精品解析：江苏苏州市苏州工业园区星海实验初级中学2025～2026学年下学期八年级数学期中试卷

2025-2026学年第二学期初二练习卷 数 学 2026.4 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、选择题（每题2分，共16分，将答案填在答题卡相应的位置） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是正方形 3. 如图，梯形中，，点M是的中点，且，若，，，则梯形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4. 如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某科研团队在增产攻坚第一阶段实现某作物每公顷产量的目标，第三阶段实现该作物每公顷产量的目标，如果第二、三阶段每公顷产量的增长率均为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接．若，，，则平行四边形的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 32 7. 如图，直线l：与x轴交于点A，点A的横坐标是方程的根，则b的值为（ ） A. 或 B. 1或2 C. D. 8. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题（每题2分，共16分，将答案填在答题卡相应的位置） 9. 关于的一元二次方程的解为____________． 10. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 11. 如图，在中，平分，，，则的长是______． 12. 如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为__________． 13. 如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 14. 如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 15. 如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，菱形的对角线交点D的坐标为______ 16. 如图所示，在矩形中，，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的一边，则线段的长是______． 三、解答题（共68分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 19. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． （2）在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． （3）在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 20. 已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： （1）； （2）． 21. 如图，在四边形中，，，分别是边的中点，连接，，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 一家服装店销售某种款式的衬衫，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为扩大销售、增加盈利，该店决定降价销售，在每件盈利不少于30元的前提下，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件． （2）当每件衬衫降价多少元时，该服装店每天销售利润为950元？ 24. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求，两点之间的距离． 25. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． （1）如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； （2）如图2，若，，求折中线的长； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 26. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： （1）【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； （2）【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二练习卷 数 学 2026.4 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、选择题（每题2分，共16分，将答案填在答题卡相应的位置） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程是“只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项A不符合题意； 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义， 选项B符合题意； 中是分式，该方程不是整式方程， 选项C不符合题意； 含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项D不符合题意． 2. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，及正方形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项A正确，不符合题意； 对于B，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项B正确，不符合题意； 对于C，因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项C正确，不符合题意； 对于D，当时，四边形是菱形，不能判断为正方形，所以选项D错误，符合题意． 3. 如图，梯形中，，点M是的中点，且，若，，，则梯形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，可进一步证明，所以，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 点M是的中点， ， ， ， 梯形周长为． 4. 如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 5. 某科研团队在增产攻坚第一阶段实现某作物每公顷产量的目标，第三阶段实现该作物每公顷产量的目标，如果第二、三阶段每公顷产量的增长率均为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程实际应用，根据题意可得第二阶段该作物每公顷产量为，则第三阶段该作物每公顷产量为，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接．若，，，则平行四边形的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图可知，结合平行四边形的性质，可证明，所以，所以，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，射线平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 7. 如图，直线l：与x轴交于点A，点A的横坐标是方程的根，则b的值为（ ） A. 或 B. 1或2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解方程，求得或，即或，再将，分别代入，即可求得答案． 【详解】解：， ， 解得或， 当时，， 把代入，得， ； 当时，， 把代入，得， ； 综上所述，b的值是或． 8. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，此时在中，， 即的最小值是1， 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分，将答案填在答题卡相应的位置） 9. 关于的一元二次方程的解为____________． 【答案】x1=0，x2=3 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解：x2=3x， x2-3x=0， x（x-3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法．掌握因式分解法是解题的关键． 10. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， ． 11. 如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质；根据中位线的性质得出，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的中点，， ∴ ∴菱形的周长为， 故答案为：． 13. 如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 【答案】75 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，所以，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 解得． 14. 如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 15. 如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，菱形的对角线交点D的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】菱形的顶点,,得D点坐标为，每秒旋转,则第2025秒时,菱形旋转了253.125圈,可得D点的坐标为. 【详解】解：菱形的顶点,,得点坐标为,即 每秒旋转，则第2025秒时，得 菱形旋转了253.125圈，菱形的对角线交点D的坐标为 故答案为：. 16. 如图所示，在矩形中，，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的一边，则线段的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】分两种情况考虑：①；②；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， ∴由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得， ； ②当 时，如图2所示， 过F作交延长线于点G， ∵， ∴， ∴P、A、F三点共线， 则四边形是矩形， ，， 设，则； 在中，由勾股定理得 ， 解得． ． ∴． ∵点E是线段上不与端点重合的一个动点， ∴不合题意，舍去， 综上所述，满足条件的的值为5． 三、解答题（共68分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）通过移项，然后配方，再直接开平方即可得到答案； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 两边同加上1，得， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：移项，得， 提取公因式，得， ，． 18. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），另一根为0 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把代入方程，得，然后再把代入方程，求出，即可作答． （2）先求出，然后分析无论k取何值，，即可作答． 【小问1详解】 解：把代入方程， 得 ∴； 把代入方程， 得， ∴， 即，另一根为0； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等实数根． 19. 图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． （2）在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． （3）在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 【答案】（1）四边形即为所求作； （2）四边形即为所求作； （3）四边形即为所求作． 【解析】 【分析】（1）取格点，并依次连接，得，，则，得出四边形为正方形； （2）取格点，并依次连接，得，，得出四边形为菱形，但不是正方形； （3）取格点，并依次连接，得，得出四边形为平行四边形，但不是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的两根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 21. 如图，在四边形中，，，分别是边的中点，连接，，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，勾股定理的运用，等边对等角的性质的运用，掌握中位线的判定和性质，勾股定理是关键． （1）根据中位线的判定得到是的中位线，则，根据等边对等角得到，由即可求解； （2）根据勾股定理得到，再根据中位线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：分别是边的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 在中，， 分别是的中点， ． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 一家服装店销售某种款式的衬衫，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为扩大销售、增加盈利，该店决定降价销售，在每件盈利不少于30元的前提下，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件． （2）当每件衬衫降价多少元时，该服装店每天销售利润为950元？ 【答案】（1）23 （2）当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元 【解析】 【分析】（1）根据题意，降价4元，平均每天可多售出8件，即可求得答案； （2）设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元，则每件盈利元，平均每天可售出件，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：因销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件， 所以降价4元，平均每天可多售出8件，则平均每天销售数量为（件）． 【小问2详解】 解：设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元， 根据题意得， 整理，得， ， ，， 每件盈利不少于30元， ， ， ， 答：当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元． 24. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求，两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三线合一定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 25. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． （1）如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； （2）如图2，若，，求折中线的长； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】（1） （2）折中线的长为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， 【小问2详解】 解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； 【小问3详解】 解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 26. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： （1）【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； （2）【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】（1）30 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解； （）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明，推出，可得； （）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分, ∴，， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 同（1）可证， ∴， 在正方形中，，， 由折叠知，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图， ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $