精品解析：山西省长治学院附属太行中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

太行中学2025—2026学年第二学期期中考试 高一数学试题 一､单选题（40分） 1. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 3. 已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 5. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（） A. 37.52m B. 35.48m C. 33.26m D. 31.52m 7. 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二､多选题（共3小题，共18分） 9. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有2个 D. 若△ABC的面积，则 11. 在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题（共4小题，共20分） 12. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 13. 如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ . 14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 四.解答题（共5小题，共77分） 15. （1）已知为虚数单位，，求. （2）已知在平面直角坐标系内与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围 16. 如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算： （1）求下部四棱台的侧面积； （2）求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3） 17. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小； （2）若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 19. 如图所示，正方体的棱长为a． （1）过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； （2）若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； （3）设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2025—2026学年第二学期期中考试 高一数学试题 一､单选题（40分） 1. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；对于B，这两直线异面或平行；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线；对于D，以长方体为载体进行判断求解. 【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体中， 当所在直线为所在直线为时，与相交， 当所在直线为所在直线为时，与异面， 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确. 故选：D 3. 已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件变形为，然后两边同时平方计算求解即可. 【详解】因为均为单位向量，且， 所以， 即， 解得， 即与的夹角的余弦值为. 故选：D. 4. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，求解面积即可. 【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB， 其面积为. 故选：D. 5. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 故选：B. 6. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（） A. 37.52m B. 35.48m C. 33.26m D. 31.52m 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 【详解】因为， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得，则， 所以， 即镇国寺塔的高度约为35.48m． 故选：B. 7. 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度即可. 【详解】圆锥高底面，已知，​， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. 8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理得，所以， 由圆的性质得， ， 所以当，即，即时， 取得最大值，最大值为. 二､多选题（共3小题，共18分） 9. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可； 【详解】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点， 在选项中，直线交平面于点， 平面，直线，又平面，平面， 为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点， 平面，且平面， 又平面，且平面， ，，三点共线，故选项正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，直线，， ，，，四点不共面，故错误． 故选：． 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有2个 D. 若△ABC的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理直接判断；对于B：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C：由即可判断；对于D：由条件及余弦定理，三角形面积公式可得，求出即可判断． 【详解】对于A：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径）， 因为，即，所以，故A正确； 对于B：因为，即， 展开整理得，又， 所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误； 对于C：因为，，，所以，所以， 所以符合条件的三角形有两个，故C正确； 对于D：三角形面积且可得， 因为，所以，故，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据长度确定轨迹形状，进而可得解. 【详解】A选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，A选项错误； B选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，B选项正确； C选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等， 当在内运动时，由平面， 则，则， 所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，C选项正确； D选项：，且，动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等， 当在内运动时，由平面， 则，则， 如图所示， 设轨迹与，分别交于点，， 所以，， 则，同理，则 所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，D选项正确； 故选：BCD. 三､填空题（共4小题，共20分） 12. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答. 【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为12. 故答案为：12 13. 如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ . 【答案】 【解析】 【分析】分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进而可求得长度的取值范围. 【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接， 因为为所在棱的中点，所以，所以， 又平面平面，所以平面； 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，所以平面， 因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上， 在直角中，， 同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形， 当在中点时，，此时最短，位于处时最长， ，， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中. 14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ∴， ∴ 令，，则， 当时，， ， ， ∴存在，使，即， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 四.解答题（共5小题，共77分） 15. （1）已知为虚数单位，，求. （2）已知在平面直角坐标系内与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围 【答案】（1）;（2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的运算可得答案； （2）求出向量坐标，结合数量积运算和共线的坐标表示可求答案. 【详解】（1）因为，所以，所以 （2）因为，，所以， 因为向量与的夹角为钝角，所以且不反向， ，解得； 若向量与共线，则，解得，此时向量与反向， 所以实数的取值范围是 16. 如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算： （1）求下部四棱台的侧面积； （2）求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接运算求解即可； （2）根据相关体积公式分析运算. 【小问1详解】 奖杯底座的侧面梯形的高分别等于和． 故． 【小问2详解】 . 17. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小； （2）若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果； （2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又， 则， 由正弦定理可得， 所以，， 所以， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以中线CD长的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在为线段中点，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； 【小问3详解】 取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 19. 如图所示，正方体的棱长为a． （1）过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； （2）若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； （3）设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积，再用正方体体积减去即可； （2）根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长； （3）根据（1）中三棱锥的体积以及正方体和正三棱锥的性质即可求出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式即可. 【小问1详解】 因为正方体，所以平面， 则为三棱锥的高，，， 则， 则正方体剩余部分的体积为. 【小问2详解】 画直线交，延长线分别为点， 再分别连接，分别交于点， 顺次连接，五边形即为交线围成的多边形， 易得，，则为等腰直角三角形， 则，根据∽，， 则，则，， 同理可得，，而， 则五边形的周长为. 【小问3详解】 连接，易知的中点即为正方体外接球的球心点， 且， 易得三棱锥为正三棱锥， 而三棱锥的顶点在底面上的投影即为等边三角形的中心点， 且点均在直线上， 由（1）得， 即，解得， 而，所以 所以， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $