专题01 函数的概念及表示重难点题型专训（3个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

本讲义聚焦初中数学函数的概念及表示这一核心知识点，从变量与函数的定义出发，系统梳理自变量取值范围的确定方法，再到列表法、解析法、图象法三种表示方式，通过11类题型构建从基础到拓展的学习支架。 该资料以实际情境问题（如出租车收费、弹簧长度变化）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力和几何直观，通过题型分层训练（经典例题+即时训练）发展推理意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学语言表达与应用能力。

专题01 函数的概念及表示重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 函数的概念 题型二 用表格表示变量间的关系 题型三 用关系式表示变量间的关系 题型四 用图象表示变量间的关系 题型五 求自变量的取值范围 题型六 函数解析式 题型七 函数图象识别 题型八 用描点法画函数图象 题型九 从函数的图象获取信息 题型十 动点问题的函数图象 题型十一 函数的三种表示方法 拓展训练一 函数图象中的动点问题 拓展训练二 根据图象中的信息解决问题 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课前预习）函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有_______与它对应，那么我们称y是x的___________，其中x是___________． 【答案】 唯一的值 函数 自变量 【解析】略 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需同时满足二次根式有意义的条件和分式分母不为零的条件，据此求解自变量x的取值范围即可. 【详解】解：要使函数有意义， ∴， 解得：， 故选项A符合题意． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴， ∴， ∴自变量x的取值范围是． 知识点三：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【答案】C 【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、B、D的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C选项正确描述了表格法的作用． 【详解】解：A项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴ A错误，不符合题意； B项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴ B错误，不符合题意； C项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴ C正确，符合题意； D项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）用_______来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法；图像法的优点是_______；图像法的缺点是________． 【答案】 图像 非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况 在图像中找对应值时往往不够准确，而且有的函数画不出它的图像，还有许多函数不可能得到它的完整图像 【分析】本题考查了函数的表示方法，根据图像法表示函数的优缺点得出答案即可，熟练掌握图像法表示函数的定义和优缺点是解题的关键． 【详解】解：用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法； 图像法的优点是非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况； 图像法的缺点是在图像中找对应值时往往不够准确，而且有的函数画不出它的图像，还有许多函数不可能得到它的完整图像． 故答案为：图像；非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况；在图像中找对应值时往往不够准确，而且有的函数画不出它的图像，还有许多函数不可能得到它的完整图像． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）下列表达式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义． 根据函数的定义，对于每个自变量x，必须有且只有一个因变量y与之对应． 【详解】解：A．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； B．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； C．，当时，一个自变量对应两个值，不满足函数的定义，y不是x的函数； D．，y是x的函数； 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若点在直线上，又在双曲线上，则______． 【答案】15 【分析】本题主要考查点与函数的关系和整体代入思想的应用，根据题意得到对应的方程组，将所求代数式和方程组变形采取整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵点在直线上，又在双曲线上， ∴， 则， 那么，， 故答案为：15． 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解本题的关键．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数．根据函数的定义判断即可． 【详解】根据函数的定义可知，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之对应，选项A，B，D均满足函数的定义，不符合题意； 选项C中，存在对于的某个确定的x值，y可能出现两个值与其对应，所以选项C中的曲线，y与x不是函数关系，符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____． 【答案】①④/④① 【分析】直接利用变量间的关系，结合函数的定义判断①②③④的结论. 【详解】解：根据圆柱的体积公式的实际应用， 油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v， 对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确； 对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误； 对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误； 对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确． 故①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的知识要点：函数的定义的理解，实际问题中的函数关系，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题． 3．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y(元)随时间t(分钟)的变化关系，如下表所示： 时间t/分钟 1 2 3 4 5 6． ··· 电话费y/元 ··· 根据表格中的数据，回答下列问题： (1) 是自变量， 是因变量； (2)打电话的时间t为1分钟时，电话费y为 元；打电话的时间t为5分钟时，电话费y为 元； (3)说一说电话费随着打电话时间的增加是怎样变化的？ (4)请估计打电话的时间为分钟时和10分钟时，电话费分别是多少元？ 【答案】(1)时间；电话费 (2)； (3)通话时间每增加1分钟，电话费就增加元； (4)当打电话的时间为分钟时，电话费为元，当打电话的时间为10分钟时，电话费为元． 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，函数的概念： （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格中的数据求解即可； （3）观察表格可知，通话时间每增加1分钟，电话费就增加元； （4）根据（3）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵电话费随着通话时间的变化而变化， ∴时间是自变量，电话费是因变量， 故答案为：时间；电话费； （2）解：由表格可知，打电话的时间t为1分钟时，电话费y为元； 打电话的时间t为5分钟时，电话费y为元； 故答案为：；； （3）解：观察表格可知，通话时间每增加1分钟，电话费就增加元； （4）解：当打电话的时间为分钟时，电话费为元，当打电话的时间为10分钟时，电话费为元． 【经典例题二 用表格表示变量间的关系】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 【答案】－125 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y＝x3， 当x＝﹣5时，y＝（﹣5）3＝﹣125， 故答案为：﹣125． 【点睛】本题考查了用表格表示变量间的关系，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）某校数学兴趣小组的同学利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度与小车下滑时间之间的关系如下： 支撑物高度 小车下滑时间 由表格信息可判断下列说法错误的是（    ） A．支撑物高度为时，小车下滑时间为 B．若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间 C．若支撑物高度为，则小车下滑时间可以是小于的任意值 D．支撑物高度越大，小车下滑时间越小 【答案】C 【分析】运用表格的数据，对选项进行逐一判断和推测，运用排除法得到正确选项． 【详解】、由表格可知，当时，，故该说法正确，不符合题意； 、通过观察表格可得，小车下滑时间为，支撑高度在至之间，故该说法正确，不符合题意； 、若支撑物高度为，则小车下滑时间可以是小于的值，并非任意值，此选项符合题意； 、支撑物高度越大，小车下滑时间越小，故该说法正确，不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查了用表格表示变量之间的关系，解题的关键在于能够通过表格分析各个选项，得出正确答案． 2．（25-26八年级·全国·寒假作业）某条河受暴雨袭击，水位的变化情况如下表： 时间/h 0 4 8 12 16 20 24 水位/m 2 2.5 3 4 5 6 8 （1）上表反映了___________和___________之间的关系，自变量是___________，因变量是___________． （2）12h时，水位是___________． （3）___________至___________水位上升最快． 【答案】 水位 时间 时间 水位 【分析】根据函数的概念，利用表格得出各时间对应的水位，再找出水位上升最快的时段即可． 【详解】解：（1）由表可知：反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位； （2）由表可以看出：12时，水位是4米； （3）由表可以看出：在相等的时间间隔内，20时至24时水位上升最快． 故答案为：水位；时间；时间；水位；4；20；24． 【点睛】本题考查了函数的表示方法及函数的有关概念，根据表格得出各时间对应的水位是解题的关键． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温 (2) (3)1372m 【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3）解： ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 【经典例题三 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·广东河源·期末）某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于千米），超过千米每增加千米（不足千米按千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）（）之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】根据出租车的收费标准，用含有的代数式表示车费即可． 【详解】解：由题意可知， 当时， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用关系式表示变量间的关系，理解出租车的收费标准是正确解答的前提． 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系： x(kg) 0 1 2 3 4 5 y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm C．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm D．与的关系表达式是 【答案】D 【分析】由表中的数据进行分析发现与满足一次函数关系，根据图表求出表达式，然后逐个分析四个选项，可得出最终结果． 【详解】根据图表观察与满足一次函数关系， 设， 代入（0,10）和（2,11）两点， 得：， 解得：， y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10， A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确，不符合题意； B、由图表知，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故B选项正确，不符合题意； C、由表达式知，当x= 7时，y = 13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故C选项正确，不符合题意； D、y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的概念，属于基础题，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，同时求出表达式是解题的关键． 2．（25-26八年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为______．    【答案】5 【分析】根据程序流程图，分别求出自变量的值是2和时的因变量值，根据因变量值相等进行计算即可． 【详解】解：由图可知：当时，，当时，， ∵输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查求因变量的值，解题的关键的读懂流程图，正确的进行计算． 3．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）小颖的哥哥高考结束后，从小商品批发市场购买了一批货物到夜市零售，她根据哥哥出售的货物的质量x（千克）与售价y（元）的关系列出下表： x（千克） 1 2 3 4 5 …… y（元）      …… (1)上述问题中的自变量与因变量各是什么？ (2)试写出y与x之间的关系式； (3)当出售的货物的质量为时，售价是多少？ 【答案】(1)自变量是出售的货物的质量，因变量是售价 (2) (3)元 【分析】本题考查了变量与常量，求变量之间的关系式，以及求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）由表格可得，售价的首项与质量的关系是质量的2倍，第二项均为，即可求出变量间的关系式； （3）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：自变量是出售的货物的质量，因变量是售价； （2）解：由表格可得，售价的首项与质量的关系是质量的2倍，第二项均为， ∴y与x之间的关系式为：； （3）解：把代入， 则（元）， 答：当出售的货物的质量为时，售价是元． 【经典例题四 用图象表示变量间的关系】 【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期末）甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 【答案】D 【分析】根据图象，列出关于a，b的方程，求出a，b的值，从而即可逐一判断各个选项． 【详解】解：根据图象可知，（300-a）÷b=（240-a）÷3=a÷1， 解得：a=60，b=4， 甲车的速度=60÷1=60km/h，乙车的速度=300÷3=100km/h， 故A，B，C正确，不符合题意； ∵60÷（100-60）=1.5，1.5+1=2.5h， ∴甲车出发后被乙车追上， 故D错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了用图像表示的变量间关系，理解图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键． 【例2】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是____________km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义； 根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误； 小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误； 故选：B． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm，请写出y与x的关系式； (3)当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； (2)； (3)阴影部分的面积由140cm变到44cm 【分析】（1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）根据阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小正方形的面积，即可解答； （3）根据当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，-4x2则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小． 【详解】（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化， ∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）由题意可得：； （3）由（2）知：， 当x=1cm时，（cm）． 当x=5cm时，（cm）． ∴当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm变到44cm 【点睛】本题考查了函数关系式，解决本题的关键是列出函数关系式． 【经典例题五 求自变量的取值范围】 【例1】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，然后解不等式组即可，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴且， 故选：． 【例2】（25-26八年级下·全国·单元测试）函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件可得且，解不等式即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且， 解得， 故答案为：． 1．（25-26八年级·全国·寒假作业）若函数有意义，则自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式分母不为零，以及二次根式被开方式非负即可得到函数有意义，自变量的取值范围． 【详解】解：若函数有意义， ，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查函数有意义的条件，涉及分式分母不为零、二次根式被开方式非负，按照所给函数的特征，准确列出不等式是解决问题的关键． 2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）函数中，自变量的取值范围是__________________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式组，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式组，计算即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）一个水池的容积为，现水池中蓄水，用水管以的速度向水池中注水，直到注满为止． (1)写出水池蓄水量与注水时间之间的关系式，并指出自变量的取值范围； (2)当向水池中注水14小时，则此时水池蓄水量是多少？ 【答案】(1) (2)80 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量等于现蓄水量加注水量得出函数关系式是解题关键． （1）根据蓄水量等于现蓄水量加注水量，可得函数关系式，根据蓄水量等于现蓄水量加注水量，可得自变量的取值范围； （2）根据自变量的值，可得函数值． 【详解】（1）由蓄水量等于现蓄水量加注水量，得 由， 解得， 自变量的取值范围； （2）当时，． 当向水池中注水14小时，则此时水池蓄水量是80． 【经典例题六 函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积求得长方形的另一条边长，然后根据长方形的周长公式进行即可求解， 本题考查了列函数关系式，理解题意求得长方形的另一条边长是解题的关键． 【详解】解：∵一个长方形的周长为，其中一条边长为， ∴另一条边长为：， 长方形面积为， 则． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 1．（2025·重庆·一模）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：流出油量是， 则剩余油量：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 2．（24-25八年级下·河南新乡·月考）如图，在中，，点D是边上一动点，若，，，则的面积S与x之间的关系式为_________（不必写x的取值范围）.    【答案】 【分析】根据三角形的面积公式即可求得． 【详解】解：∵，，， ∴ , 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 3．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 【答案】(1)8；14；4 (2)；； (3)或 【分析】（1）找到对应的点的位置，求出的面积即可； （2）设定对应的点的位置，用x表示出的面积即可； （3）分点P在边上，点P在边上，点P在边上三种情况，根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：当时，点在上，， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∴， ∴当时，对应； 综上所述，当时，对应；当时，对应；当时，对应． （2）解：当点P在边上时，如图，， ∴． ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，， ， ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，，则， ∴， ∴当点P在边上时，即时，； 综上所述，当点P在边上时，；当点P在边上时，；当点P在边上时，． （3）解：当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴，不符合题意，舍去； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴． 综上所述，当时，x值为或． 【经典例题七 函数图象识别】 【例1】（2026·江西上饶·一模）回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：依题意，师生队伍离学校的距离先增大，然后不变，最后变小，则符合题意的为B选项的函数图象． 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．          【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象分析出每个月产量增长速度变化情况，确定符合的图象即可． 【详解】解：观察函数图象可知，总产量在月，每个月产量增长速度由快变缓，在月，每个月产量保持不变，不再增加，能大致反映每个月产量增长速度的是C选项的图象． 2．（24-25八年级上·上海·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分． 【答案】100 【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 0~15分的速度：； 25分~35分的速度：； 45分~50分的速度：； ∵， ∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分； 故答案为：100． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【答案】(1)B； C (2)A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快 【分析】根据函数图象给出的信息解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，情境中小明中途有停留，且再出发时速度加快，故所对应的图象是B； 情境中小芳有返回家中停留后再出发，故所对应的图象是C； （2）解：A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快． 【经典例题八 用描点法画函数图象】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可. 【详解】A 选项，当 代入 故在直线上. B 选项，当 代入 故在直线上. C选项，当 代入 故在直线上. D选项，当 代入 故不在直线上. 故选D. 【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握. 【例2】（2025·湖北武汉·二模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图1，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活．如图2是杆秤的示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如下一组数据，已知表中有一组数据错了． 秤砣到秤纽的水平距离（） 1 2 4 7 12 秤钩所挂物体重量（斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.50 若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为________斤． 【答案】4.5 【分析】在平面直角坐标系中描点，连线，画出图像，从图中发现（4，2.00）这组数据错了，利用正确的数组，列方程组，求出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式，利用自变量为16是，求函数值即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中描出点（1，0.75），（2，1.00），（4，2.00），（7，2.25），（12，3.50）， 从图中发现（4，2.00）这组数据错了， 设秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为， 代入两组正确的数组得， 解得， 秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为， 当x=16时，， ∴秤钩上所挂物体的重量为4.5斤． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查描点法画函数图像，利用图像发现错误数组，一次函数表达式，会求函数值，掌握描点法画函数图像，利用图像发现错误数组，一次函数表达式，会求函数值是解题关键． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 【答案】(1)图表见解析 (2)②③ (3) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据解析式计算即可填表；再利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象判断三个性质即可； （3）根据图象直线经过点时，与函数的图象只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：补充表格： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 0 1 2 2 2 2 … 画出函数图象如图所示： （2）解：由图象可知， ①函数图像关于y轴不对称，故①错误； ②此函数无最小值，正确； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变．正确． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③； （3）解：直线与函数的图象只有一个交点， 根据图象可知，直线经过点， ∴， ∴． 【经典例题九 从函数的图象获取信息】 【例1】（2026八年级下·重庆·专题练习）小李家，小明家，学校依次在一条直线上．某天，小李和小明相约回家取球拍后去学校打球．他们同时从学校出发匀速返回家中，两人同时到家，小李到家取完球拍后立即以另一速度返回学校，小明取完球拍在家休息了后按原速返回，且同时到达学校（两人找球拍时间忽略不计）．小李和小明与学校距离y（m）与两人出发时间x（）的函数关系如图所示．下列描述中，错误的是（   ） A．小李家距离学校 B．小明速度为 C．小李返回学校的速度为 D．两人出发时，小李与小明相距 【答案】B 【分析】由图象可得小李家离学校，小明家离学校，由速度路程时间，可以计算两人的速度，由路程的和差关系可求两人出发时，小李和小明相距的路程，即可求解． 【详解】解：由图象可知，小李家离学校，小明家离学校， ∵小明取完球拍在家休息了后按原速返回， ∴小明返回家里的时间为， ∴小明的速度为， 小李返回学校的速度为， 两人出发时，小李和小明相距， ∴选项ACD都描述正确，不符合题意，只有B符合题意． 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是________．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息． 根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象可知：①甲先出发10分钟，乙才出发，故不正确； ②甲的速度是米/分钟，正确； ③乙出发时，甲在乙前面米，正确； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米，正确． 故答案为：②③④． 1．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数与该重物浸入水面深度的图象．下列结论中错误的是（   ） 小贴士：当时，；当时，（G为物体所受到的重力） A．该重物的重力为 B．点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中 C．该重物的高度为 D．从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变 【答案】D 【分析】从函数图象中的坐标含义，结合图象的变化分析即可． 【详解】解：当时，， ∴该重物的重力为， 故选项A正确，不符合条件； 由图②可知在点P处时该重物完全浸入水中， 故选项B正确，不符合条件； 在点P处时该重物完全浸入水中，此时， 故选项C正确，不符合条件； 从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F随h的增大而减小， 故选项D错误，符合条件． 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下三个结论：①甲的速度是4米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；③甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查从函数图像获取信息，根据函数图象得出相关信息是解题关键． 根据图象及行程问题进行先求出甲、乙的速度即可求解． 【详解】解：由图可知：甲3秒跑了12米， ∴甲的速度是4米/秒；故①正确； ∴甲从起点到终点共用（秒）， 由图知，乙用80秒跑400米， ∴乙速度为5米/秒， ∴乙追上甲用的时间为（秒）， 此时距出发点（米），故②正确； 乙出发80秒时，甲跑的路程是（米）， 此时甲、乙两人相距距离最大，最大距离是（米），故③正确； 故答案为：①②③． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）张叔叔驾驶汽车从A地开往B地送东西，中途到休息区休息了一段时间，又继续行驶到B地，东西送到后立即返回A地，已知A、B两地在一条笔直的公路上，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的关系如图所示（全程），请根据图像回答下列问题： (1)张叔叔在休息区停留了 h，汽车全程一共行驶了 km； (2)张叔叔从B地返回到A地用了多长时间？ (3)休息区距离B地多少千米？ (4)求张叔叔驾驶汽车从A地开往B地的过程中，到达休息区之前的行驶速度． 【答案】(1)0.5，240 (2)1.5小时 (3)40千米 (4)千米/小时 【分析】本题主要考查了从函数图像获得信息，正确理解题意，看懂函数图像是解题关键． （1）观察图像，确定汽车在行驶中停留的时间，并确定总路程即可； （2）根据图像，利用“返回地时间到达B地时间”即可得出结论； （3）根据图像即可得出结论； （4）根据图像，结合“速度路程时间”即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知张叔叔在休息区停留了， 汽车全程一共行驶了； 故答案为：0.5；240； （2）解：根据题意得：， 答：张叔叔从B地返回到A地用了1.5小时． （3）解：根据题意得：， 答：休息区距离B地40千米． （4）解：根据题意得：， 答：张叔叔驾驶汽车从A地开往B地的过程中，到达休息区之前的行驶速度为千米/小时． 【经典例题十 动点问题的函数图象】 【例1】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·四川雅安·期末）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形的周长是_____． 【答案】16 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解两个图的数据关联是解题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，再根据长方形的周长公式得出长方形的周长． 【详解】解：当点P运动到点C、D之间时，的面积不变， 时，y不发生变化， ，， 所以长方形的周长是：． 故答案为：16． 1．（2025·甘肃·三模）如图①，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图②所示，是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象信息，得当时，，此时运动结束，表示点P运动到了点C处，故,；当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当P与Q重合时，最小，根据勾股定理解答即可． 本题考查了函数图象，垂线段最短，勾股定理，读懂图象，用好垂线段最短，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据图象信息，得当时，，此时运动结束，表示点P运动到了点C处，故,； 当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当P与Q重合时，最小， 此时，， 故． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是________（填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个小题符合题意． 【详解】解：由图象可得， 小刚返回家的速度为： （米/分钟）， 故①正确，符合题意； 小亮与小刚家相距为： （米）， 故②正确，符合题意； 小亮到体育馆用的时间为：（分）， 故③正确，符合题意； 小刚从家到体育馆用的时间为： （分）， 小刚回家后取装备用的时间为： （分）， 故④正确，符合题意； 小刚取了装备后追上小亮时用的时间为分钟， ， 解得， ∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为： （米）， 故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 3．（24-25八年级下·广东茂名·期中）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 【答案】(1)；； (2)的值为，的值为 (3)； 【分析】本题考查动点问题的函数图像，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息． （1）因为点速度为，所以根据图2的时间可以求出线段，和的长度； （2）由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （3）先用表示出点到的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 故答案为：；；． （2）解：根据题意得：， ， ． ∴图2中的值为，的值为． （3）解：由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即， 由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即． ∴点在线段上运动时与的关系式为，点在线段上运动时与的关系式为． 【经典例题十一 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出和解析式即可解答． 【详解】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃； 当x=11时，y=20-11×6=-46℃， ∴y=-6x+20（） 当时，y=-46 根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了运用函数图像描述实际问题的能力，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键． 【例2】（24-25八年级下·四川巴中·期末）在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与的值无关；④用关系式表示的，不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中正确的是______． 【答案】①②⑤ 【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法． 【详解】①x是自变量，y是因变量；故说法正确； ②x的数值可以任意选择；故说法正确； ③y是变量，它的值随x的变化而变化；故原说法错误； ④用关系式表示的能用图象表示；故原说法错误； ⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，故说法正确； 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查了函数的基础知识以及函数的表示方法，熟练掌握函数的表示方法是解题的关键． 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案． 【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意； B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意； C．参观时路程不变，故C不符合题意； D．返回时路程逐渐减少，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 【答案】 加快 68.6 【详解】解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快； 当气温为时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟秒后，听到了枪声． 则由此可知，这个人距发令地点（米）． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x（图3-10）的数据如下表（单位：m）： 吻尖到喷水孔的长度 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95 全长 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90 问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式． 【答案】能， 【分析】在直角坐标系中画出以表5-9中各对x与y的对应值为坐标的各点，观察这些点大致在一条直线上，判断y是关于x的一次函数．用待定系数法求出y关于x的函数表达式． 【详解】在直角坐标系中画出以表5-9中x的值为横坐标，y的值为纵坐标的7个点， 由图看出，这7个点几乎在同一条直线上， ∴函数近似看成一次函数，可以用一次函数来刻画这两个变量x和y的关系． 设这个一次函数为， ∵较多的点靠近或在点，所确定的直线上， ∴把点，分别代入， 得， 解得：， ∴所求的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握以数对作为点的坐标在平面直角坐标系中描点画图，待定系数法求函数解析式． 【拓展训练一 函数图象中的动点问题】 【例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高， 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在梯形中（图），，，，动点 以每秒 的速度沿着方向运动，相应的 的面积与时间之间的函数关系如图 所示，则梯形 的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查动点的图象问题，由题可得当时，面积最大，这时点与重合，求出梯形的高为，再观察图象得，最后由面积公式即可求解，能从图象中提取相关信息计算是解题的关键． 【详解】解：由题可得当时，面积最大，这时点与重合， ∴梯形的高为，从第到第时，面积不变， ∴， ∴梯形的面积， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【答案】(1)3；6；18 (2) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可； （2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可． 【详解】（1）解：当时点从点运动到点，， ∴， 点从点运动到点，面积从变化到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；6；18； （2）解：， ∴． 2．（24-25八年级下·山东·期末）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合．图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)边没有运动时，边的长度是 　　； (2)边的长度是 　　； (3)当时，长方形的面积是 　　； (4)在变化过程中，长方形面积的最大值　　； (5)直接写出边向左平行移动时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2 (2)3 (3)28.5 (4)36 (5) 【分析】本题主要考查了长方形的面积公式、函数的图象、动点问题的函数图象、路程=速度×时间公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题关键． （1）观察图2，当当时，，即可得解； （2）由图3可知，当时，，再根据长方形面积公式即可求出； （3）先算出向右运动的速度，在算出时的长度，此时面积即可求出； （4）观察图2得出最大值是12，代入面积公式即可求出值； （5）先算出向左运动的速度，再把用含的关系时表示出来，最后利用面积公式求即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ， 故答案为：2； （2）解：由图3可知，当时，， ， ， 故答案为：3； （3）解：由图2可知，向右运动的速度为， 当时，走的路程为， 此时，， 故答案为：28.5； （4）解：由图2可知，的最大值是12，此时， 故答案为：36； （5）解：由图2可计算出，向左运动的速度， 此时， ． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段；（2）半圆弧；（3）线段，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请回答下列问题（圆周率π的值取3）： (1)请直接写出：花园的半径是______米，小明的速度是______米／分，_______； (2)若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离为_________米 ②小明返回起点O的时间为_________分钟． 【答案】(1)100，50，8 (2)①50；②12 【分析】（1）由t在2分钟到a分钟变化时，S不变可知，半径为100米，速度为50米/分，走完线段和半圆弧所用时间之和即为a的值； （2）①由（1）根据图象，第11分时，小明继续行走，则小明之前行走9分，可求出已经行走路程，用全程路程减去已走路程即可； ②可求全程时间为500米，用时10分钟，再加上停留2分钟即可． 【详解】（1）解：由图象可知，花园半径为100米，小明速度为100÷2＝50米/分，半圆弧长为100π＝300米，则a＝28（分）， 故答案为：100，50，8． （2）①由已知，第11分时小明继续前进，则行进时间为9分钟，路程为450米 全程长100+300+100＝500米，则小明离出发点距离为50米； 故答案为：50 ②小明返回起点O的时间为（分）． 故答案为：12 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了通过函数图象探究图象代表的实际意义，运用数形结合的数学思想是关键． 【拓展训练二 根据图象中的信息解决问题】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离与他所用的时间之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据图象易得小辉家离图书馆的距离为，从小辉家到图书馆所用的时间为，从图书馆到小辉家的所用的时间为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意及图象可得：小辉家离图书馆的距离为，从小辉家到图书馆所用的时间为，从图书馆到小辉家的所用的时间为， ∴小辉从家去图书馆的速度为；从图书馆回家的速度为． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图．若返回时上坡，下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是___________． 【答案】/15分钟 【分析】根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度．又已知返回途中的上下坡的路程正好相反，故可计算返程总时间． 【详解】解：由图可得，上坡路程，用时， 上坡速度：， 下坡阶段：下坡路程，用时， 下坡速度：， 由题意得，从学校回家时，原来的下坡路变成上坡路，原来的上坡路变成下坡路： ∴新的上坡路程（原下坡路）：，速度为， 用时：； 新的下坡路程（原上坡路）：，速度为， 用时：， ∴返程总时间为． 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图是某市某一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间的变化而变化．请观察图象，回答下列问题： (1)上午10时、晚上20时的气温各为多少摄氏度？ (2)在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），气温什么时候达到最高，最高温度为多少摄氏度？什么时间气温达到最低，最低气温是多少摄氏度？ (3)如果某旅行团这天想去登山，登山的气温最好在以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始？共有多长时间适宜登山？ 【答案】(1)上午10时气温，晚上20时气温为 (2)下午14时气温达到最高，最高温度为；深夜24时气温达到最低，最低温度为 (3)该旅行团适宜登山的时间从上午9时开始，共有9小时适宜登山 【详解】（1）解：上午10时的气温为，晚上20时的气温为； （2）解：在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），下午14时气温达到最高，最高温为；深夜24时气温达到最低，最低温度为； （3）解：该旅行团适宜登山的时间从上午9时开始，共有9小时适宜登山． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）某天，小明骑共享单车从家出发去小文家，同时小文从家出发骑车去接小明．骑行一段时间后，小明的共享单车发生故障，故在原地等待，两人相遇后小文载着小明一起回家，之后小文的骑行速度变为小明之前骑行速度的一半．如图反映了小明、小文两人离小明家的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系．请根据图中信息，回答下列问题： (1)小明家和小文家相距____________，共享单车发生故障后，小明在原地等待了____________与小文相遇； (2)相遇前，小文骑行速度是____________； (3)相遇后，两人还需要骑行多少分钟才能到达小文家？ 【答案】(1)16，10； (2)0.2； (3)． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、行程问题中的分段讨论知识点，掌握从函数图像中提取关键信息、根据行程位置关系分类讨论的方法是解题的关键． （1）从图像中提取小明、小文的行程信息，利用速度=路程÷时间计算速度，再根据甲到地的距离确定两地距离； （2）确定甲返回的起始时间，用待定系数法求返回时的函数关系式； （3）分四种情况讨论两人距地的距离相等，根据位置关系列方程求解，筛选符合条件的解． 【详解】（1）解：∵ 当时，小文离小明家的距离为km， ∴ 小明家和小文家相距km ∵ 小明在min 时发生故障，于min 时与小文相遇， ∴ 小明在原地等待了min． （2）解：∵ 相遇前，小文用时min，行驶的距离为km， ∴ 相遇前，小文骑行速度是 ． （3）解：由题图可知，相遇前，小明骑行速度为， 相遇后，两人骑行速度为，． 故相遇后，两人还需要骑行才能到达小文家． 3．（24-25八年级下·云南文山·期末）阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即 、 、 ． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)将“阅读理解”补充完整； (2)用表格表示： 时间/h 路程/ 利用表格我们可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为 ． (3)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为，行驶的路程为．则 ． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间 ． (4)用图象表示： 为更好的研究随的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时， ． ②图中点表示的意义是什么？ 【答案】(1)表格，关系式，图象； (2)； (3)，； (4)①；②图中点表示的意义就是当汽车行驶时间为时，行驶的路程为． 【分析】（1）根据用三种方式表示变量之间的关系即可解答； （2）由题意即可解答； （3）由题意即可解答，将代入计算即可； （4）由图象即可解答． 【详解】（1）解：可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格，关系式，图象； （2）解：由题意得，当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为； （3）解：由题意得，； 当时，则， ； （4）解：①当时，； ②由题意得，图中点表示的意义就是当汽车行驶时间为时，行驶的路程为． A基础训练 1．（24-25八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此分析每一选项即可得出答案． 【详解】A． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；   B． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；    C． 对于x的每一个取值（），y都有两个值，不是函数，故选项正确，符合题意；   D． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了函数的定义，一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 2．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）下列四个图象中，y不是x的函数的是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】D 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， A、y是x的函数，故此选项不符合题意； B、y是x的函数，故此选项不符合题意； C、y是x的函数，故此选项不符合题意； D、y不是x的函数，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）据省统计局公布的数据，安徽省第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第三季度总产值为7.9(1+x) 千亿元，第四季度总产值为， 根据y是第三季度和第四季度的产值和计算即可． 【详解】∵第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x， ∴第三季度总产值为7.9(1+x) 千亿元，第四季度总产值为， ∴y=7.9(1+x)+ ， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了增长率问题，熟练掌握增长率的计算方法是解题的关键． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：下列说法错误的是（    ） 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当空气温度为时，声音可以传播 D．当温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．其定义是在一个变化过程种，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是因变量，也是函数 【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢， ∴选项B说法正确，不符合题意； ∵(m)， ∴当空气温度为时，声音4s可以传播1344m， ∴选项C说法错误，符合题意； ∵(m/s)，(m/s)，(m/s)，(m/s)， (m/s)， ∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s， ∴选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了自变量，因变量．熟练掌握自变量、因变量的定义是解题的关键． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿着方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当时， C． D．长方形的周长是22 【答案】B 【分析】根据图象给出的信息逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，，，故选项C不合题意； 长方形的周长为，故选项D不合题意； 当时，点在上，，故选项A不合题意； 当时，， 解得， 则点在或上， 当点在上时，，此时； 当点在上时，，此时； ∴或；故选项B符合题意． B 提高训练 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是_______．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 7．（24-25八年级下·山东威海·期末）某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为__________件． 【答案】20 【分析】本题考查函数关系式，读懂题意，找到道等量关系是关键； 先找出总售价与售出件数的函数关系，再据此计算总售价为1000元时售出的件数． 【详解】解：观察表格，售出件时总售价50元，售出件时总售价100元， 发现总售价（元）与售出件数（件）满足（为正整数）． 当时，代入，可得， 解得． 所以，若总售价为1000元，则售出的件数为20件． 故答案为：20． 8．（24-25八年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为__________________________． 时间 两车相距 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律．根据表格可得时，，时间每增加，两车的相距对应减少，由此可得与的关系式． 【详解】解：由题意可得：时，，时间每增加，两车的相距对应减少， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东佛山·期末）下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格： 所挂物体重量x（kg） 1 2 3 4 5 弹簧长度y（cm） 10 12 14 16 18 则弹簧长度y与所挂物体重量x的之间的关系式为________________，当所挂物体质量为3.5kg时，弹簧长度为__________． 【答案】 y＝2x＋8 15cm 【分析】设y=kx+b，取表格两组数据代入解出k、b，即可求得y与x的关系式，再将x=3.5代入求解即可． 【详解】解：由题意，设弹簧长度y与所挂物体重量x的之间的关系式为y=kx+b， 将x=1，y=10和x=2，y=12代入y=kx+b中， 得：，解得：， ∴弹簧长度y与所挂物体重量x的之间的关系式为y=2x+8， 当x=3.5时，y=2×3.5+8=15， 故答案为：y=2x+8，15cm． 【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式、解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法求函数表达式的方法步骤是解答的关键． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    【答案】12 【分析】由图象可知是等腰三角形，当点运动到上，时，最小为3，且此时点在的中点处，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，则是等腰三角形， 点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为3，即：时，， 此时，， ∵是等腰三角形， ∴， 的面积． C 培优训练 11．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． (1)写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； (2)6h后池中还有多少水？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入可得函数值． 【详解】（1）解：∵池中有水，每小时抽出 ∴剩余水的体积与时间之间的关系式是； （2）当时， 答：6小时后，池中还有的水． 12．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了列函数关系式，求解函数的函数值，理解题意列出正确的函数解析式是解题的关键． （1）由长方形的面积公式可得函数解析式； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，平方米． 13．（2025·北京东城·一模）如图①，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，与之间的关系图像如图②所示． (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是_____、_____； (2)当点运动的路程时，三角形的面积_____； (3)求的长和梯形的面积． 【答案】(1)点运动的路程；的面积 (2)16 (3)8， 【分析】此题考查了动点问题的函数图像，弄清函数图像上的信息是解本题的关键． （1）依据点运动的路程为，的面积为，即可得到自变量和因变量； （2）依据函数图像，即可得到点运动的路程时，的面积； （3）根据图像得出的长，以及此时三角形面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图像得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量为点运动的路程为，因变量为的面积为， 故答案为：点运动的路程；的面积； （2）解：由图可得，当点运动的路程时，的面积为， 故答案为：16； （3）解：根据图像得：，此时为16， ，即， 解得； 由图像得：， 则， ，梯形的面积为26． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下表为某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据，用趋势图描述鱼卵的孵化时间与水温之间的关系，并估计水温30℃时鱼卵的孵化时间． 水温 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间/天 8 7 6 5 5 4 3 2 【答案】趋势图见解析，鱼卵的孵化时间约为1.4天． 【分析】先观察表格中水温与孵化时间的变化趋势，判断两者的相关关系，再通过数据变化规律进行线性估算，以推测时的孵化时间． 【详解】解：观察表格中水温与孵化时间的对应值：当水温从升高至时，孵化时间从天减少至天，可见水温越高，鱼卵孵化的时间越短，且数据呈现近似线性的变化趋势． 作出的趋势图如下： 基于趋势图的线性变化规律，结合数据间的变化速率（如水温每升高若干度，孵化时间减少的幅度），推断当水温为时，鱼卵的孵化时间约为天． 【点睛】本题考查了变量之间的相关性分析与趋势估算，解题关键是通过观察数据变化规律，建立合理的变化速率进行预测． 15．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案； （2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可 【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为， ∴， 故答案为：10； （2）∵四边形是长方形， ∴， ∴， 则点由点运动到点的总时间为； （3）由（2）可知，， 则，， 若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 当时，此时点在上，点在上，不符合题意， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 ， 综上，． 【点睛】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出，，，并表示出相应线段的长度是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的概念及表示重难点题型专训 （个知识点+大题型+拓展训练+自我检测） 题型一 函数的概念 题型二 用表格表示变量间的关系 题型三 用关系式表示变量间的关系 题型四 用图象表示变量间的关系 题型五 求自变量的取值范围 题型六 函数解析式 题型七 函数图象识别 题型八 用描点法画函数图象 题型九 从函数的图象获取信息 题型十 动点问题的函数图象 题型十一 函数的三种表示方法 拓展训练一 函数图象中的动点问题 拓展训练二 根据图象中的信息解决问题 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 2．（24-25九年级上·全国·课前预习）函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有_______与它对应，那么我们称y是x的___________，其中x是___________． 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）函数中，自变量x的取值范围是___________． 知识点三：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）用_______来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法；图像法的优点是_______；图像法的缺点是________． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）下列表达式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若点在直线上，又在双曲线上，则______． 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____． 3．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y(元)随时间t(分钟)的变化关系，如下表所示： 时间t/分钟 1 2 3 4 5 6． ··· 电话费y/元 ··· 根据表格中的数据，回答下列问题： (1) 是自变量， 是因变量； (2)打电话的时间t为1分钟时，电话费y为 元；打电话的时间t为5分钟时，电话费y为 元； (3)说一说电话费随着打电话时间的增加是怎样变化的？ (4)请估计打电话的时间为分钟时和10分钟时，电话费分别是多少元？ 【经典例题二 用表格表示变量间的关系】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）某校数学兴趣小组的同学利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度与小车下滑时间之间的关系如下： 支撑物高度 小车下滑时间 由表格信息可判断下列说法错误的是（    ） A．支撑物高度为时，小车下滑时间为 B．若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间 C．若支撑物高度为，则小车下滑时间可以是小于的任意值 D．支撑物高度越大，小车下滑时间越小 2．（25-26八年级·全国·寒假作业）某条河受暴雨袭击，水位的变化情况如下表： 时间/h 0 4 8 12 16 20 24 水位/m 2 2.5 3 4 5 6 8 （1）上表反映了___________和___________之间的关系，自变量是___________，因变量是___________． （2）12h时，水位是___________． （3）___________至___________水位上升最快． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·月考）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 (1)在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字） (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______；（不要求写的取值范围） (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【经典例题三 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东河源·期末）某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于千米），超过千米每增加千米（不足千米按千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）（）之间的关系式为__________． 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系： x(kg) 0 1 2 3 4 5 y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm C．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm D．与的关系表达式是 2．（25-26八年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为______．    3．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）小颖的哥哥高考结束后，从小商品批发市场购买了一批货物到夜市零售，她根据哥哥出售的货物的质量x（千克）与售价y（元）的关系列出下表： x（千克） 1 2 3 4 5 …… y（元）      …… (1)上述问题中的自变量与因变量各是什么？ (2)试写出y与x之间的关系式； (3)当出售的货物的质量为时，售价是多少？ 【经典例题四 用图象表示变量间的关系】 【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期末）甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 【例2】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是____________km． 1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm，请写出y与x的关系式； (3)当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？ 【经典例题五 求自变量的取值范围】 【例1】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【例2】（25-26八年级下·全国·单元测试）函数中自变量的取值范围是_____． 1．（25-26八年级·全国·寒假作业）若函数有意义，则自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）函数中，自变量的取值范围是__________________． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）一个水池的容积为，现水池中蓄水，用水管以的速度向水池中注水，直到注满为止． (1)写出水池蓄水量与注水时间之间的关系式，并指出自变量的取值范围； (2)当向水池中注水14小时，则此时水池蓄水量是多少？ 【经典例题六 函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______． 1．（2025·重庆·一模）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南新乡·月考）如图，在中，，点D是边上一动点，若，，，则的面积S与x之间的关系式为_________（不必写x的取值范围）.    3．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 【经典例题七 函数图象识别】 【例1】（2026·江西上饶·一模）回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A．B．C．D． 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．          1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间（分）和离家距离（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【经典例题八 用描点法画函数图象】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【例2】（2025·湖北武汉·二模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图1，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活．如图2是杆秤的示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如下一组数据，已知表中有一组数据错了． 秤砣到秤纽的水平距离（） 1 2 4 7 12 秤钩所挂物体重量（斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.50 若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为________斤． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 【经典例题九 从函数的图象获取信息】 【例1】（2026八年级下·重庆·专题练习）小李家，小明家，学校依次在一条直线上．某天，小李和小明相约回家取球拍后去学校打球．他们同时从学校出发匀速返回家中，两人同时到家，小李到家取完球拍后立即以另一速度返回学校，小明取完球拍在家休息了后按原速返回，且同时到达学校（两人找球拍时间忽略不计）．小李和小明与学校距离y（m）与两人出发时间x（）的函数关系如图所示．下列描述中，错误的是（   ） A．小李家距离学校 B．小明速度为 C．小李返回学校的速度为 D．两人出发时，小李与小明相距 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是________．（填写序号） 1．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数与该重物浸入水面深度的图象．下列结论中错误的是（   ） 小贴士：当时，；当时，（G为物体所受到的重力） A．该重物的重力为 B．点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中 C．该重物的高度为 D．从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下三个结论：①甲的速度是4米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；③甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是________． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）张叔叔驾驶汽车从A地开往B地送东西，中途到休息区休息了一段时间，又继续行驶到B地，东西送到后立即返回A地，已知A、B两地在一条笔直的公路上，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的关系如图所示（全程），请根据图像回答下列问题： (1)张叔叔在休息区停留了 h，汽车全程一共行驶了 km； (2)张叔叔从B地返回到A地用了多长时间？ (3)休息区距离B地多少千米？ (4)求张叔叔驾驶汽车从A地开往B地的过程中，到达休息区之前的行驶速度． 【经典例题十 动点问题的函数图象】 【例1】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【例2】（24-25八年级上·四川雅安·期末）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形的周长是_____． 1．（2025·甘肃·三模）如图①，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图②所示，是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是________（填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 3．（24-25八年级下·广东茂名·期中）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 【经典例题十一 函数的三种表示方法】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川巴中·期末）在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与的值无关；④用关系式表示的，不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中正确的是______． 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x（图3-10）的数据如下表（单位：m）： 吻尖到喷水孔的长度 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95 全长 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90 问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式． 【拓展训练一 函数图象中的动点问题】 【例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在梯形中（图），，，，动点 以每秒 的速度沿着方向运动，相应的 的面积与时间之间的函数关系如图 所示，则梯形 的面积为______． 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 2．（24-25八年级下·山东·期末）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合．图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)边没有运动时，边的长度是 　　； (2)边的长度是 　　； (3)当时，长方形的面积是 　　； (4)在变化过程中，长方形面积的最大值　　； (5)直接写出边向左平行移动时，长方形的面积与时间之间的关系式． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段；（2）半圆弧；（3）线段，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请回答下列问题（圆周率π的值取3）： (1)请直接写出：花园的半径是______米，小明的速度是______米／分，_______； (2)若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离为_________米 ②小明返回起点O的时间为_________分钟． 【拓展训练二 根据图象中的信息解决问题】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离与他所用的时间之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图．若返回时上坡，下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是___________． 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图是某市某一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间的变化而变化．请观察图象，回答下列问题： (1)上午10时、晚上20时的气温各为多少摄氏度？ (2)在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），气温什么时候达到最高，最高温度为多少摄氏度？什么时间气温达到最低，最低气温是多少摄氏度？ (3)如果某旅行团这天想去登山，登山的气温最好在以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始？共有多长时间适宜登山？ 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）某天，小明骑共享单车从家出发去小文家，同时小文从家出发骑车去接小明．骑行一段时间后，小明的共享单车发生故障，故在原地等待，两人相遇后小文载着小明一起回家，之后小文的骑行速度变为小明之前骑行速度的一半．如图反映了小明、小文两人离小明家的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系．请根据图中信息，回答下列问题： (1)小明家和小文家相距____________，共享单车发生故障后，小明在原地等待了____________与小文相遇； (2)相遇前，小文骑行速度是____________； (3)相遇后，两人还需要骑行多少分钟才能到达小文家？ 3．（24-25八年级下·云南文山·期末）阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即 、 、 ． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)将“阅读理解”补充完整； (2)用表格表示： 时间/h 路程/ 利用表格我们可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为 ． (3)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为，行驶的路程为．则 ． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间 ． (4)用图象表示： 为更好的研究随的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时， ． ②图中点表示的意义是什么？ A基础训练 1．（24-25八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）下列四个图象中，y不是x的函数的是（    ） A．   B．  C．   D．   3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）据省统计局公布的数据，安徽省第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：下列说法错误的是（    ） 温度（℃） 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当空气温度为时，声音可以传播 D．当温度每升高，声速增加 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿着方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当时， C． D．长方形的周长是22 B 提高训练 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是_______．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 7．（24-25八年级下·山东威海·期末）某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为__________件． 8．（24-25八年级下·四川成都·期末）甲，乙两车分别从，两地沿直路同向匀速行驶，两车相距（单位：）与行驶时间（单位：） ）的部分对应值如表，则与的对应关系可用关系式表示为__________________________． 时间 两车相距 9．（24-25八年级下·广东佛山·期末）下表为研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格： 所挂物体重量x（kg） 1 2 3 4 5 弹簧长度y（cm） 10 12 14 16 18 则弹簧长度y与所挂物体重量x的之间的关系式为________________，当所挂物体质量为3.5kg时，弹簧长度为__________． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    C 培优训练 11．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）已知水池中有的水，现用一台抽水机抽水，每小时抽水． (1)写出剩余水的体积与抽水时间之间的关系式（不必写出的范围）； (2)6h后池中还有多少水？ 12．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）． (1)求长方形的面积y与长方形的宽x之间的关系式； (2)当长方形的宽为20米时，则此时长方形的面积为多少平方米？ 13．（2025·北京东城·一模）如图①，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，与之间的关系图像如图②所示． (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是_____、_____； (2)当点运动的路程时，三角形的面积_____； (3)求的长和梯形的面积． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下表为某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据，用趋势图描述鱼卵的孵化时间与水温之间的关系，并估计水温30℃时鱼卵的孵化时间． 水温 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间/天 8 7 6 5 5 4 3 2 15．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．    (1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； (2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； (3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $