专题6.2 平行四边形的判定 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

平行四边形的判定 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平行四边形的定义及表示 考点梳理 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 典例引领 考向01 判断能否构成平行四边形 【例1】设四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考向02 添一个条件成为平行四边形 【例2】如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 考向03 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例3】在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 考向04 证明四边形是平行四边形 【例4】如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 考向05 全等三角形拼平行四边形问题 【例5】直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 对点提升 【对点1】如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【对点2】探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【对点3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【对点4】如图，在平行四边形中，连接，过点A作交于点F，交于点E． (1)尺规作图：过点C作的垂线交于G，交于H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，， ∴，． ∴①___________． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴即． ∵， ∴②___________． 在与中， ∴． ∴④___________． ∵， ∴四边形为平行四边形． 【对点5】下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点02 平行四边形的判定定理 考点梳理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 典例引领 考向01 利用平行四边形的判定与性质求解 【例1】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 考向02 利用平行四边形性质和判定证明 【例2】已知：如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：． 考向03 平行四边形性质和判定的应用 【例3】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 对点提升 【对点1】如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 【对点2】如图，、是直线同侧的两点，，，垂足分别是点，，并且．求证：． 【对点3】如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 好 题 冲 关 能力提升 1、 1、 选择题 1．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 3．如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．48 C．80 D．96 4．如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 5．四边形中，对角线相交于点O，下列不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 7．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（   ） A． B． C． D． 8．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 9．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 10．如图，在中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别与AD，BC交于点E，F，连接OD，OC．以下结论：①；②点O是EF的中点；③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍；④，其中正确的结论有_________．（填序号） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2、 填空题 11．等腰梯形中，，，，，则该梯形的周长为__________． 12．我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 13．如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 14．如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________． 15．如图，的对角线，相交于点，点，是边上的点，满足，且，，，，则四边形的面积为_____． 3、 解答题 16．如图，在中，，，两点分别在，上，，．求证：四边形是平行四边形． 17．如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积及点到线段的距离． 18．如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 19．已知，按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，B，C分别在射线上，求作； (2)如图②，点O是内一点，求作线段，使P，Q分别在射线上，且点O是的中点． 20．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形的判定 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平行四边形的定义及表示 考点梳理 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 典例引领 考向01 判断能否构成平行四边形 【例1】设四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：如图， A项：∵，，即四边形两组对边分别平行，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B项：∵，，即四边形两组对边分别相等，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C项：∵，，即四边形对角线互相平分，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D项：当，时，四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，不能判定一定是平行四边形，本选项符合题意． 考向02 添一个条件成为平行四边形 【例2】如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：因为，所以四边形是平行四边形，则A符合题意； 因为，所以，不能说明四边形是平行四边形，则B不符合题意； 因为，所以四边形可能是等腰梯形，则C不符合题意； 因为，不能说明四边形是平行四边形，则D不符合题意． 考向03 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例3】在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 考向04 证明四边形是平行四边形 【例4】如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 考向05 全等三角形拼平行四边形问题 【例5】直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 对点提升 【对点1】如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 【对点2】探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 【详解】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 【对点3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据图形旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平行四边形的判定方法结合网格特点画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 【对点4】如图，在平行四边形中，连接，过点A作交于点F，交于点E． (1)尺规作图：过点C作的垂线交于G，交于H（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，， ∴，． ∴①___________． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴即． ∵， ∴②___________． 在与中， ∴． ∴④___________． ∵， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)①，②，③，④ 【分析】本题考查了用尺规作图的方法过一点作已知线段的垂线，以及平行四边形的判定． （1）用尺规作图的方法过一点作已知线段的垂线即可； （2）按照题意，逐一填写符合题意的证明步骤． 【详解】（1）解：作图如图所示． （2）证明：∵，， ∴，． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴即． ∵， ∴． 在与中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． 【对点5】下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确； ②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误； ③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确； ④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为，满足对角占比相等，根据四边形内角和为，可计算得四个角分别为，，，，满足对角相等，邻角和为，符合平行四边形的性质，故④正确， 综上，正确的说法共有3个． 考点02 平行四边形的判定定理 考点梳理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 典例引领 考向01 利用平行四边形的判定与性质求解 【例1】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 【答案】20 【分析】先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ 的面积为6 ∴ ∴ ∴． 考向02 利用平行四边形性质和判定证明 【例2】已知：如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合线段中点的定义，可证明，再根据平行四边形的判定，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 考向03 平行四边形性质和判定的应用 【例3】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 对点提升 【对点1】如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定与性质，分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∵与的面积分别为与面积的一半， 又四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：长度随、移动改变； 选项B：随位置改变； 选项C：、等边长随、移动变化，周长不定； 综上，四边形的面积是定值，故选项D符合题意． 【对点2】如图，、是直线同侧的两点，，，垂足分别是点，，并且．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到；再结合已知条件，根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形；最后根据平行四边形的对边平行，推出，进而证明． 【详解】证明：， ． ， 四边形是平行四边形． ．即． 【对点3】如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 2．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴， ∵点在上， ∴． 3．如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．48 C．80 D．96 【答案】D 【分析】在中，由勾股定理可求得，再根据，则．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进而可求得四边形的面积． 【详解】解：在中，，，， ∴． ， ， ∵， 四边形是平行四边形． 四边形的面积为． 4．如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 5．四边形中，对角线相交于点O，下列不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法，结合平行线的性质和三角形全等的判定，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项： ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，又，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意. C选项： 当，时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意. D选项： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，本选项不合题意． 6．如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据平行四边形的判定定理逐个证明即可． 【详解】解：当时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以C不符合题意； 当时，可得，由，可知，可得，则四边形是平行四边形，所以D不符合题意． 7．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质可证，，得到四边形是平行四边形，即可判定④；分别证明和，可得，，得到四边形是平行四边形，即可判定③；利用平行线间的距离相等可得，，即得，即可判定②；由点在上移动时，的长度发生变化，在中，的长度随之变化，同理的长度也变化，可知四边形的周长不是定值，即可判定①，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，，，， 分别为的中点， ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ，即， 同理可证， ， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 设距离为， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 同理可得，， ∴， ∴四边形的面积是定值，故②正确； 当点在上移动时，的长度发生变化，在中，的长度随之变化，同理的长度也变化，所以四边形的周长不是定值，故①错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共个． 8．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 9．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，得出平行四边形和相等的角，假设，表示出面积，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 10．如图，在中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别与AD，BC交于点E，F，连接OD，OC．以下结论：①；②点O是EF的中点；③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍；④，其中正确的结论有_________．（填序号） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】利用平行四边形邻角互补及角平分线的定义可判断结论①；先利用平行线的性质、角平分线的定义可证明、是等腰三角形，然后进一步结合平行四边形的性质可以判断结论②；结合已知条件及前面的结论可判断结论③；利用平行四边形与三角形的面积公式可判断结论④． 【详解】解：结论①：四边形是平行四边形， 、分别平分， ， ． ，即．故结论①符合题意； 结论②：， ． 由条件易知， ． ． ， 四边形，均为平行四边形， ． ，即点O是的中点．故结论②符合题意； 结论③：设， ，． 由前面得到的结论易知． 的周长为． 进而可知． 的周长为．故结论③不符合题意； 结论④：在和中，由平行四边形和三角形的面积公式可知 ． ． 在中，设边上的高为h，则边上的高为2h． ． ． 故结论④符合题意． 综上所述，正确的结论是①②④． 2、 填空题 11．等腰梯形中，，，，，则该梯形的周长为__________． 【答案】16 【分析】过等腰梯形上底的顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和等边三角形，先求出梯形的腰长，再计算周长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵等腰梯形中，，， ∴四边形是平行四边形，，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴梯形的周长． 12．我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 13．如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及中点推出平行四边形和，从而判断和点是中点，利用等底等高三角形面积相等即可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示， 点，分别为平行四边形边，的中点， ，，，，， ，，，， 四边形和都是平行四边形， 是和的中点，是和的中点 ，，和等底等高，，，和等底等高， ，． ， ． ， 四边形的面积与平行四边形的面积之比是． 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________． 【答案】 【分析】构造平行四边形，先由平行四边形性质得到相关边的数量及平行关系，再证得、是等腰三角形，然后证得，设，得出长，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示： 在平行四边形中，，，，， ， 四边形是平行四边形， 则，，， 平分， ， ， ， ，即， 同理，由平分可得，， ， ，则， ， ， ， 设， ，， 在中，，，，则由勾股定理可得． 15．如图，的对角线，相交于点，点，是边上的点，满足，且，，，，则四边形的面积为_____． 【答案】/ 【分析】先利用平行四边形对角线互相平分的性质，证得；通过等腰三角形的性质和角度关系，推出；接着在直角三角形中求出高，结合等腰三角形的性质，得到的长度；最后判定四边形为平行四边形，进而计算其面积． 【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作于，取的中点，连接，过点作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，为中点， ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． 3、 解答题 16．如图，在中，，，两点分别在，上，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出，，结合题意推得，，即可得出，结合平行线的性质得出，根据平行线的判定定理得出，根据平行四边形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，且，， 故，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 17．如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积及点到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2)120； 【分析】（1）在中，可求得，得出，结合可判定四边形为平行四边形； （2）根据求面积即可，设点到线段的距离为h，先根据勾股定理求出，再利用平行四边形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ∵， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形，，，且， ． 设点到线段的距离为h， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即点到线段的距离为． 18．如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先由同时垂直于，推出与平行，再通过证明，得到，结合，从而证明四边形是平行四边形； （）先利用平行四边形对角线互相平分的性质，由得到；再结合周长为，得出；最后在中，通过勾股定理列方程求解，算出的长度为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中：， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵ 平行四边形对角线互相平分，， ， ∵的周长为，即， ∴，即， 又， ∴是直角三角形， ∴由勾股定理得：，即：， 展开化简：， 解得：． 19．已知，按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，B，C分别在射线上，求作； (2)如图②，点O是内一点，求作线段，使P，Q分别在射线上，且点O是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以B、C点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形即为所求； （2）连接，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，再作，交于P，连接并延长交于Q，则即为所求． 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求； （2）解：如图②，即为所求． 20．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $