6.2.2排列数(二）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2排列数（二） 破解“相邻”与“不相邻”的排队难题 本节课核心解题技巧 捆绑法 & 插空法 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课。上节课我们学习了基础的排列数，今天我们要挑战一个更有趣也更复杂的问题——排队难题。特别是当有人想站在一起，有人又不想站在一起的时候，我们该怎么办呢？别担心，这节课我将教给大家两个超级好用的“神器”——捆绑法和插空法，帮助大家轻松搞定这些难题！ ‹#› 分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， 那么完成这件事共有 种不同的方法。 … … 在第n类方案中有mn种不同的方法， 分步乘法计数原理 那么完成这件事共有 种不同的方法。 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， … … 做第n步有mn种不同的方法， 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算“完成一件事”的方法种数 每类方案中的每一种方法都能______ 完成这件事 每步_________才算完成这件事情 （每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类相加 步步相乘 类类独立 步步相依 独立 依次完成 不重不漏 步骤完整 分类完成 分步完成 思路：第一步：做什么事；第二步：怎么做？ 解答计数问题的一般思维过程： 完成一件什么事 （第一步：做什么事） 如何完成这件事 （第二步: 怎么做？） 利用加法原理进行计数 方法的分类 过程的分步 利用乘法原理进行计数 课堂总结 同学们，怎么做千奇百态；做什么简单明白。我们要慢慢积累如何做的经验，在以后的学习中灵活运用，把考题解出。 其实一个人的人生意义也是知道自己做什么事，然后通过怎么做来实现人生理想。但一个人要知道自己这一生该做什么，却是很不简单的。有人说：“教育的本质，是找到一个人内心想成为的样子，然后帮助他成长为那个样子。” 所以不管是当领导还是校长还是普通老师，只要他是幸福的完整的人，那他就知道自己这一生该做什么事，也在努力的寻找此事该如何做，且也努力的完成此事。 比如我就觉得教书很有意思。我的人生使命就是认真教书再写写书，然后开创一个教学流派。 引入 我们知道第一步做什么事很容易知道，第二步怎么做很难知道。于是数学家研究事情该怎么做，发现许多事情有相同的做法，即这许多事情有着共同的模型。我们只需研究出这个共同的模型，当我们分析出怎么做时只需把这个模型套用一下就行了。 温故知新 我们上节课学了什么？ ❓ 还记得排列数公式吗？ 【核心问题】 从 个不同的元素中取出 个元素进行排列，总共有多少种排法？ 【计算公式】 = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-m+1) = 【通俗理解】 分步思考：第一个位置有 种选择，第二个位置有 种选择，依此类推，第 个位置有 种选择。 💡 热身小练习 【题目描述】 有5名同学（A, B, C, D, E）要排成一排拍照，一共有多少种不同的排法？ 【思路分析】 这是一个“全排列”问题，即从5个元素中取出全部5个进行排列，也就是求 5! 的值。 【计算解答】 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 (种) 1.7.2013 在开始新知识之前，我们先来快速回顾一下。排列数的计算公式大家还记得吗？就是从n开始，连续乘m个递减的数。比如，5个同学排成一排，就是5的阶乘，等于120种。这个基础一定要打牢，因为我们今天学的所有方法，都是在这个基础上展开的。 ‹#› 情境引入 — 一个更复杂的排队问题 新问题来了！ 还是这 5 名同学（A, B, C, D, E）排队拍照，但是这次有两个特殊要求： 👯 好朋友的约定 A 和 B 必须站在一起（相邻） 1.7.2013 好，现在问题升级了！还是这5个同学排队，但这次有了特殊要求：好朋友A和B必须站在一起，而闹矛盾的C和D坚决不能站在一起。这种既有“相邻”又有“不相邻”的问题，是不是感觉一下子复杂多了？别着急，今天我们就来学习专门解决这类问题的两大“神器”！ ‹#› 例题讲评 例题1：5名同学（A, B, C, D, E）排队，要求A和B必须站在一起，一共有多少种不同的排法？ 1. 【捆】：把A和B看作一个整体“大元素” [AB]。此时排队元素变为 [AB]、C、D、E，共4个元素。 2. 【排】：对这4个元素进行全排列，排法数量为： = 4! = 24种。 3. 【松】：“大元素”内部A和B可互换位置，内部排法数量为： = 2! = 2种。 4. 【算总数】：分步用乘法，总排法数 = 全排列数 × 内部排列数 =24 × 2 = 48种。 结论：仅仅满足“A和B必须相邻”这一条件，就有48种不同的排队方法。 1.7.2013 我们来实战一下。回到刚才的问题，先解决A和B必须相邻的情况。第一步，把A和B捆起来，变成一个大元素，现在我们有4个元素要排队。第二步，这4个元素全排列，有4!也就是24种方法。第三步，别忘了松开AB，他们俩内部还能互换位置，有2种方法。所以总数就是24乘以2，等于48种。看，是不是很简单？ ‹#› 神器一：捆绑法(解决“相邻”问题) 🎯 适用场景 当题目条件中明确出现以下关键词时使用： “必须相邻” • “必须排在一起” • “挨着” 🧠 核心思想：先打包，再排队！ 将要求相邻的元素想象成被“捆绑”的一个“超级大胖子”，先把它和其他元素一起排列，最后再处理大胖子内部元素的顺序。 01 【捆】 将要求必须相邻的元素，强行捆绑在一起，视为一个“整体”（超级元素）。 02 【排】 把这个“整体”当作一个普通元素，与剩下的其他元素一起进行全排列。 03 【松】 别忘了“松绑”！对捆绑的整体内部元素，单独进行一次全排列。 最终结果 =整体排列数×内部排列数 1.7.2013 首先登场的是解决“相邻”问题的神器——捆绑法。记住这个口诀：“先打包，再排队”。具体怎么做呢？分三步走：第一步，把必须相邻的元素“捆”起来，当成一个大元素；第二步，把这个大元素和其他元素一起“排”队；第三步，别忘了把大元素“松”开，给它内部的元素排个序。最后把第二步和第三步的结果相乘，就是总数了。 ‹#› 插空法实战演练 例题2：5名同学（A, B, C, D, E）排队，C和D不能站在一起，有多少种排法？ 不相邻问题 ➜ 插空法 【第一步：排无限制元素】 先排 A、B、E 三位同学，不受限制。排法数： = 3! = 6 种排列示意：_ A _ B _ E _ (产生4个空隙) 【第二步：插受限元素】 将 C、D 插入到排好的 4 个空隙中，确保不相邻。 插法数：从4个空隙选2个有序排列 = 4 × 3 = 12 种 【第三步：算总排法数】 根据分步乘法计数原理： 总数 = 6 × 12 = 72 种 结论：仅仅满足“C和D不能相邻”这个条件，一共有72种不同的排队方法。 1.7.2013 我们再来实战插空法。这次解决C和D不能相邻的问题。第一步，先排没有限制的A、B、E三位同学，有3!也就是6种排法。排好之后，比如排成A、B、E，大家看，他们之间和两端是不是形成了4个空隙？第二步，我们要把C和D插到这4个空隙里，这样他们就不会相邻了。从4个空隙里选2个来插，并且C和D有顺序，所以是A₄²，等于12种。总数就是6乘以12，等于72种。 ‹#› 神器二：插空法 (解决“不相邻”问题) 🎯 适用场景 当题目条件中明确出现以下关键词时，果断使用插空法： • “不能相邻” • “不能排在一起” • “互不相邻” 🧠 核心思想 口诀：先排别人，再插空！ 先将无限制条件的元素排好，利用它们之间形成的“空隙”（含两端），将要求不相邻的元素有序插入。 📝 解题步骤 (两步走) 1. 【排】：先对无限制条件的元素做全排列。 2. 【插】：计算空隙数，将受限元素插入空隙中。 总方案数 = 排列数 × 插入数 1.7.2013 接下来是解决“不相邻”问题的神器——插空法。口诀是：“先排别人，再插空”。也分两步：第一步，先把那些没有限制的“路人甲”排好队。第二步，看看他们排好队后，形成了多少个空隙，然后把要求不相邻的元素一个个插到这些空隙里去。这样就能保证他们互不相邻了。最后把两步的结果相乘即可。 ‹#› 终极挑战 - 解决我们最初的问题！ 题目：5名同学（A, B, C, D, E）排队拍照，要求A和B必须相邻，且C和D不能相邻。一共有多少种不同的排法？ 💡 核心思路：先处理“相邻” (捆绑法)，再处理“不相邻” (插空法)！ 1. 【捆】捆绑 将 A 和 B 捆绑成一个整体 [AB]，视为一个元素。 2. 【排】排列 先排 [AB] 和 E。共 2! = 2 种排法。排好后产生3个空隙。 3. 【插】插空 将 C、D 插入 3 个空隙中。方法数: = 3 × 2 = 6 种。 4. 【松】松绑 计算 [AB] 内部的排列。内部排法: 2! = 2 种 (AB 或 BA)。 5. 算总数 2! × × 2! = 2 × 6 × 2 =24 综上，满足所有条件的排法一共有24种。 💡 解题关键：处理“相邻+不相邻”的混合问题时，遵循“先捆绑，后排无限制元素，再插空，最后松绑”的顺序。 1.7.2013 现在，终极挑战来了！同时满足A、B相邻和C、D不相邻。我们的策略是：先处理相邻，再处理不相邻。第一步，把A和B捆起来。第二步，把这个“大胖子”和E先排好队，这时候有2个元素，排法是2!，产生3个空隙。第三步，把C和D插入这3个空隙，方法是A₃²。第四步，别忘了松开AB，乘以内部的2!。所以总数就是2! × A₃² × 2! = 2 × 6 × 2 = 24种。看，只要思路清晰，再复杂的问题也能一步步解决！ ‹#› 排列组合 · 易错点辨析 ⚠️ 捆绑法忘记“松绑” ❌ 错误做法：只计算整体的排列数，忽略内部元素的排列顺序。 ✅ 避坑提醒：“捆绑”必须分两步：先将元素看作整体排列，再乘上内部元素的排列数。 ⚠️ 插空法数错空隙 ❌ 错误做法：仅计算元素中间的空隙，遗漏了两端的空位。 💡 核心规律：n个元素排成一排，会产生n + 1个空隙。如“_A_B_”，2个元素产生3个空隙。 ⚠️ 混淆“相邻”与“不相邻” ❓ 典型困惑：分不清该用“捆绑”还是“插空”，导致解题思路混乱。 🔑 解题口诀： 相邻问题 ➜ 捆绑法 不相邻问题 ➜ 插空法 💡 总结：细节决定成败！做题时务必看清“相邻”要求，数清空隙数量，牢记“先整体后内部”。 1.7.2013 这里要特别提醒大家几个易错点。第一，用捆绑法时，千万别忘了最后“松绑”，也就是不要忘记乘上内部元素的排列数，这是很多同学容易丢分的地方。第二，用插空法时，数空隙一定要数清楚，千万不要只盯着中间，两端的空隙也要算上，记住规律：n个元素排成一排会产生n+1个空隙。第三，也是最基础的，千万别搞混解题方法，大家一定要记牢这个口诀：相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法。这几点细节处理好了，大家在做排列组合题时就能少踩很多坑。 ‹#› 方法总结 核心内容 捆绑法 插空法 适用场景 某些元素必须相邻的排列问题 某些元素不能相邻的排列问题 核心步骤 1.捆：将相邻元素捆绑成一个“大元素” 2.排：将“大元素”与其他元素一起排列 3.松：将“大元素”内部松绑，进行排列 1.排：先排无限制条件的元素 2.插：将不相邻元素插入到上述元素形成的空隙中 关键提醒 别忘了最后“松绑”！ 一定要乘以“大元素”内部的排列数 空隙数量不要数错！ 空隙数 = 已排元素数量 + 1 解题思路：先判断相邻/不相邻，再对应选择“捆绑”或“插空”！ 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天学的两大神器。这个表格非常清晰地对比了捆绑法和插空法。大家要记住它们各自的适用场景、核心步骤和关键提醒。捆绑法的关键是“松绑”，插空法的关键是“数对空隙”。把这张表格记在心里，以后遇到类似问题就能快速找到方法了。 ‹#› 课 后 作 业 01 · 必做题 (基础巩固) 1.7个同学站成一排，其中A、B、C三人必须相邻，有多少种不同的排法？ 2.7个同学站成一排，其中A、B两人不能相邻，有多少种不同的排法？ 02 · 选做题 (能力挑战) 题目：一条长椅上有7个座位，4个人去坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位不与这两个相邻，有多少种不同的坐法？ 💡 提示：可把“相邻的两个空位”看作一个整体，再利用“插空法”来解决。 1.7.2013 今天的课后作业来了。必做题是对今天所学内容的直接巩固，大家务必掌握。选做题稍微有点难度，它把“人”换成了“空位”，但思路是一样的，需要我们灵活运用捆绑法和插空法。大家可以尝试挑战一下，相信自己！ ‹#› 你学会了吗？ 记住我们的两大神器：捆绑法和插空法！ 多做练习，排列组合不再难！ 感谢观看 1.7.2013 好了，同学们，今天的课就到这里。我们学习了解决相邻和不相邻问题的两大神器：捆绑法和插空法。希望通过今天的学习，大家对排列组合不再感到害怕。记住，数学的魅力就在于通过掌握方法，把复杂的问题变得简单。课后一定要多做练习，熟能生巧！感谢大家的聆听，下课！ ‹#› $