6.1.5平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用-课件--2025--2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 6.1.5平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用 第六章　平行四边形 6.1.5 平行线间的距离及平行四边形判定方法的综合运用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知直线l₁∥l₂，点A、B在l₁上，点C、D在l₂上，且AB=CD=4cm，AC⊥l₁，求证：四边形ABCD是平行四边形，并求平行线l₁与l₂之间的距离。 解析：∵l₁∥l₂，AB在l₁上，CD在l₂上，∴AB∥CD。又∵AB=CD=4cm，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∵AC⊥l₁，l₁∥l₂，∴AC⊥l₂，即线段AC的长度就是平行线l₁与l₂之间的距离（平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离）。若已知AC=3cm，则平行线间的距离为3cm。 2. 已知直线l₁∥l₂，平行线间的距离为5cm，点A、B在l₁上，点C在l₂上，且AC⊥l₂，AC=5cm，AB=6cm，求证：四边形ABCD（D在l₂上）是平行四边形。 解析：∵l₁∥l₂，AC⊥l₂，∴AC⊥l₁，AC的长度即为平行线l₁与l₂之间的距离（5cm）。要证四边形ABCD是平行四边形，可作CD∥AB，交l₂于点D，则AB∥CD。又∵AC⊥l₁，CD∥AB，∴CD⊥AC，即CD也是平行线间的距离，故CD=AC=5cm？修正：∵l₁∥l₂，AB∥CD，且AC是平行线间距离，∴AB与CD之间的距离等于AC=5cm，又∵AB=6cm，若CD=AB=6cm，则四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）。 3. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且平行线AB与CD之间的距离为4cm，AB=5cm，AD=3cm，求四边形ABCD的面积及周长。 解析：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。平行四边形的面积=底×高，此处AB为底，AB与CD之间的距离为高，故面积=AB×4=5×4=20cm²。平行四边形对边相等，∴AB=CD=5cm，AD=BC=3cm，周长=2×(5+3)=16cm。答：四边形ABCD的面积为20cm²，周长为16cm。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，l₁∥l₂，点A、C在l₁上，点B、D在l₂上，且OA=OC，AC⊥l₂，平行线l₁与l₂之间的距离为6cm，OB=4cm，求四边形ABCD的面积及周长。（提示：结合平行线间的距离、平行四边形的判定与性质解答） 解析：∵点A、C在l₁上，点B、D在l₂上，l₁∥l₂，AC⊥l₂，∴AC⊥l₁，AC的长度即为平行线l₁与l₂之间的距离，即AC=6cm。又∵OA=OC，∴O是AC的中点。要证四边形ABCD是平行四边形，可证OB=OD（或利用一组对边平行且相等）。∵l₁∥l₂，AC⊥l₂，∴AC⊥BD（可推导），在Rt△AOB中，OA=½AC=3cm，OB=4cm，由勾股定理得AB=5cm。∵OA=OC，∠AOB=∠COD，∠OAB=∠OCD（内错角），∴△AOB≌△COD，∴OB=OD，故四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分）。面积=AC×平行线间距离对应的底边上的高=6×4×2？修正：平行四边形面积=底×高=AC×OB对应的高，结合图形可知面积=AC×BD÷2×2=AC×OB=6×4=24cm²？最终：面积=AC×平行线间的距离=6×6=36cm²，周长=2×(AB+AD)，AD可由Rt△AOD求得，OA=3cm，OD=OB=4cm，AD=5cm，故周长=2×(5+5)=20cm。答：四边形ABCD的面积为36cm²，周长为20cm。 注意：解答此类题目时，需牢记两个核心：①平行线间的距离处处相等，且两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离即为平行线间的距离；②灵活运用平行四边形的所有判定方法（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分），结合面积公式、勾股定理等知识，实现判定与性质的综合运用，步骤中需明确判定条件和性质的对应关系。 学习目标 掌握平行线间的距离的概念及性质. 探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”. 3. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明． 新课导入 如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴进行交流。 实际问题 几何问题 1 2 a b A B C D 证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠1=∠2=90°。 ∴AC∥BD。 ∵AB∥CD， ∴四边形 ACDB 是平行四边形（平行四边形的定义）。 ∴AC=BD（平行四边形的对边相等）。 探索新知 例3 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D。 求证：AC=BD。 1 2 a b A B C D 1 2 a b A B C D 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等（如图，AC=BD）。 这个距离称为平行线之间的距离。 【知识要点】 简记为：两条平行线间的距离处处相等。 思考1：两条平行线之间的距离和两点间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 两点间的距离 连接两点的线段的长度 A B 点到直线的距离 点到直线的垂线段的长度 a A 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 b A B a 联系：都是指某一条线段的长度。 对应训练 1.如图，直线 a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，垂足分别为 E，G，则下列说法中错误的是（ ） A. AB=CD B. CE=FG C. A，B 两点之间的距离就是线段 AB 的长 D. 直线 a，b 之间的距离就是线段 CD 的长 D 对应训练 2.如图，直线 l1∥l2，△ABC 的面积为10，则 △DBC 的面积（ ） A.大于10 B.小于10 C.等于 10 D.不确定 C 思考2：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？为什么？画一画，想一想。 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在两条平行线间的平行线段都相等。 尝试·交流 每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性。 提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC（平行四边形的定义）。 ∴∠MDF=∠NBE。 ∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE。 ∴MF=NE，∠MFD=∠NEB。∴∠MFE=∠NEF。 ∴MF∥NE。 ∴四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 例4 已知：如图，在 □ABCD 中，点 M，N 分别在边 AD 和 BC 上，点 E，F 在对角线 BD 上，且 DM=BN，DF=BE。 求证：四边形 MENF 是平行四边形。 A B C D N M E F 解：在□ABCD 中，∵AB∥CD， ∴ ∠ABC+∠C=180°。 ∵∠ABC=70°， ∴∠C=180°－∠ABC=110°。 ∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=35°。 ∵DF∥BE，∴∠CFD=∠CBE=35°。 ∴∠CDF=180°－∠C－∠CFD=180°－110°－35°=35°。 对应训练 3.如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数。 【选自教材P165】 A B C D E F C 返回 1． 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于点E，交CD于点F，直线MN交AB于点M，交CD于点N，交EF于点O.若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是(　　) A．MN B．OE C．EF D．OF 中考考法 13 返回 3 2． 如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果AB＝5 cm，BC＝4 cm.那么平行线l1，l2之间的距离为________cm. 中考考法 14 6 返回 3． 如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a，b之间的距离为3，则线段AC的长度为________． 中考考法 15 4． 返回 A 如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　) A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等 C．l1与l2一定相等　 D．l1与l2一定不相等 中考考法 16 5． 返回 D 在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为(　　) A．1 cm B．9 cm C．4 cm或5 cm D．1 cm或9 cm 中考考法 17 平行四边形 性质 判定 夹在两条平行线间的线段处处相等 五种判定方法 对边平行，对边相等，对角相等 课堂小结 $