⊂平面PBC,∴AE⊥BC 1.如图，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形. 直角 知识巩固 证明：取AB的中点O，连接PO，CO. ∵PA＝PB，∴PO⊥AB. ∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴PO⊥平面ABC. ∵OC⊂平面ABC，∴PO⊥OC. ∵PO为公共边，PA＝PB＝PC， ∴Rt△POC≌Rt△POA≌Rt△POB(HL)， ∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点， ∴△ABC是直角三角形. 2.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (1)求证：AM⊥平面PCD. 证明：∵正△PAD中，M为PD的中点，∴AM⊥PD. ∵正方形ABCD中，CD⊥AD， 且平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AM⊂平面PCD，∴CD⊥AM. ∵CD∩PD=D，CD, PD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PAD. 2.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 证明：取AD,BC的中点E,F，连接PE,PF,EF. 则EF//CD，又正方形ABCD中，CD⊥BC，∴EF ⊥BC； 等边△PAD中，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PE⊥平面ABCD. ∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC. 2.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. ∵PE∩EF=E，PE, EF⊂平面PEF，∴BC⊥平面PEF. ∵PF⊂平面PEF，∴BC ⊥P F. 又∵EF ⊥BC， ∴∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角. EF⊥BC； PE⊥BC. 2.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. EF⊥BC； PE⊥BC. EF⊥BC， ∠PFE 归纳总结 1、平面与平面垂直的性质定理 ： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直 2、空间点、直线、平面的垂直关系转化： $