江苏扬州市江都区丁沟中学2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学 命审人：李展鹂 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。 2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.本试卷所有题目均为原创题或改编题。 5,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、 单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知复数=1中 (i为虚数单位)，则：所对应复平面内的点为 A. B（ c3) D.22 22 2.已知集合A=x∈NIx2-4x≤0，集合CRB=[-1,1],R为实数集，则A∩B= A.(1,4 B.(1,+oo) C.1,2,3,4 D.{2,3,4} 3设实数a,b>0,在△ABC中，D为C上-点，若而=0丽+61C,则日日 的最小值为 A.2V2 B.4 C.2+2√2 D.2 4.已知tan( + =2,则sin2a+2sin2a的值为 A. 13 10 B.8 C.3 D.4 13 3 5.在正四面体ABCD中，M,N分别为AB,AD的中点，连接CM,BN,若正 四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为 A. 6 C. 6 D.G 6.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x-y+2=0,圆M:x2+y2-4x =0,平面内一点Q(a,b)满足a2-3lna-b=0,设圆上一点P到直线1的距离为d, m为实数，则(a-m+(b+m+d的最小值为 A.3V2 B.2W2+2 C.32-2 D.2W2 7.设f)=Asin(r+),且<7，已知fx)的值域为2,2]，fo)=-1,若 fx)在区间[0,2π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是 A. 1723 2'12 [) C. [g副 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第1页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.已知函数f(x)=x2-(a+2x+alnx,其中aeR.若存在xe,+o),使f(x)<a 成立，则a的取值范围是 A5* B 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个 选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分， 9.已知一组从小到大排列的样本数据x,x,xn，其中n=6,则下列说法中 正确的是 A.若第一项与最后一项的数据忽略不计，则样本数据的极差减小 B.这组样本数据的上四分位数为+ 2 C这粗释本数运的平均做为之 D.若为这组样本数据增加两个数据x,,则众数可能不变 10.解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛 应用，下列命题中，是真命题的是 A.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，则a=3或a=-1 B.己知A(2,0),B3,-1),点P为x轴上一动点，则PA-PB的最大值为V10 C.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则y-x的最大值为V6-2 D.己知两点E(2,-3),F(-3,2),直线1过点M,1)且与直线EF相交，则1的斜 率k的取值范围是 1.已知实数a,6,c≠0，且以， b ld+2al 成等差数列，则下列说法正 2bg’ac 2ba 确的是 A.2b2≤a2+c2 B.a2≤b2≤c2 C.b2≥ladl D.a2b2+b2c2≥2a2c2 第IⅡ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.己知数列{an}满足a41=3,an1=5an-8,则a2o26的值为 13.某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少 分一本，则共有 种不同的分法.（用数字作答） 14.己知f(x)为偶函数，f'(x)为f(x)的导函数，当x∈(o,0)时，满足 了eosx+/e5inx<0,则当xe0,+o)时，不等式52x-写}cosx-25 〔+引mx>2x-写到mx+x+}os2x的解笑是 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第2页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5个小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 15.（13分) 在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 a cos A= bcosC+ccos B. (1)求A: (2)若b=8,c=2,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求∠MPN 的余弦值. 16.（15分) 已知数列{an}为等差数列，a2+a,=20,a4+a=16. (1)求数列{an}的通项公式： (2)定义数列{bn}满足递推公式b1=2b,+1,b,=1. (i)求数列{an(bn+1}的前n项和Sn: ()记数列6，=d,若数列6}的前n项和为，证明：元<兮 anan+2 17.（15分) 面直角坐标系x0中，点-2,0为椭圆E:×+=1a>b>0)的左焦 点P为E上一点，F,为E的右焦点，且△PFF,的周长为12. (1)求椭圆E的标准方程： (2)若直线x=-Q与x轴的交点为T,过点T的直线与E交于，B两点，设 直线AF,BE的斜率分别为k,k2 ()k+k,是否为定值？若是，则求出这个定值：若不是，请说明理由： (ii)求△ABF面积的最大值， 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第3页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 祖暅及其父亲祖冲之在《缀术》中写道：“缘幂势既同，则积不容异。”其中 “幂”的意思是面积，“势”的意思是高度，“积”的意思是体积，其大致意思 为：“若任取同一高度，两个几何体在此高度的横截面积相同，则这两个几何体 的体积一定相同。”其中蕴含的微元思想在当今数学界仍有广泛应用，体现了古 人的智慧，请根据材料内容，完成下列各题， （1)根据材料，我们可以构造如图1，图2两个立体图形推导球的体积公式， 请你根据题意进行推导： (2)类比（1)中的构造方法，请你自主构造图形，推导图3椭圆绕其长轴旋转 一周所得旋转体的体积V: (3)若绕(2)中图形的短轴旋转一周，得到另一个旋转体，记它的体积为V2, (注：图1中为一个底面半径为r的圆柱内置一个圆锥，底面半径为r,高为r) B0,b) y A(a,0) 半球 图1 图2 图3 19.(17分) 设(x)为函数f(x)的导函数，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区 间D上的凹函数，区间D称为(x)的凹区间：若∫'(x)在区间D上单调递减，则 称f(x)为区间D上的凸函数，区间D称为f(x)的凸区间. (1)已知函数)-1nx+,判商)的单调性并求其四，凸区间： (2)如19题图所示为某个凹函数y=m(x)的图像，在图像上任取两个不同的点 A(x,m(x》,B(x2,m(x2》,过线段AB的中点C作x轴的垂线，与函数y=m(x)和 x轴分别交于点D,E,已知CE≥DE. (i)证明：对任意的点A,B均有m +x）sms)+ms 2 (iⅱ)结合（i)中的结论，当x,ye(0,2)时，证明： ++ y=m(x) 19题图 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第4页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学（解析版) 命审人：李展鹏 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。 2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答索标号涂黑。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.本试卷所有题目均为原创题或改编题。 5,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知复数z= (i为虚数单位)，则z所对应复平面内的点为 1+i A( 【原创·难度系数】0.9 【答案】A 【详解】由题易得z= 1=】i,所以2=}+i,所以对应复平面内的点为 1+i221 221 ,故选A 2.已知集合A={xeN"|x2-4x≤0，集合CRB=【l,],R为实数集，则A∩B= A.(1,4 B.（1,+o∞) C.{1,2,3,4} D.{2,3,4} 【原创·难度系数】0.85 【答案】D 【详解】由题易得集合A={1,2,3,4},集合B=（-∞，-1U1,+∞)，所以A∩B={2,3,4}, 故选D 3.设实数a,b>0,在△ABC中，D为BC上一点，若D=aAB+bAC,则上+ a b 的最小值为 A.2V2 B.4 C.2+2W2 D.2 【原创·难度系数】0.85 【答案】D 【详】由题易知a+6=-1,所以原式可化为(a+b日+-2+名+号 b +2=4,故选D b 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第5页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 4.已知tan =2,则sin2a+2sin2a的值为 4 A. 13 B. 8 C. 13 10 13 8 【原创·难度系数】0.75 【答案】A 【详解】由三角恒等变换可知tan tana+l=2,所以解得tan= 1 + ,故 4 1-tan a 3 sin2a 4sin a cosa 原式可化为 sin'a+4sin a cosa -cos2a cos2a tan'a+4tana sin2 a cos2a sin2a,cos2a tan2 a+1 cos2a cos2a +4× 即 3 13 代入tana= 3 故选A 10 +1 3 5.在正四面体ABCD中，M,N分别为AB,AD的中点，连接CM,BN,若正 四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为 A. 6 D. 1 6 6 【原创·难度系数】0.55 【答案】D 【详解】取底面BCD的中心O,连接AO,则AO⊥平面BCD,以O为原点，OD 为x轴，过O作平行于BC的直线为y轴，OA为：轴建立空间直角坐标系，由正 四面体的边长为2，则底面△BCD的外接圆半径OD=2 ,则由题易得高AO= 3 2- D 3,00 由M,N分别为中点，所以得M 同理得 故CM 3V6 2V3 3 6’23 BN- ,所以由向量夹角公 CM·BW 式可知cos0 故选D V3×3 6 6.在平面直角坐标系xOy中，已知直线1：x-y+2=0,圆M:x2+y2-4x =0,平面内一点g(a,b)满足a2-3lna-b=0,设圆上一点P到直线1的距离为d, m为实数，则(a-m)+(b+m)+d的最小值为 A.3V2 B.2V2+2 C.3V2-2 D.2√2 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第6页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 【原创·难度系数】0.55 【答案】D 【详解】由题已知圆M:(x-2}+y2=4,圆心M(2,0),半径r=2 则直线到圆心M的距离d,=2-0+2 =2√2，故圆上点P到直线1的最小值 V12+(-} 为圆心到直线的距离减去半径，故dm=2√2-2，下分析另一部分的几何意义. 点Qa,b)满足a2-3lna-b=0,即b=a2-3lna,因此点Q在函数 f(x)=a2-3lna的图像上，表达式(a-m}+b+m}表示点g(a,b)到点(m,-m)距 离的平方，又因为点(m,-m)在直线y=-x上，即该表达式的最小值等价于函数 f(x)上的点到直线y=-x的最小距离的平方，设切点为(x,y),由题易得 =2x-子则令)=2头是1，解得x=1.即切点为0，由点到 直线的距离有a-m+6+m-+市 +1 故(a-m}+(b+m}+dn=2W2-2+2=2√2，故选D, 7.设fx)=Asin(ax+p),且o<号，已知fx)的值域为-2,2]，f0)=-1,若 f(x)在区间[0,2π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是 A五2 「1723 B. 「1319 12'12 3’6 [副 【原创·难度系数】0.65 【答案】B 【详解】由题易得fx)=2 sinax- 令f问=0，即x-6k+zk∈2Z）,当 6 60 xe[0,2π]时，ox- -,2π0- π 则零点横坐标取值可能的集合为 6 π7π13π19π 故必须满足 13π ≤2元， 19π >2π，所以联立解得 6w'6w’6w’6w 60 60 满足题目条件的ω的取值范围是 13 19 故选B 12’12 8.已知函数f(x)=x2-(a+2x+alnx,其中a∈R.若存在xe,+o),使fx)<a 成立，则a的取值范围是 2 A 【原创·难度系数】0.55 【答案】C 【详解】由题意，即x2-(a+2)x+alnx<a,变形得 2-2x+a血x-x-1小<0，即a>-2x,则令g)=-2x≥， x-Inx+1 x-Inx+1 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第7页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 故只需要让a>gk,则g)--21n+2,当x≥1时，x-120,对 (x-Inx+1 于y=x-2hx+2,广=1-2-2，当x∈2)时，y<0,此时y单调递减， 当x∈(2，+o)时，y'>0,此时y单调递增，所以ymn=2-2ln2+2=4-2ln2>0, 因此g'(x)≥0，所以g(x)在1，+∞)上单调递增 故gn=80=2l-故a>克故选C 1-ln1+12 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个 选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分 9.已知一组从小到大排列的样本数据x,x2,,x,,其中n=6,则下列说法中 正确的是 A.若第一项与最后一项的数据忽略不计，则样本数据的极差减小 B.这组样本数据的上四分位数为+x c.这组样本数据的平均数为之x, 61a1 D.若为这组样本数据增加两个数据x,x?,则众数可能不变 【原创·难度系数】0.8 【答案】AC 【详解】由题意，则这组样本数据严格单调递增，若最后一项最大项和第一项最 小项忽略不计，则极差减小，故A正确：因为=6，且6×75%=4.5，因为计 算结果不是整数，所以上四分位数取第5位，故上四分位数为x,故B错误； 易惑组样本数据的平切数x十十十中君。 xn,故C正确： 6 根据题意，这组样本数据严格单调递增，故满足关系式 x<x2<x3<x4<x<x<x,<,由于原样本数据和改变过后的样本数据每个数 据都只出现了一次，故原样本数据和现样本数据均不存在众数，故D错误 10.解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛 应用，下列命题中，是真命题的是 A.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，则a=3或a=-1 B.已知A(2,0),B3,-1),点P为x轴上一动点，则PA-PB的最大值为V10 C.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则y-x的最大值为√6-2 D.已知两点E(2,-3),F(-3,2),直线l过点M1,1且与直线EF相交，则1的斜 率k的取值范围是 【原创·难度系数】0.55 【答案】BC 【解题提示】A选项应考虑直线重合的情况，B选项画图分析，C选项使用圆的 参数方程，D选项注意不等式的方向和直线斜率的意义 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第8页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 11.已知实数a,b,c≠0，且 a b 2bc'lac +2d成等差数列，则下列说法正 2ba 确的是 A.2b2≤a2+c2 B.a2≤b2≤c3 C.b2 ac D.a2b2+b2c2≥2a2c2 【原创·难度系数】0.2 【答案】ACD 【详解】设x=a,y=,=,因为 b c+2d成等差数列，所 2bc'1ac’2blal 以易知血{ +2a-2.b 两边同乘2bxz并化简左边有： 2bc 2bal 2.b2b=·2bx2+22x2bx2,进一步化简可以得到： 2bz 2bx 46=r+2加+=x+2少，由2=la+,故6-0a+ 4 因此可得到26_a+l,由均值不等式可知：女+女'≥2a4,两边同时加 la+lc得：(a+lc}=la+2 Zlallcl+-lc≤2la2+ld),即2b2≤a2+c2,故A正确： 举反例：若a=3,1=1,则bl=2,此时a2=9,b2=4,c2=1,不满足a2≤b2, 故B错误：由公_a+少，根据均值不等式：口+≥2，，即6≥ac,故 C正确：对于a2b2+b2c2≥2a2c2,两边同时除以a2c2,不等式等价于 告2，代w-HG b2.b2 (a+cl)(a2+c2) 4 4 4a2c2 根据均值不等式：la+ld≥2Vac,故a+lc≥4ac,又因为a2+c2≥2ad, 因此(a+c(a2+c2)28a2c2,两边同时除以4a'c2得： (a+lc)'(a'+c'),8a'c" 4a2c2 4c=2,故D正确， 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.己知数列{an}满足a,=3,an1=5a,-8,则a226的值为 【原创·难度系数】0.85 【答案】52025+2 【详解】由题易得an1-2=5(an-2),故{a。-2}是以1为首项，公比为5的等比数列， 故a,=5m+2,故a2026=52025+2. 13.某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少 分一本，则共有 种不同的分法.（用数字作答) 【原创·难度系数】0.6 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第9页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 【答案】540 【详解】总的分配方式（不考虑每人至少一本，每种书有3种选择）为36种，减去“有 1个人每得到书”的情况（选1个没得到书的人，剩余2人分书）：C,×2种，加上“有 2个人没得到书”的情况（选2个没得到书的人，剩余1人分书）：C×1种，故由容 斥原理计算36-C×2+C号×16=729-192+3=540. 14.已知f(x)为偶函数，(x)为f(x)的导函数，当x∈(o,0)时，满足 f)ox+fin0,则当xe@*o)时，不等式52x-写 cosx-2V3 (+引mx>2x-}mx+/+}o2x的解集是 【原创·难度系数】0.5 【答案】 【详解】由题我们可以构造函数g女)=☒ 由函数的奇偶性和导数的定义可知，函 cosx 数g(x)在(0，+∞)上单调递增，注意到原不等式可化为 2x- 由函数的单调性可知， co2x-π） 3 cos 6 当x>0时，2x->x+石，解得x>故解集为+ 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 15.（13分) 在△ABC中，己知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 a cos A= bcosC+ccos B. (1)求A: (2)若b=8,c=2,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求∠MPN 的余弦值. 【原创·难度系数】0.65 【答案】（I)A=胥：(2)cs∠MPN=2 【详解及评分意见】(1)由射影定理知bcos C+ccos B=a,故2 a cos A=a, 所以得到c0sA=2 .....(3分) 又因为A∈(0，π)且cosA>0...· (4分) 所以A=号 ...（5分) (2)因为M是BC的中点，所以有W-)B+AC, 又因为N是AC中点， 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第10页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以同理可知8N=A-AB=}AC-AB ......（6分) 所似-丽=丽+aC}c-西般4C--号.4c (8分) 已知b=8,c=2，A=了，根据向量数量积公式有： 砺-4c=4 Co=2×8=8,aC2=6=64,西=c2=4 ....（10分) 代入上述表达式中有： AM.BN=12,AM=√21，BW=23.. .......（11分) AM.BN 故cos∠MPN= 12 27 (13分) AM BN V21×2W5 7 16.（15分) 已知数列{an}为等差数列，a2+a,=20,a,+a=16. (1)求数列{an}的通项公式： (2)定义数列{也n}满足递推公式bn+1=2bn+1,b,=1. (i)求数列{a,·(bn+1》的前n项和Sn: ()记数列c,。,若数列，}的前n项和为，证明：工<兮 anan2 【原创·难度系数】0.6 【答案】(1)an=2n-1:(2)(i)Sn=(2n-3)2+6:(i)证明见解析 【详解及评分意见】(1)设首项为a,公差为d 根据题意可得方程组 2a1+9d=20 a1=1 2a,+7d=16 所以解得 （2分) d=2 所以an=1+2n-1)=2n-1..…… ..(4分) (2)根据题目所给的递推公式，可以进行以下配凑： b1+1=2b,+1),故易知{也。+1}是首项为2，公比为2的等比数列.…… (5分) 所以得到也，+1}的通项公式为2”. ………(6分) 因此{anb,+1}=(2n-1)2” 设Sn=12+322+523+…+(2n-1)2m 同时2Sn=122+3·2+…+(2n-3)2”+(2n-3)2* 故 Sn-2Sn=-Sn=2+2·(22+23+…+2”-(2n-1)2=(3-2n)2-6...… (9分) 故Sn=(2n-3)2m+1+6.. ......(10分) (ii) 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第11页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 由题得cn= 1(1-1 2n-12n+342n-i2n+3】 (11分) x-0--》后…24+】 (12分) 1 （13分) >0,所以T,< (15分) 17.(15分) 在平面直角整标系0中，点F(-20)为椭圆E:号+若-e>6>0)的左焦点， 点P为E上一点，F,为E的右焦点，且△PFF,的周长为12 （1)求椭圆E的标准方程： (2)若直线x=￠与x轴的交点为7，过点T的直线与E交于4，B两点，设 c 直线AF,BF的斜率分别为k,k2 ()k+k2是否为定值？若是，则求出这个定值：若不是，请说明理由： (ii)求△ABF面积的最大值， 【原创·难度系数】0.55 【答案】(1)由题易得c=2.. (1分) 同时2a+2c=12,所以a=4,b2=a2-c2=12 (2分) 故椭圆E的标准方程为女+y =1. (3分) 1612 (2)（i)由题得T-8,0)………… (4分) x=my-8 设直线AB的方程为x=my-8,联立{」 。,化简消去x得： =1 1612 3m2+4y2-48my+144=0,设A(x,y),B(x2,y2),所以由韦达定理易得 48m y+y2= 3m2+4 (6分) 144 yy2=3m2+4 故k+2+ 2myy2-6y,+y2) 288m-288m =0 my,-6'my2-6m2yy2-6my+y2)+36 3m2+4 故k+k2为定值0.(9分) 由图8=，+-24+马6> 3m2+4 (10分) 所以Sur=ABd=24+mynm-4 6 72Vm2-4 3m2-4 V1+m2 3m2+4 (11分) 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第12页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 令1=m2-4>0）,则m2=12+4,故S=,721=72 -312+16 6.(12分) 31+ 故5=72 72 ≤ =35,当且仅当=45时等号成立 16=8√5 3t+ 3 (14分) 故△ABR面积的最大值为3W3....(15分) 18.（17分) 祖暅及其父亲祖冲之在《缀术》中写道：“缘幂势既同，则积不容异。”其中 “幂”的意思是面积，“势”的意思是高度，“积”的意思是体积，其大致意思 为：“若任取同一高度，两个几何体在此高度的横截面积相同，则这两个几何体 的体积一定相同。”其中蕴含的微元思想在当今数学界仍有广泛应用，体现了古 人的智慧，请根据材料内容，完成下列各题 (1)根据材料，我们可以构造如图1，图2两个立体图形推导球的体积公式， 请你根据题意进行推导： (2)类比(1)中的构造方法，请你自主构造图形，推导图3椭圆绕其长轴旋转 一周所得旋转体的体积V: (3)若绕（2)中图形的短轴旋转一周，得到另一个旋转体，记它的体积为V, 求 : (注：图1中为一个底面半径为r的圆柱内置一个圆锥，底面半径为，高为) B(0,b) 半球 图1 图2 图3 【原创·难度系数】0.4 【答案】1)v-号知2(2)片-号知6(3)-8 V,a 【详解及评分意见】(1)设在距离底面高度为h(0≤h≤r)处，圆柱的横截面积 为π2，则圆锥的横截面积为 =π(-h},球的横截面积为π(2-h2) (2分) 由祖暅原理有： 圆柱的体积为m2r=m3,圆锥的体积为二π2r= 7034 故"=03-1 3 ……（4分) 3 (2) 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第13页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 设椭圆方程为二+茶=16>6>0，狗造一个底面半径为6，高为a的圆锥 在距离原点高度为z处，椭圆的横截面积为动 1- 圆柱的横截面积为b2, 单个圆锥的横截面积为功 两个圆锥的横截面积差为b? 3 故=mb. (13分) ③)根据2)中同理可知三m6,故么二 4 (17分) V,a 19.(17分) 设'(x)为函数f(x)的导函数，若'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区 间D上的凹函数，区间D称为f(x)的凹区间：若∫'(x)在区间D上单调递减，则 称f(x)为区间D上的凸函数，区间D称为f(x)的凸区间， (1)已知函数/心)=血x+)产，判断/)的单调性并求其凹，凸区间： (2)如19题图所示为某个凹函数y=m(x)的图像，在图像上任取两个不同的点 4A(x,m(x》,B(x2,m(x2》,过线段AB的中点C作x轴的垂线，与函数y=m(x)和 x轴分别交于点D,E,已知CE≥DE (i)证明：对任意的点A,B均有ms+五sms)+m 2 （iⅱ)结合(i)中的结论，当x,y∈(0,2)时，证明： ++* y y=m(x) C D E 19题图 【改编·2025福建厦门质检·难度系数】0.35 【答案】（1)答案见解析：(2)(i)证明见解析：（ⅱ）证明见解析 【详解及评分意见】(1) 由题意知f(x)的定义域为(0，+o)..·. (1分) 一x=2>0,故f(x)在(0，+∞)上单调递增.......… (2分) 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第14页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP =二，令)=0，即x=1,故了冈在0)上为凸函数，在0+四)上 为凹函数.…… (4分) (2)(i)线段AB的中点C的坐标为 x+x2 m(x)+m(x2) 过C作x轴垂线 交m(x)于D,则D的坐标为 因为CE≥DE, 故 (7分) (i设8)=1+g0=1-,g")-=子>0，故g)在(0,2)上为凹函数… (10分) 由知0，回，+y+ (13分) 两边平方焖+sx+女+y+(+儿+ 故+以++ (17分) 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学第15页共15页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP