精品解析：山西长治市上党区第一中学校2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试题

上党区一中2025-2026学年第二学期高一期中考试 数学试题 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3 4. 下列命题正确的是（ ） A. 空间不同三点确定一个平面 B. 三条两两相交的直线在同一平面内 C. 垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直 D. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 5. 在中，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，，且，，则球的表面积为 A. B. C. D. 8. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（   ） A. 在复平面内对应的点为 B. C. 的虚部为 D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 曲线关于点中心对称 D. 方程在区间上有3个解 11. 如图，在正方体中，M为 中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为. 当A，P，C三点共线时， 则（） A. 正方体 的体积为64 B. 当AB的中点在α上时，截面图形的面积为 C. 记MP的中点为Q，CQ的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 13. 已知 ，，则向量在方向上投影向量坐标为_________. 14. 如图，在矩形中，，．现将沿折起，得到如图所示的三棱锥，则该三棱锥体积的最大值是___________，此时，其内切球的半径是 ___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝3，点E为线段PD的中点． （1）求证：PB∥平面AEC； （2）求证：AE⊥平面PCD； （3）求三棱锥A﹣PEC的体积． 17. 如图为函数的一个周期内的图象. （1）写出的解析式； （2）若的图象向右平移2个单位长度得到的图象，写出的解析式； （3）指出的周期、频率、振幅、初相. 18. 如图，正方体的棱长为1， （1）求证：平面； （2）求：与平面所成的角大小； （3）求钝二面角的大小. 19. 在中，内角的对边分别为，已知 . （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； （3）若恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上党区一中2025-2026学年第二学期高一期中考试 数学试题 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则求出积，再求出该复数对应点的坐标并判断其所在象限即可. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为 又，故点在第二象限， 所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选：C 3. 角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 空间不同三点确定一个平面 B. 三条两两相交的直线在同一平面内 C. 垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直 D. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用判定、、、的结论． 【详解】解：对于：空间中不共线的三点确定一个平面，故错误； 对于：三条两两相交但是不经过同一点的直线在同一个平面内，故错误； 对于：垂直于平面内任意一条直线的直线与该平面垂直，故错误； 对于：过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故正确； 故选：． 5. 在中，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，由可知为的中点，所以即，利用向量的线性运算结合数量积的运算律计算，可得，由此可得. 【详解】 因为，所以为的中点， 设，， 因为，所以， 则，， 所以， 所以，即． 故选：D． 6. 已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立，即可得. 【详解】 如图，正方体中，，，平面为平面， 其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件； 若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 7. 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，，且，，则球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可将四面体补成一个长方体，再根据长方体与外接球关系求球半径，最后根据球表面积公式求结果. 【详解】因为面，所以，所以可补成长宽高分别为一个长方体，其外接球为球，半径为，因此球的表面积为，选C. 【点睛】若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解． 8. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用直角三角形边角关系、余弦定理建立方程，再解方程组求解作答. 【详解】设，在中，，， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 在中，， 即 ， 由，得， 于是，解得， 所以滕王阁的高度. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（   ） A. 在复平面内对应的点为 B. C. 的虚部为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的坐标表示，可判定A正确；由复数模的计算公式，可判定B正确；由复数的定义，可判定C错误；根据复数的运算法则，可判定D正确. 【详解】对于A，由复数，可得复数在复平面内对应的点为，所以A正确； 对于B，有复数模的计算公式，可得，所以B正确； 对于C，由复数，可得的虚部为，所以C错误； 对于D，由，所以D正确； 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 曲线关于点中心对称 D. 方程在区间上有3个解 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，的最小正周期，可得A错误； 对于B，时，，故在区间上单调递增，故B正确： 对于C，，可得曲线关于点中心对称，故C正确； 对于D，，即，所以，，即，，故在上只有两个解和，故D错误． 11. 如图，在正方体中，M为 中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为. 当A，P，C三点共线时， 则（） A. 正方体 的体积为64 B. 当AB的中点在α上时，截面图形的面积为 C. 记MP的中点为Q，CQ的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据A，P，C三点共线确定点位置，利用直角三角形勾股定理求出棱长即可判断A，找出截面图形为矩形，求出面积判断B，分析出点Q的轨迹为线段，再确定 时，CQ 取得最小值，解三角即可判断C，利用展开图及余弦定理求解即可判断D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD 中点，取的中点，连接, 则 解得AD=2， 所以正方体的体积 故A 错误; 对于B，记中点为E，连接， 显然有 故点在上，则截面图形为矩形，又 所以 则截面图形的面积为 故 B正确； 对于C，取 MB中点F，MD中点G，连接FG， 点Q的轨迹为线段 又 所以 因为点G到平面BB₁C₁C的距离为所以 则 ， 所以 均为锐角，故当 时，CQ 取得最小值， 因为， 所以， 故CQ的最小值为 ， 故C正确； 对于D，将 沿BD 向下翻折与平面BDD₁B₁共面，连接 则B₁P+PC的最小值即为线段B₁C的长度，P为 与 BD 的交点，因为 所以由余弦定理得， 则 故 D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程计算即可求解出的值. 【详解】因为是的一个虚根，所以， 化简可得，所以，解得， 故答案为：. 13. 已知 ，，则向量在方向上投影向量坐标为_________. 【答案】 【解析】 【详解】， 故向量在方向上投影向量坐标为. 14. 如图，在矩形中，，．现将沿折起，得到如图所示的三棱锥，则该三棱锥体积的最大值是___________，此时，其内切球的半径是 ___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可确定当平面平面时，三棱锥体积最大，作，由面面垂直性质可知平面，由三棱锥体积公式可求得结果；首先求得三棱锥的表面积，根据可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：当平面平面时，三棱锥的体积最大． 作，垂足为，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面， ，，， ，， 三棱锥的体积最大值； 此时，，，，从而． ，，，，， 三棱锥的表面积． 设三棱锥内切球的半径为，则， 即，解得：． 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：设多面体内切球半径为，体积为，表面积为，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）设向量的坐标，由模的坐标表示，及向量平行的坐标表示，列出关于的方程组，即可求解； （2）由，得到，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设，因为，且， 可得，即，解得或， 所以向量或. 【小问2详解】 解：由向量为单位向量，可得，因为，可得， 又因为，可得 ，所以， 则， 因为，可得，即向量与的夹角为． 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝3，点E为线段PD的中点． （1）求证：PB∥平面AEC； （2）求证：AE⊥平面PCD； （3）求三棱锥A﹣PEC的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间关系易由线线平行证明线面平行； （2）利用空间关系易由线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）有了线面垂直，就有了高线，所以就可以求三棱锥的体积. 【小问1详解】 连结，交于点，连结， ∵是正方形对角线交点，∴为的中点， 由已知为线段的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 为线段的中点， ∵平面，平面，， 在正方形中，，又，平面， 平面，又平面， ，又平面, 平面； 【小问3详解】 平面，∴三棱锥的体积. 17. 如图为函数的一个周期内的图象. （1）写出的解析式； （2）若的图象向右平移2个单位长度得到的图象，写出的解析式； （3）指出的周期、频率、振幅、初相. 【答案】（1）；（2）；（3）周期，频率，振幅、初相为. 【解析】 【分析】（1）图象知函数的最大值为，最小值为，周期为，进而得，，再结合函数图象过点待定得，进而得答案； （2）结合函数图象平移变换求解即可； （3）根据函数周期、频率、振幅、初相概念依次求解即可. 【详解】解：（1）由题知函数的最大值为，最小值为，周期为， 所以，，即， 所以函数， 又因为函数图象过点， 所以将点代入解析式得， 又因为，所以， 所以 （2）的图象向右平移2个单位长度得的图象， 所以 （3）由（2）知，的周期，频率，振幅、初相为 18. 如图，正方体的棱长为1， （1）求证：平面； （2）求：与平面所成的角大小； （3）求钝二面角的大小. 【答案】（1）证明：正方体中，， 又平面，且平面 平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得到平面 （2）连接，，证明与平面垂直，得到与平面所成的角为的余角，通过为等边三角形得出的大小，再得到所求角. （3）连接，证明平面，求出与所成角，进而得到钝二面角的大小 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 正方体中，平面， 且平面，， 又，且，， 又，且平面，平面 平面 与平面所成的角为的余角， 又为等边三角形，， 与平面所成的角为. 【小问3详解】 连接，平面，平面，， 又，且，， ，且平面， 平面， 平面 又由（2）知平面，且与所成角为， ∴钝二面角的大小为. 19. 在中，内角的对边分别为，已知 . （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； （3）若恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）正弦定理边化角结合三角形面积公式即可求解； （3）余弦定理结合三角形面积公式，得关于的齐次式，结合均值不等式即可求解. 【小问1详解】 在中，∵，∴． ∴ 即， ∴， ∵，∴， ∵，∴. 【小问2详解】 由正弦定理，. 由的面积为， 由为锐角三角形，得，解得， 则，那么， 从而. 【小问3详解】 由恒成立，即， 由，， 即， 由，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以由恒成立，知， 从而实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $