精品解析：湖南邵东市第三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

邵东三中2026年上学期高一期中考试数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以或， 结合，所以或. 3. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. 4 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，，夹角， 则， 所以， 所以. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的知识可得，，，由函数为奇函数，且在上是严格减函数，可得在R上单调递减，利用单调性即可比较大小. 【详解】根据题意，，， ， 又函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数， 则函数在上为单调递减函数， 因为，所以， 即，故. 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【详解】设这个圆锥底面半径为，母线为，则底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为， 由弧度制的定义知，所以，则侧面积为， 所以这个圆锥的表面积为，所以，则直径为2m． 6. 已知平面向量．若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 7. 在中，角的边分别为，已知，其外接圆半径，则下列判断中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则该三角形有两解 C. 周长的最小值为6 D. 面积的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由面积公式及正弦定理结合基本不等式解决即可. 【详解】对于A，由正弦定理得，解得，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，，，所以，所以该三角形有两解，故B正确； 对于C，由，得 ， 所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大值为6，故C错误； 对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号， 故，所以面积的最大值为，故D正确. 8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用三点共线，可求出的值. 【详解】 如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若直线上的三个点在平面内，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用球的定义判断A；利用线面位置关系判断BC；利用平面的基本事实判断D. 【详解】对于A，球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等，A正确； 对于B，第一条直线与平面相交，若另一条直线与平面不相交，则该直线在平面内或与平面平行， 此直线与第一条直线相交或是异面直线，与两条直线平行矛盾，B错误； 对于C，直线，由，得存在过的平面，则， 由，得存在过的平面，则，而，则， 又，因此，C正确； 对于D，直线上的三个点在平面内，则，D正确. 故选：ACD 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若点为的重心，则 C. 若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心 D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理求得，再结合即可判定；对于B，根据重心为中线交点判断即可；对于C，根据判断；对于D，设的中点分别为，进而得，再结合面积公式判断. 【详解】对于A，由正弦定理可知，即，解得， 又，所以，故A只有一解，所以三角形一解，故A错误； 对于B，因为点为的重心，设中点为，则，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确； 对于D，因为，所以， 设的中点分别为，如图，则，即， 所以，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 13. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【解析】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得，则可利用余弦定理求得，则可得，再设，利用正弦定理可表示出，最后利用辅助角公式及范围即可得解. 【详解】如图，连接，在中，，则， 所以， 则， 所以， 设，则， 于是在中，由正弦定理，得， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步果. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求在上的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合倍角公式和辅助角公式化简解析式，由正弦函数周期性求最小正周期； （2）结合（1），根据正弦函数单调性和“整体法”解三角不等式即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以最小正周期. 【小问2详解】 由得：， 因为，所以. 则，解得 ，解得 所以在上的解集是 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且的面积为. （1）求角； （2）若求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可. （2）结合第一小问将求出来，进而求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理得： 又 ，， 又 ， 又 . 【小问2详解】 由（1）得， ， ， 17. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）5，7； （2）， 【解析】 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【小问1详解】 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为， 周长为； 【小问2详解】 四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和， 即， 表面积为． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，求周长. （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小； （2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长； （3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 19. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）30千台，最大利润是6560万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售额-固定成本-可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解； （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用函数的单调性可求得分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【小问1详解】 销售额为万元， 当时， ， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，单调递减， 所以时，万元. 综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东三中2026年上学期高一期中考试数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 3. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. 4 B. 12 C. D. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 1m B. 2m C. m D. m 6. 已知平面向量．若，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 在中，角的边分别为，已知，其外接圆半径，则下列判断中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则该三角形有两解 C. 周长的最小值为6 D. 面积的最大值 8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若直线上的三个点在平面内，则 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若点为的重心，则 C. 若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心 D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，则的值为__________. 13. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步果. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求在上的解集． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且的面积为. （1）求角； （2）若求的值. 17. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，求周长. （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $