2026届高考适应性考试数学模拟试题一

**基本信息** 聚焦高考核心素养，覆盖函数、几何、概率等主干知识，通过分层设计与创新情境（如概率操作问题）实现对数学眼光、思维、语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、不等式、数列、概率等|第7题以卡片抽取考独立事件，体现数学思维；第11题动态圆锥问题考查空间观念| |填空题|3题/15分|分层抽样、等比数列、抛物线|第14题结合向量与内切圆考解析几何综合应用| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何、导数、椭圆、概率操作|第19题概率操作问题设计创新，考查数学语言表达；第18题椭圆定点问题呼应高考命题趋势|

高2023级高考适应性考试模拟试题一 数 学 第I卷 选择题 58分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则z的虚部为 A． B． C． D． 3．不等式的解集为 A． B． C． D．或 4．已知满足，则 A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，则 A．10 B．15 C．20 D．25 6．二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于 A． B． C． D． 7．现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则 A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 8．已知定义在R上的函数为奇函数，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对于函数与，下列说法正确的有 A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的对称轴 C．与有相同的最值 D．与没有相同的零点 10．设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为 A．3 B．4 C． D．5 11．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是 A．圆锥SO的体积为8π B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 13．设递减等比数列满足，，则数列的前5项的和______． 14．抛物线上有三个点，满足，且直线的倾斜角为0，若的内切圆的直径为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在中，角的对边分别为，若，，. (1)求边和角； (2)求的面积. 16．(15分) 如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为中点. （1）设平面与直线交于点，求线段的长； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17．(15分) 已知函数 (1)时，求在处切线方程； (2)讨论的极值． 18．(17分) 已知椭圆：的一个长轴端点和一个短轴端点，且线段的中点为. (1)求的方程； (2)已知垂直于的直线与在第四象限交于点，点在上，且与共线. （i）若点的横坐标为1，求四边形的面积； （ii）若直线与交于另外一点，判断直线是否过定点，并证明你的结论. 19．(17分) 盒子A中装有张普通卡片和1张幸运卡片，另有足够多的备用盒子，每盒各有n张空白卡片（）．每次操作分为以下步骤： ①将盒子A里的卡片取出并充分洗匀，随机分成数量相等的两叠； ②保留含有幸运卡片的一叠，另一叠移出不再使用； ③取一个备用盒，将其中的n张空白卡片全部加入保留的一叠卡片中并洗匀，放入盒A中． 重复上述操作，直至盒子A中无普通卡片． (1)当时，进行2次操作后，记盒子A中普通卡片数量为X，求X的分布列，并求出此时盒子A中最有可能的普通卡片张数； (2)记在某次操作后，盒子A中恰有Y张普通卡片且，且从此时起，再经Z次操作后盒子A中恰好无普通卡片． （i）若，证明：； （ii）若，求． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高考适应性考试模拟试题一 数学参考答案 1． 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A A A D D 二．多选题 题号 9 10 11 答案 ACD BC BD 三．填空题 12． 13． 14．12 15．解：（1）因为中，，，， 由正弦定理得，···························2分 又因为，所以或.···························3分 当时，， ，········4分 由正弦定理；·······················5分 当时，， ，······6分 由正弦定理；························7分 所以或.··························8分 （2）由（1）知或. 当时，，所以三角形面积；······10分 当时，，所以三角形面积；·····12分 所以或.···················································13分 16．解：（2）由棱柱特点知：平面平面，····························1分 平面，平面，········································2分 平面平面，平面，，··························4分 又为中点，为中点，；··························6分 （2）以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，······························8分 设平面的法向量， ，令，解得：，，，············11分 ，·······································14分 即直线与平面所成角的正弦值为.··································15分 17．解：（1）当时， ，定义域，····················1分 由，即切点为，········································2分 求导得，代入得，即斜率，·······················3分 由点斜式得，即.···········································4分 （2）由， 求导得：，，··············································5分 当时， ， 当时，单调递减；时，单调递增， 故仅有极小值，无极大值，··································7分 当，即时， ， 和时，， 时，， 故在和单调递增，在单调递减，·····························9分 故极大值为，极小值为， 当时， 恒成立， 在定义域内单调递增，无极值，··········································11分 当时， ，​， 和时，，时，， 在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为，················13分 综上：当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为.············15分 18．解（1）因为为的长轴端点，为的短轴端点，且线段的中点为， 所以，，所以，，·····································2分 所以的方程为.···················································3分 （2）（i）由（1）知，，，直线的方程为，······4分 因为与共线，所以线段的中点在上， 所以四边形的面积.······························5分 因为点的横坐标为1，代入的方程可得，··································6分 所以点到的距离，所以，···············7分 所以四边形的面积.····································8分 （ii）设，，直线的方程为， 由得， 所以，·······························9分 且，.················································10分 因为，关于直线对称， 设，则 解得，，············································11分 因为，，且，，共线，所以， 所以 ， 整理得 ， 整理得.················································14分 若，则，直线为，此时，两点重合，不合题意，·······15分 所以，即，代入得，················16分 所以直线过定点.···················································17分 19．解：（1）初始状态：盒子A中有 张普通卡片，1张幸运卡片，共 张卡片，无空白卡片. 第一次操作将6张卡片分为两叠各3张，保留含幸运卡片的一叠，该叠除幸运外剩余2个位置，全部由普通卡片填充，因此第一次操作后普通卡片数量一定为 ， 即操作两次前盒子A中有：2张普通、1张幸运、3张空白，共6张卡片.··························2分 步骤2：计算两次操作后 的概率分布 第二次操作：将6张卡片分为两叠各3张，保留含幸运的一叠，为该叠中普通卡片的数量， 的可能取值为 .由于已确定幸运在保留叠，需从剩余5张（2普通+3空白）中选2张，总选法为 ，因此： ·············5分 的分布列为： 0 1 2 因为 最大，因此此时盒子A中最有可能的普通卡片张数为 .····················6分 （2）（2）（i）证明：若盒子A中只有2张普通卡片，设再进行W次操作后，恰好无普通卡片 ·························8分 ·····································································10分 （ii）当时， 再进行1次操作后恰好无普通卡片的概率，·····································12分 ····································13分 ·······················································14分 ·······································15分 ··························································16分 ·········································17分 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $