精品解析：江苏省苏州工业园区星港中学、东沙湖实验中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试题

苏州工业园区星港中学、东沙湖实验中学2024-2025初二数学期中试题 一、单选题 1. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（　　） A. 了解班级每位同学穿鞋的尺码 B. 了解中学生的心理健康状况 C. 调查长江水质情况 D. 了解市民做高铁出行的意愿 2. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象位于第一、三象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象关于y轴对称 D. 时，y随x值的增大而增大 6. 如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中的顶点的坐标分别是，，，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 9. 为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是____． 10. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、4，则第5组的频率是________ 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 12. 若点，在反比例函数（为常数）的图象上，则_________（填“”“”或“”） 13. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F若，，则的长为______． 14. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 15. 如图，有两张矩形纸片和，，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角最小时重叠部分的面积等于________． 16. 如图，在菱形中，分别是上的动点，且满足，则的最小值为________________． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且． （1）求菱形的周长； （2）若，求的长． 19. 已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3） （1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围； （2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上； ①求m的值； ②当x＜﹣1时，直接写出y的取值范围． 20. “五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 21. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 22. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 23. 项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？______．（填写“添加”或“减少”） 24. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 25. 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 26. 【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是______． 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点(不与点重合)，连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接． 当点E在上时． （ⅰ）若，求 的值； （ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州工业园区星港中学、东沙湖实验中学2024-2025初二数学期中试题 一、单选题 1. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（　　） A. 了解班级每位同学穿鞋的尺码 B. 了解中学生的心理健康状况 C. 调查长江水质情况 D. 了解市民做高铁出行的意愿 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的定义，依次判断个选项即可得． 【详解】解：A、了解班级每位同学穿鞋的尺码，适合全面调查，选项说法正确，符合题意； B、了解中学生的心理健康状况，适合抽样调查，选项说法错误，不符合题意； C、调查长江水质情况，适合抽样调查，选项说法错误，不符合题意； D、了解市民做高铁出行的意愿，适合抽样调查，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全面调查，解题的关键是掌握全面调查，抽样调查． 2. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据配方法进行移项，配方即可得出选项． 【详解】解：， ， 配方得：， ， 故选：A． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 四个角都相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查四边形中平行四边形和特殊的平行四边形的判定和性质，正确的理解和仔细区分是解题的关键．利用平行四边形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质逐个选项排查即可． 【详解】解：选项A中，矩形的对角线相等但不一定垂直，故该选项为假命题； 选项B中，菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等，故该选项为假命题； 选项C中，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项为真命题； 选项D中，四个角都相等的四边形是矩形但不一定是正方形，故该选项为假命题； 故选：C． 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象位于第一、三象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象关于y轴对称 D. 时，y随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， ， 该函数图象为第二、四象限，故选项A不符合题意； 当时，，即该函数过点，故选项B不符合题意； 函数图象关于或轴对称，故选项C不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，再由菱形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ，， 当时，四边形是菱形， 当时，四边形是菱形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中的顶点的坐标分别是，，，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∵的坐标分别是，，， ∴，点C与点B的纵坐标相等，都为3， ∴点C的横坐标为， ∴点C的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键． 8. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，根据点落在一次函数图象上得到，根据P1的坐标是由P旋转得到的得到，又由P是反比例函数图象上的一点，得到，把代数式进行加法运算后利用整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵点落在一次函数图象上， ∴， ∴， ∵P1的坐标是由P顺时针旋转得到的，如图所示，作轴于点，作轴于点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 9. 为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是____． 【答案】2000 【解析】 【详解】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 解：从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是2000， 故答案为2000． 10. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、4，则第5组的频率是________ 【答案】0.2 【解析】 【分析】先求出第5组的频数,根据频率=频数总数,再求出频率即可. 【详解】由题可知：第5组频数=40-12-10-6-4=8, =0.2 故答案是0.2. 【点睛】本题考查了数据的统计,属于简单题,熟悉频率的求法是解题关键. 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 12. 若点，在反比例函数（为常数）的图象上，则_________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ， ∴反比例函数图像经过一、三象限，且在每一象限，y随x的增大而减小， ∵ ，， ∴点，都在第三象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 13. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F若，，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质定理，等腰三角形的判定，平行线的性质和角平分线的定义，根据图形得到是解题的关键．由于，可先证得是的中位线，求得的长度，再利用平行线的性质和角平分线的定义证得，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点，， ∴，， ∴是的中位线， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交线段于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，三角函数值的简单应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，有两张矩形纸片和，，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角最小时重叠部分的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 设交于，由“”可证，可证，㑡可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，由勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可得出答案． 【详解】解；设交于，如图所示： ∵四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ， ∵将两纸片按如图所示叠放，使点与点里合，且重叠部分为平行四边形， ∴当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小， ， 设则， ， ， 解得：， ， ∴重叠部分的面积， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，分别是上的动点，且满足，则的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作，且，连接，如图所示，根据条件得到，利用全等性质得到，则，即当三点共线时有最小值，则在中，,，即可得到的最小值为． 【详解】解：连接，过作，且，连接，，如图所示： 在菱形中，， ， ，即是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即当三点共线时有最小值，则在中，,， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及菱形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题的求解方法是解决问题的关键． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了利用直接开平方的方法以及因式分解的方法求解一元二次方程，准确计算为解题关键． （1）利用直接开平方的方法求解方程即可； （2）先整理成一般式，再利用因式分解的方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得 ，； 【小问2详解】 ， 整理成一般式，得：， ， 则 或， 解得 ，． 18. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且． （1）求菱形的周长； （2）若，求的长． 【答案】（1）8；（2）2． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的边长相等即可求出周长；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分可求出AO的长，进而利用勾股定理可求出DO，BD的长. 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长为：8； （2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2 ∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO，∴BD＝2 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的相关性质是本题解题的关键. 19. 已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3） （1）若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围； （2）若点A（2，）在该反比例函数的图象上； ①求m的值； ②当x＜﹣1时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）m>3 （2）①m=6；②-3<y<0 【解析】 【分析】（1）解不等式m−3＞0即可； （2）①把A（2，）代入中，可得m值； ②根据反比例函数关系式，结合x＜−1，列出含y的不等式即可． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数图象的每一个分支上，y随x增大而减小， ∴m−3＞0，解得m＞3； 即m的取值范围是m＞3． 【小问2详解】 ①把A（2，）代入得：m−3＝3，解得m＝6； ②由①可得， 当x＜−1时，， 解得：， y的取值范围为：−3＜y＜0． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解决此类问题一般依据函数关系式构造不等式求解未知数的取值范围． 20. “五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 【答案】（1）③ （2）①0.12， 频数分布直方图补全如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． （1）根据抽样调查的特点回答即可． （2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图 （3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解． 【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， ∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本， 故答案为：③ （2）①频率分布表中的， 故答案为：0.12， ②麦穗长度频率分布在之间的频数有：； （3）， 故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为． 21. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点即可； （3）连接，它们的交点为对称中心． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ∵点P向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示： 【小问3详解】 根据图象可知，连接、、后，它们交于点，且点的坐标为，所以和的对称中心的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 22. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出是等边三角形，然后利用勾股定理得出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， 即的长为． 23. 项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？______．（填写“添加”或“减少”） 【答案】（1） 如图所示： （2）y与x之间的函数关系为反比例函数，系式为 （3）24g （4）添加 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线； （2）观察可得：，的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （3）把代入解析式求解，可得答案； （4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设，把，代入得：． ∴y与x的函数关系式为：． 【小问3详解】 解：把代入，得． ∴当活动托盘B与点O的距离是12.5cm时，当砝码的质量为24g． 【小问4详解】 解：根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大； 应添加砝码， 故答案为：添加． 24. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】（1）和； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或． 25. 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）最大值是，此时 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． 【小问2详解】 解：延长交y轴于点Q，交于点L． ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 26. 【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是______． 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点(不与点重合)，连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接． 当点E在上时． （ⅰ）若，求 的值； （ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①（ⅰ）；（ⅱ）或5． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）（i）连接，利用正方形的性质得到，利用（）的结论得到：，设，则，，利用勾股定理列出方程求得值，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；（ii）过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得．设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：I．当时，，此种情况不存在；Ⅱ．当时，，则，点与点重合；Ⅲ．当时，．则，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1），之间的数量关系是：．理由： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）①（i）连接，如图， 四边形为正方形， ，， ， 由（）知：． 正方形的边长为，， ． 设，则，． ， ， ． ， （ii）过点作，交的延长线于点，如图， 四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则，，． ． Ⅰ．当时，， ． ， ． 此时，不合题意，舍去； Ⅱ．当时，， ， 此时，点与点重合， 点与点重合， ； Ⅲ．当时，． 则， ． ， ． 解得：； 综上，若是等腰三角形，的长为或 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $