专题03 四边形（期末6大知识点汇编）复习讲义 2025--2026学年人教版八年级数学下册

八年级数学期末总复习讲义 第3课 四边形 知识点梳理 考点01四边形及多边形 考点02 平行四边形 考点03矩形 考点04菱形 考点05正方形 考点06中位线 知识点01 四边形及多边形 1. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 2. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180，四边形的内角和为360. 3. 多边形的外角和 （1）多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 （2）多边形的外角和定理: 多边形的外角和为360°. （3）四边形的外角和：四边形的外角和也是360°. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（24-25八年级下·广西百色·期末）游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（   ） A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 D．每段直路要长 3．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）图中的1角硬币外轮廓呈圆形，内部雕刻了正九边形的形状，则正九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）十二边形的内角和比外角和多（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，若，则的度数是________． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是________边形． 14．（24-25八年级下·山东济南·期末）正六边形和正方形如图所示摆放，连接，则图中的度数为______． 知识点02 平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 3.平行四边形的判定 （1）平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：两组对角边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵∠A=∠C,∠B=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 12．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 13．（24-25八年级下·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 14．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，的平分线交于F，于E，，，，的面积是______． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________． 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当_____时，四边形是平行四边形． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 18．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 三、解答题 19．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 20．（21-22八年级下·浙江温州·期中）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 21．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 22．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 23．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 24．（24-25八年级下·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 25．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 26．（23-24八年级下·重庆江津·期末）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 1.定义 有一个内角是直角的平行四边形是矩形。知识点03 矩形 2.性质 矩形的两条对角线相等，四个角都是直角. 3.判定 （1）根据定义： 四个内角均为直角的四边形就是矩形. （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形叫作矩形.. （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 4. 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 5．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   8．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 9．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且， ①求和的长． ②求四边形的面积． 13．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 14．（2025·北京平谷·一模）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 15．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 16．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 知识点04 菱形 1. 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.. 2.性质 菱形的四条边都相等. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.判定 （1）根据定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）判定定理1：四条边都相等的四边形就是菱形. （3）判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 3．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 4．（22-23八年级下·福建宁德·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 6．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 7．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 8．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（15-16八年级下·江苏无锡·月考）菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的面积是__________． 10．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件______，使四边形是菱形． 11．（24-25八年级下·山西朔州·期末）两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为______． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，菱形中，是对角线上的一点，连接，，，若，则的长为_____． 14．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________． 三、解答题 15．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 17．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 知识点05 正方形 1. 定义 四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫作正方形.. 2.性质和判定 （1）正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质； （2）要判定一个四边形是正方形可以判定它既是矩形又是菱形. 3.正方形内十字架模型 基本 模型 若AE⏊BF则AE=BF 若EF⏊MNF则EF=MN 反之也成立 模型 演变 AE⏊MN于点G，若G点在BD上 AE=MN→AG=NG 4.正方形内半角模型 正方形内 半角模型 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 5.手拉手模型 图例 G 两个正方形共顶点，则△ABE≌△CBG，所以AE=DG，AE⏊CG若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 5.对角互补模型 图例 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 4．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25八年级下·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 二、填空题 9．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 10．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，的面积是________． 12．（24-25八年级下·北京·期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有__________． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 14．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 15．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，已知正方形，以为斜边在正方形外作等腰直角，连接与交于点F， ， ______． 16．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，点G在运动过程中， （1）的值为__________； （2）线段的最小值为__________． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______． 18．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为______． 三、解答题 19．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 20．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 21．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在正方形中，点E在线段上，且不与点B重合，且．过点F作交的延长线于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 22．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，正方形中，E是上一点，连接，作交于F． (1)求证：； (2)若， ①探究与的数量关系； ②若，求四边形的面积． 23．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 24．（24-25八年级下·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 25．（24-25八年级下·吉林·期末）正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 【初步探究】 （1）如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________； 【探索发现】 （2）点在线段上运动时，如图1，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段的延长线上运动时，如图2，则线段，和三者之间的数量关系为：___________； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，若，，直接写出四边形的面积___________． 知识点06 中位线 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 2. 三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3. 中点四边形：顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 任意四边形的中点四边形一定时平形四边形； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图1，将一个面积为1的等边三角形纸片挖去连接三边中点所组成的三角形后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图）如此进行挖下去，第6个图中，剩余图形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，D，E分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为______． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长度为____． 三、解答题 10．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 11．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 12．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，分别是、上的点，且，和的交点为，和的交点为，求证：，． 13．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）（1）如图1，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连接，分别交于点，是中点，连接，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点．求证：． 14．（24-25八年级下·吉林·期末）【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第3课 四边形 知识点梳理 考点01四边形及多边形 考点02 平行四边形 考点03矩形 考点04菱形 考点05正方形 考点06中位线 知识点01 四边形及多边形 1. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 2. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180，四边形的内角和为360. 3. 多边形的外角和 （1）多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 （2）多边形的外角和定理: 多边形的外角和为360°. （3）四边形的外角和：四边形的外角和也是360°. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，n边形内角和为 利用多边形内角和公式求解． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵内角和为， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·广西百色·期末）游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（   ） A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 D．每段直路要长 【答案】A 【分析】此题主要考查了求正多边形外角的度数．根据题意可知封闭的图形是正九边形，求出正九边形的每个外内角的度数即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知，从起点走九段相等直路之后回到起点的封闭图形是正九边形， ∵正九边形的每个外角的度数为： ∴每走完一段直路后沿向右偏方向行走， 故选：A． 3．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质可得，再利用等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·全国·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和等知识点，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 设多边形的边数为n，根据多边形的外角和定理和内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得：，解得：， 所以这个多边形是六边形． 故选：D． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）图中的1角硬币外轮廓呈圆形，内部雕刻了正九边形的形状，则正九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形外角和是是正确解答的关键．根据多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：正多边形的外角和是， 故选：A． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质与多边形内角和定理的应用，解题的关键是明确正六边形内角的度数，结合四边形内角和为推导角度关系． 先确定正六边形每个内角为，得到和的度数；再根据对顶角性质，可知等于等于；最后利用四边形的内角和为，列等式计算的度数． 【详解】解：∵正六边形的每个内角均为， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． ∵与组成对顶角， ∴． 在四边形中，内角和为， 即， 代入得， 解得． 故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形内角与外角的关系，由正多边形的每个内角求出对应的外角，再利用外角和为计算边数。 【详解】解：∵每个内角为， ∴每个外角为， ∴边数为， 故该正多边形是正十二边形， 故选：． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键．由多边形的外角和定理可直接求出结论． 【详解】正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）十二边形的内角和比外角和多（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和外角和，熟练掌握多边形内角和计算公式是解题的关键．先根据公式求出十二边形的内角和以及多边形的外角和为，再求差即可． 【详解】解：∵十二边形的内角和为 ，外角和为 ， ∴内角和比外角和多 ． 故选：B． 二、填空题 11．（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，若，则的度数是________． 【答案】/24度 【分析】本题考查多边形的外角，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 由是正五边形的外角，可求出，进而根据即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是________边形． 【答案】/十 【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和，熟记任意凸多边形的外角和都为以及其内角和公式为（其中n为边数）是解答本题的关键．结合题意列出等式，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东济南·期末）正六边形和正方形如图所示摆放，连接，则图中的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的判定与性质，求出，是解题的关键．根据正多边形的每条边都相等，每个角都相等得出，，，，继而得出，，即可求出的度数． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 多边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：． 知识点02 平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 3.平行四边形的判定 （1）平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：两组对角边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵∠A=∠C,∠B=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质包括对角线互相平分，但对角线不一定相等或垂直，据此进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等、互相垂直， ∴选项C正确； 故选：C 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 6．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质及平行线的性质．先利用平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质得出，根据已知条件计算出的度数，随即得到的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴． 故选：B． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质. 在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 10．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 13．（24-25八年级下·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 14．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，的平分线交于F，于E，，，，的面积是______． 【答案】78 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理．利用等角对等边求得，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是， 故答案为：78． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________． 【答案】6 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答． 根据平行四边形的性质得到，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， 当为2秒时，四边形是平行四边形． 故答案为：2． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值． 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20．（21-22八年级下·浙江温州·期中）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 21．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 22．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 23．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）作，根据矩形的性质求出，，然后用勾股定理计算； （2）由垂直平分线性质得，结合直角三角形，用勾股定理列含的方程，求解得； （3）根据平行四边形“对边相等”，列的绝对值方程，分类讨论的位置解出； （4）由对称性质、平行线性质推得等腰三角形，结合，分类讨论的位置，列方程求． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 【点睛】本题考查勾股定理，动点的线段表示与分情况讨论，轴对称的性质，平行四边形的判定，用含的式子表示动点轨迹是解题关键． 24．（24-25八年级下·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 25．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定： （1）证得，设，在中，根据勾股定理可知，求解即可求得答案； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点．证得，依据，，可求得，证明，得到，再证明，得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， 设，那么． 在中，根据勾股定理可知，即 ． 解得 或（舍去）． ∴． （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∵，且，，， ∴． 26．（23-24八年级下·重庆江津·期末）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)，探究见详解 (3) 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，，进而由平行线性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角确定，等量代换即可得证； （2）连接，如图所示，由垂直平分线的判定与性质得到，在中，由勾股定理可得，进而结合平行四边形中即可得到的数量关系； （3）由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上，作出图形，分情况讨论得到动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，从而由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 1.定义 有一个内角是直角的平行四边形是矩形。知识点03 矩形 2.性质 矩形的两条对角线相等，四个角都是直角. 3.判定 （1）根据定义： 四个内角均为直角的四边形就是矩形. （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形叫作矩形.. （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 4. 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：各交点如图所示， 根据作图痕迹可得，平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 5．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【答案】12 【分析】证明为等边三角形，进而得到，即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 9．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】由点的坐标得到和的长，根据勾股定理求出，由折叠得到，，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴在矩形中，，，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 【答案】 【分析】取的中点G，连接，根据直角三角形的性质可得，进而得出，由，得，再根据勾股定理求出的长，得，进而可得． 【详解】解：取的中点G，连接， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，外角的性质以及勾股定理求边长，取的中点G找到直角三角形的中线是解决问题的关键． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，然后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得四边形是矩形． （2）证明和是等边三角形，是等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 12．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且， ①求和的长． ②求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②四边形的面积 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行四边形的性质证明，进而可以解决问题； （2）①根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和勾股定理即可解决问题； ②四边形的面积，代入值求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：①∵，点M为的中点，， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形中，，； ②∵在矩形中，， ∴ ． 13．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理， （1）由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 14．（2025·北京平谷·一模）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． 【详解】（1）解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵ ∴． 15．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则四边形是平行四边形，，然后通过矩形的判定方法即可求证； （）由四边形是矩形，，即，通过勾股定理得，因为为中点，所以，再根据即可求出的长； （）连接，证明，则，再证明，得到，，，设，则有，然后通过三角形内角和定理得出，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，连接， 由（）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 知识点04 菱形 1. 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.. 2.性质 菱形的四条边都相等. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.判定 （1）根据定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）判定定理1：四条边都相等的四边形就是菱形. （3）判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 3．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 4．（22-23八年级下·福建宁德·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相关的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 7．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及面积公式．连接交于点，延长交于点，根据菱形面积公式可得，由菱形的性质结合勾股定理可得，根据菱形的对称性得，则，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 在面积为96的菱形中，对角线， ， ， 由菱形的性质可知：，，， ， 根据菱形的对称性得：， ， 根据菱形的面积公式：， ， 解得：， 即． 故选：A． 8．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质． 连接、，根据四边形是菱形，可得，，是等边三角形，又点M恰好为边的中点，得，在中，，设，则，在中，有，即可解得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点M恰好为边的中点， ∴， 在中，， 设，则， ∵沿翻折得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题 9．（15-16八年级下·江苏无锡·月考）菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的面积是__________． 【答案】120 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为10和24， ∴该菱形的面积是， 故答案为：120． 10．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件______，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（24-25八年级下·山西朔州·期末）两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，得出四边形是菱形是解题的关键．作交的延长线于点E，交的延长线于点F，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解四边形的周长． 【详解】解：如图，作交的延长线于点E，交的延长线于点F， 四边形是两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起的重合部分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱形的性质及直角三角形的性质得，由三角形中位线定理求得，由勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∵为的中点， ∴， ∵，分别为，的中点，且， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 菱形的面积为． 故答案为：24． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，菱形中，是对角线上的一点，连接，，，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题通过连接菱形对角线 ，利用菱形性质构建特殊三角形（等边三角形、等腰直角三角形 ），结合直角三角形边角关系，设未知数列方程求解 长度． 【详解】解：连接 ，交 于点 ． 四边形 是菱形， ， 是等边三角形，，，． ． 又 是等腰直角三角形，设 ． 在 中， ，． ，，，且 ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形性质、等边三角形判定与性质、等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握菱形对角线垂直且平分一组对角，以及利用特殊角度（、 ）在直角三角形中建立边的数量关系是解题关键． 14．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 三、解答题 15．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； (2)根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 四边形的周长是， ， 设、， 则有，，， ， 在中，， ， ， ， 整理可得：， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 知识点05 正方形 1. 定义 四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫作正方形.. 2.性质和判定 （1）正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质； （2）要判定一个四边形是正方形可以判定它既是矩形又是菱形. 3.正方形内十字架模型 基本 模型 若AE⏊BF则AE=BF 若EF⏊MNF则EF=MN 反之也成立 模型 演变 AE⏊MN于点G，若G点在BD上 AE=MN→AG=NG 4.正方形内半角模型 正方形内 半角模型 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 5.手拉手模型 图例 G 两个正方形共顶点，则△ABE≌△CBG，所以AE=DG，AE⏊CG若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 5.对角互补模型 图例 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 【答案】A 【分析】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理可得，四个三角形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是23，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴， ∴四个全等的三角形的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴的值是43， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，正方形的性质，三角形的面积，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 8．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意； 故选；B． 二、填空题 9．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 10．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，的面积是________． 【答案】// 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造合适的全等三角形是解题的关键． 先求，过点作交的延长线于点，由正方形的性质可求解，利用证明可得，再根据三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 12．（24-25八年级下·北京·期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有__________． 【答案】①②③④ 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在直角中，，在直角中，，在直角中，，从而即可得出结论． 【详解】解：过作于点， 是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确，， ，，故③正确， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， 即，故②正确， 在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，则，可得，可得，故③符合题意；将逆时针旋转交于点，由，可得，证明，则在中，，代入即可求证；故④不符合题意. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴ ∴， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 如图；将逆时针旋转交于点， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴，即，故④不符合题意； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，本题难度较大，解题关键在于熟悉各个知识点的相关内容是解本题的关键. 14．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 15．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，已知正方形，以为斜边在正方形外作等腰直角，连接与交于点F， ， ______． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，连接，连接交于，证明，求解，，可得，证明，，可得． 【详解】解：连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，点G在运动过程中， （1）的值为__________； （2）线段的最小值为__________． 【答案】 4 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键： （1）证明为等腰直角三角形，得到，证明四边形为矩形，得到，进而得到，即可得出结果； （2）连接，根据矩形的性质得到，进而得到当时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为4， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴，， ∴； 故答案为：4； （2）连接， 由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵G是对角线上一动点， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______． 【答案】2 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定． 过点作于点，如图，根据正方形的性质得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出，利用基本作图得平分，则根据角平分线的性质得到，，然后证明得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 四边形为正方形， ， 在中，， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质．作点E关于的对称点G，连接，则，，可得的最小值为的长，再根据题意可得点B，C，G三点共线，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点B，C，G三点共线， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 三、解答题 19．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键. ()根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； ()根据矩形的性质可得，结合正方形的判定和性质即可求解； 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 20．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 21．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在正方形中，点E在线段上，且不与点B重合，且．过点F作交的延长线于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质可得，再由已知条件利用直角三角形两锐角互余可求得的度数，再根据利用平角的定义可求出的度数； （2）利用直角三角形两锐角互余及平角的定义得到，证明推导出，，利用正方形的性质可得到，则，进而得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：由题意知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴． 22．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，正方形中，E是上一点，连接，作交于F． (1)求证：； (2)若， ①探究与的数量关系； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）证明，推出，，利用四边形内角和定理求得，再利用等角的余角相等证明，则可得； （2）①作于点，作于点，利用等腰三角形的性质求得，，再求得是等腰直角三角形，据此求解即可； ②证明，根据四边形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 25．（24-25八年级下·吉林·期末）正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 【初步探究】 （1）如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________； 【探索发现】 （2）点在线段上运动时，如图1，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段的延长线上运动时，如图2，则线段，和三者之间的数量关系为：___________； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，若，，直接写出四边形的面积___________． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）；（4）10 【分析】（1）由可证，可得，，即可求解； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得结论； （3）由可证，可得，可得结论； （4）利用全等三角形的性质和勾股定理可求，，的长，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）当点P在线段上运动时，，理由如下： 当点P在线段上运动时，如图1，由（1）可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ， ∴； （3）当点P在线段的延长线上运动时，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：10． 知识点06 中位线 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 2. 三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3. 中点四边形：顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 任意四边形的中点四边形一定时平形四边形； 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键． 利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】解：、为，的中点， 是的中位线， ， ， ． 故选． 2．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 本题主要考查了三角形中位线的性质，平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出、是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定是的中位线．首先已知平分，，则是等腰三角形，同理是等腰三角形，从而得出，，由的周长为26，及，，则，利用中位线定理可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴是等腰三角形， 同理是等腰三角形， ∴点Q是中点，点P是中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图1，将一个面积为1的等边三角形纸片挖去连接三边中点所组成的三角形后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图）如此进行挖下去，第6个图中，剩余图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线定理，两平行线间的距离，图形类规律探究等知识，解答此题的关键是求出剩余部分的面积为 ． 先根据三角形中位线的性质和两平行线间的距离相等求出第1个图形中，然后总结规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D，E，F分别是中点， ∴，， ∴， 同理可求，， ∴第1个图中，剩余图形的面积为， 第2个图中，剩余图形的面积为 第3个图中，剩余图形的面积为 第n个图中，剩余图形的面积为 第6个图中，剩余图形的面积为． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，D，E分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为______． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等角对等边，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理可得，，利用平行线的性质得到，结合可得，再根据等角对等边即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：12． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱形的性质及直角三角形的性质得，由三角形中位线定理求得，由勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∵为的中点， ∴， ∵，分别为，的中点，且， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 菱形的面积为． 故答案为：24． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长度为____． 【答案】 【分析】连接并延长交于P，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的判定与性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于P，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E，F分别是边，的中点，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴ ∵在与中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵点G是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题 10．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)且 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，,再由，可得，即． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：且． 12．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，分别是、上的点，且，和的交点为，和的交点为，求证：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，首先证明出四边形和四边形都是平行四边形，然后证明出是的中位线，进而证明即可． 【详解】证明：连接， 四边形是平行四边形， ，． ， ． 四边形和四边形都是平行四边形． ，． 是的中位线． ，． 13．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）（1）如图1，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连接，分别交于点，是中点，连接，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点．求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析（2）见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）易得分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，得出，根据等边对等角，得出，即可作答． （2）连接，取的中点H，连接分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，根据等边对等角以及角的等量代换，即可作答． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵E，F分别是的中点，是中点， ∴分别是，的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）如图，连接，取的中点H，连接 ∵E，F分别是的中点， ∴分别是，的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 14．（24-25八年级下·吉林·期末）【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，四边形的内角和等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． (1)延长至点G，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； (2)根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论； (3)连接，取的中点P，连接，得出，进而求出，由，， 得，，根据三角形的内角和以及等量代换即可求解． 【详解】(1)证明：延长至点G，使，连接，如图， 点D、E分别是的边与的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 且； (2)证明：是的中点，M是的中点， ， 是的中点，N是的中点， ， ， ， ； (3)解：连接，取的中点P，连接，如图2， 是中点，N是中点，， ，，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 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