湖南省邵阳市邵东市第三中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

邵东三中2025年上学期高一年级期中考试数学试题卷 考试时间：120分钟；总分：150分 一、单选题 1．已知复数 （i是虚数单位），则 A. B. C. D.2 2．已知向量，则“x<5”是“与b的夹角为钝角”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. ，且A、C、D三点共线，则k=() A.1 B.2 C.3 D.4 4．已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为 ( ) A.2 B. C. D. 5．已知 ，且 的夹角为，则在上的投影向量为 ( ) A. B. C., D. 6．如图，在ΔABC中，设，则 A. B. C. D. 7．圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为底面圆周上有两动点A，B，则ΔSA面积的最大值为( ) A.4 B. C. D.8 8．如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1, CD=2 AD⊥DC,，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数是( ) A B ①圆台的母线长为4； ②球的直径为 ③将圆台的母线延长交DA的延长线于点H，则得到的圆锥的高为 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 ④点P的轨迹的长度是2π． A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 9．已知α,β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，在下列说法正确的是( ) A.若α∥β,n⊂α，则n∥β B.若m∥α,m∥β，则l／／β C.若n∥α,m⊂α，则n∥m D.若α∩β=n,m∥n，则m至少与α，β中一个平行 10．已如ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，下列结论证确的是( ) A.若A>B，则sinA>sinB B.若，则ΔABC是直角三角形 C.若，则ΔABC是锐角三角形 D. cosA+cosB+cosC>1 11．如图所示，已知正方体的棱长为4，M，N分别是AD 的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是( ) T A.平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形 B.ΔMPN一定是锐角三角形 C.当点P与A点重合时，平面PMN截正方体所得的截面面积为 D. |MP|+|NP|的最小值是 三、填空题 12．底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 . 13．设向量的夹角的余弦值为，且，则 14．如图，为测量湖北防洪纪念碑AB的高度及取景点C与F之间的距离（B,C,D,在同一水平面上， 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在C,D,F三处测得顶点A的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为 米，取景点C与F之间的距离为 米. A 四、解答题 15．已知复数z满足z＋i和均为实数. （1）求复数z； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16．如图，在长方体中，AB=BC=4, ，点M,N,P，Q分别是棱的中点. （1）证明：三条直线相交于同一点 （2）求三棱锥C-MNP的体积． 17．在C)=b(sinA-sinB) ②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知VABC内角A，B，C的对边分别为a,b,Cc，且满足 （1）求角C； （2）若VABC为锐角三角形，且c=2，求VABC周长的取值范围； （3）在（2）条件下，若AB边中点为D，求中线CD的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 18．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为3／5 nmile．＜BAD为钝角，且 （1）求小岛A与小岛D之间的距离； （2）求四个小岛所形成的四边形的面积； （3）记／BDC为α，∠CBD为β,，求sin(2α+β)的值. 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中AD／／BC，且AD=2B，点E为棱PD 的中点. （1）求证：CE／／平面PAB； （2）若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN／／平面PAB？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； （3）若PA=PB=PC=AD=10,CD=12，请在图中作出四棱锥P-ABCD过点B，E及棱AD中点的截面，并求出截面周长. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期中数学参考答案 1~8: CABDCBDA 9.AD; 10.ABD; 11.ACD; 12.2; 13.8; 14. 15.(1)z=2-i (2 【详解】（1）设z=a+bi(a,b∈R)，则z+i=a+(b+1)i 所以,2分 因为z+i和均为实数， 所以，解得a=2,b=-1 4分 故z=2-i 6分 (2) 8分 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以 10分 解得或0<m<1, 12分 即实数m的取值范围为 13分 16．（1）证明见解析； (2)1. 【详解】（1）连接，如图： M，Q分别是的中点，, 且 ：四边形为平行四边形， 在中，∵P,N分别是的中点， ,∴PN//QM 3分 且四点共面， 设MN∩QP=H ∵MN⊂平面 QP⊂平面 ∴H∈平面，Hε平面 6分 平面平面 三条直线相交于同一点H； 7分 (2) M-NPC，三棱锥M-NPC的高为, 9分 点M是棱的中点， 10分 点N，P分别是棱的中点， 12分 15分 17．（1）条件选择见解析， (2) (3) 【详解】（1）选①：因为(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB), ∴(a+c)(a-c)=b(a-b)，即 4分 选②： ∴2sinBcosC-sinx C=sinCcosA cos 4分 选③：向量与平行， 4分 (2) 6分 ΔABC为锐角三角形， 7分 ABC周长的取值范围为 9分 (3) 又由中线公式可得 11分 A☑sir 即 13分 ΔABC为锐角三角形， 15分 18.(1)2nmnile; （2）18平方海里； (3) 【详解】（1），且A为钝角，在ΔABD中，由余弦定理可得·5，即 解得： AD=2或AD=-10 （舍去）. 小岛A与小岛D之间的距离为2nmile． （2）A、B、C、D四点共圆，．A与C互补，则 在BDC中，由余弦定理得： ，得 解得CD=-2 （舍去）或CD=10 （平方海里）， ．四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里． （3）在ΔBDC中，由正弦定理得：，即，解 为锐角，则 ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β) 19．（1）证明见解析 （2）存在N为线段AD中点，证明见解析 (3) 【详解】（1）取线段PA的中点F，连接EF，BF， 1分 因为E，F分别为线段PD，PA的中点， 所以EF／／AD，且, 2分 又AD／／BC，且AD=2BC, 所以EF//BC且EF=BC, 所以四边形BCEF为平行四边形， 所以EC／IFB，又ECα平面PAB，FBc平面PAB， 所以CE／／平面PAB； 4分 （2）当N为线段AD中点时，MN／／平面PAB， 5分 证明：取线段AD中点N，连接EN，CN 因为E，N分别为线段PD，AD的中点， 所以EN／／PA，又ENα平面PAB，PAC平面PAB， 所以EN／／平面PAB； 7分 因为AN=BC，且AN／／BC， 所以四边形BCNA为平行四边形， 所以NC／／AB，又NCα平面PAB，ABc平面PAB， 所以NC／／平面PAB； 又EN∩NC=N,EN,NC⊂面ENC, 则面ENC／／面PAB，又MNc面ENC， 9分 所以MN／／面PAB， 所以当N为线段AD中点时，MN／／平面PAB； 10分 （3）取线段PC的中点H，连接EH，HB， 因为DN=BC，且DN//BC 所以四边形NDCB为平行四边形， 所以DC／／NB，又E，H分别为线段PD，PC， 所以EH／／DC， 所以EH／／NB，则四边形EHBN为四棱锥P-ABCD过点B，E及棱AD中点的截面， 13分 则BN=CD=12 14分 在ΔPBC中， BC=HC=5 所以 则 所以截面周长为 17分 【详解】（1），且A为钝角， 1分 在ΔABD中，由余弦定理可得 ·5，即 3分 解得：AD=2或AD=-10 （舍去）. 小岛A与小岛D之间的距离为2nmile． 4分 （2）A、B、C、D四点共圆，A与C互补，则 6分 在ΔBDC中，由余弦定理得： ，得 解得CD=-2 （舍去）或CD=10. 8分 AD （平方海里）， 10分 ．四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里． （3）在ΔBDC中，由正弦定理得：，即，解 11分 ,∴α为锐角，则 13分 又：sin 14分 15分 ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β) 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$