专题6.1 平行四边形的性质 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

平行四边形的性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平行四边形的定义及表示 考点梳理 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 典例引领 考向01 （等腰）梯形的定义 【例1】如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 考向02 等腰梯形的性质定理 【例2】如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 考向03 数图形中平行四边形的个数 【例3】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 对点提升 【对点1】下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A．B．C．D． 【对点2】如图，在梯形中，，．若，则__________ 【对点3】在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 考点02 平行四边形的性质 考点梳理 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：②对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.典例引领 考向01 利用平行四边形的性质求解 【例1】在平行四边形中，如果，那么，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 考向02 利用平行四边形的性质证明 【例2】如图，在平行四边形中，，求证：． 考向03 平行四边形性质的其他应用 【例3】兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 对点提升 【对点1】在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，，点在函数的图象上．若以A，B，C，D，为顶点的四边形是平行四边形，且点在第一象限，则满足条件的点的坐标为___________． 【对点2】如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【对点3】对于任意给定的，其所在平面上的点P满足，，的面积相等，则这样的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，连接，过点作，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，、交于点，、，设，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，和的平分线交于边上一点，且，则的长是（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．如图，在平行四边形中，，，将沿折叠，使点落在点处，与交于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．1 6．如图，的周长是，与相交于点，交于点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，平分线交于，交的延长线于点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 9．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 10．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 2、 填空题 11．如图，平行四边形中，的平分线交于，，则的度数为______度． 12．在中，，则的度数为______． 13．如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 14．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号） 15．如图，在中，于点E，点F在边上，且，，若，则的长为______． 3、 解答题 16．如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 17．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，若，．求的长和的度数． 18．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 19．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 20．在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形的性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平行四边形的定义及表示 考点梳理 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 典例引领 考向01 （等腰）梯形的定义 【例1】如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据正六边形的特性找全等腰梯形即可． 【详解】解：正六边形如图所示， 等腰梯形为，，，，，，共6个 ． 考向02 等腰梯形的性质定理 【例2】如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 【答案】60°/60度 【分析】根据四边形内角和，等腰梯形的两个底角相等，得到，求解即可； 【详解】解：根据题意，得四边形内角和， 由等腰梯形的两个底角相等，得到， 解得； 考向03 数图形中平行四边形的个数 【例3】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 对点提升 【对点1】下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 【对点2】如图，在梯形中，，．若，则__________ 【答案】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补求出，再利用等腰梯形同一底上的角相等，得到． 【详解】解：，， ， ， 梯形是等腰梯形， ． 【对点3】在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 【答案】D 【分析】这些线将大平行四边形分割成一个网格，任意两条横线与两条竖线相交，围成一个平行四边形 【详解】解：依题意，，， ∴最小平行四边形（）有：行列，共个 横向拼接（）有：每行个，共行，共个 纵向拼接（）有：每列个（连续两行），共列，共个 大小有：高度方向有种（行、行），宽度种，共个 整列高（）有：左列和右列各个，共个 整个图形（）有：，共个 综上所述，总数为：个 考点02 平行四边形的性质 考点梳理 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：②对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.典例引领 考向01 利用平行四边形的性质求解 【例1】在平行四边形中，如果，那么，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题利用平行四边形的性质求解，平行四边形邻角互补，对角相等，根据已知角度可直接计算得到结果． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴，与为邻角，满足， ∴， 又∵ 平行四边形对角相等，与是对角， ∴． 观察四个选项，选项A符合题意． 考向02 利用平行四边形的性质证明 【例2】如图，在平行四边形中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得到，，证明出即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 考向03 平行四边形性质的其他应用 【例3】兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 对点提升 【对点1】在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，，点在函数的图象上．若以A，B，C，D，为顶点的四边形是平行四边形，且点在第一象限，则满足条件的点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式分三种情况讨论，求出点的坐标后，根据点在函数图象上且在第一象限，筛选出符合条件的结果． 【详解】解：设点的坐标为，因为点在的图象上，所以， 根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论： 情况1：当为对角线时，由中点坐标公式得 ，， 代入坐标得：，， 解得，，点不在第一象限，不符合题意； 情况2：当为对角线时，得，， 代入坐标得：，， 解得，，点不在第一象限，不符合题意； 情况3：当为对角线时，得，， 代入坐标得：，， 解得，， 验证：将代入，得，符合解析式，且点在第一象限，符合题意． 【对点2】如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴，，， 但无法证明． 【对点3】对于任意给定的，其所在平面上的点P满足，，的面积相等，则这样的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．点P满足，，面积相等，即点P到三边距离与边长成反比. 满足面积比的条件可得点P轨迹为通过A、B、C的直线，这些直线相交产生4个点（包括重心和3个外部点），且均满足面积相等． 【详解】解：过点A作，过点B作，过点C作， 交点分别为， 则四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质，得，，的面积相等，同理可证，，，的面积相等，，，的面积相等， 故这样的点P有3个； 当点是三角形中线的交点时，，，的面积相等，都等于 面积的 故点P的个数为4． 故选：C． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，连接，过点作，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出，，即可得到，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ，， ，， ， ， ， ． 2．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠前后对应角相等可得，，由平行四边形的性质可得，，根据四边形内角和为360度列方程即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ， 中， ， 在四边形中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 3．在中，、交于点，、，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．就可以转化为三角形的三边的关系的问题． 【详解】解：∵，、交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 4．如图，在中，和的平分线交于边上一点，且，则的长是（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线，推出，勾股定理求出的长，根据等腰三角形的判定得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵和的平分线交于边上的一点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴． 5．如图，在平行四边形中，，，将沿折叠，使点落在点处，与交于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而得到，根据折叠的性质得出，进而判断为等腰直角三角形，求出的长，最后利用求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． 将沿折叠得到， ． 点在上， ． 在中，， ，． ，， ． 在中，， 即， ． ． 6．如图，的周长是，与相交于点，交于点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据垂直平分线的性质得出，结合的周长是求得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，即是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， 故， ∴的周长． 7．如图，在中，，，平分线交于，交的延长线于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可得，再由平行线的性质并结合角平分线的定义可得，由等角对等边可得，,再由线段和差求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ ∴． 8．如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质和已知推导出，再根据等角对等边得到，则，然后利用平行四边形的性质得到，进而列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ， 点是的中点， ， 以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ， ，或， 或5． 9．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连接，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的周长为 B．的面积为 C． D．秒时，线段最短 【答案】D 【分析】根据函数图象可知当时，点在上运动，即得，当时，点在上运动，保持不变，即得，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动，保持不变， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴的周长，故选项正确； 当时，，即， 设为边上的高，则， ， ∴的面积，故选项正确； 当时，点在上运动， ∴运动时间为秒， ，故选项正确； 当 时，线段最短，此时， 在 中，∵，， ， 秒， 即秒时，最短，故选项错误． 10．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长和边边上的高的长，从而可以求得平行四边形的面积． 【详解】解：作于点M，如图1所示， 由图象和题意可得，，，， ∴， ∵直线平行直线， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积是：． 2、 填空题 11．如图，平行四边形中，的平分线交于，，则的度数为______度． 【答案】 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，利用平行四边形的性质得到，进而利用平行线的性质和角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，． 12．在中，，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用平行四边形对边平行得到邻角互补，结合平行四边形对角相等的性质，根据已知条件列方程求解，即可得到的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，， 又， ∴， 解得， ． 13．如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质得，，再根据顶点O、P、M坐标可知，线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点，最后由平移的坐标特征即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点， ∴顶点N的坐标是． 14．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号） 【答案】②③④ 【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意． 15．如图，在中，于点E，点F在边上，且，，若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得出，然后求出，进而得出，过点A作于点M，过点E作，交的延长线于点N，设，则，证明，，求出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点M，过点E作，交的延长线于点N， 设， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 3、 解答题 16．如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】利用角度和差关系得出，再利用菱形的性质得出，，证明，得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 17．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，若，．求的长和的度数． 【答案】， 【分析】先根据平行四边形的性质得，，故，运用角平分线的性质得，可得，所以， 运用平行四边形的性质得，再结合，进一步即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， 则． 18．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据折叠的性质，以及同角的余角相等证明即可； （2）令与的交点为，利用平行四边形的性质和勾股定理，先求出，再结合折叠的性质，推出，进而证明，设，利用等面积法列方程求解即可． （3）当等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，过点作于点，证明，得到，即可得解；②当时，得出，结合垂线段最短，可得出不符合题意；③当时，结合斜边大于直角边，可得出不符合题意． 【详解】（1）证明：， ，， 由折叠的性质可得，， ， 平分； （2）解：如图，令与的交点为， 在中，， ，，， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：，即的长为； （3）解：分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， ，， 由折叠的性质可知，， 由（1）可知，平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ，不符合题意； ③当时， ，， ，不符合题意， 综上可知，的长为2． 19．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)的值为2或4 【分析】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可； （2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得； 当时， ， ∴， 解得； 综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 20．在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 或． (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，设．再分、、为对角线三种情况，分别利用平行四边形的性质求解即可； （3）如图：过点A作直线，使得，易得，过D作交于点E，易得，则直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标．再利用平行线的性质、等角对等边可得，设点，然后利用两点间距离列方程求得a的值，可确定点E的坐标，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点和点代入解析式，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为． （2）解：当时，，即． 将 代入得： ，解得． ∴直线的解析式为． 令，得，解得，即． 已知，设． 根据平行四边形的性质，分三种情况讨论： ① 如图：当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ② 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ③ 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． 综上，点E的坐标为或 或． （3）解：如图：过点A作直线，使得，过D作交于点E， ∴， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵， ∴，解得：， ∴，即． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $