精品解析：湖南2026年初中学业水平考试数学模拟试卷(四)

2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷（四） 数 学 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分，请务必将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列有理数中，与2026互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握定义是解题的关键． 根据倒数的定义，一个数的倒数是1除以这个数，解答即可． 【详解】解：2026的倒数是， 故选：B． 2. 2025年12月26日，世界最长高速公路隧道——天山胜利隧道全线通车，这条隧道全长22130米，将天山穿越时间从3小时减至20分钟，不仅贯通南北疆经济大动脉，更彰显了中国基建的技术实力与民族韧劲．数据22130用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将22130写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质及合并同类项法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A选项：，错误； B选项：，错误； C选项：，错误； D选项：，正确． 故选D． 4. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 5. 如图，中，，，，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，，得，又因为，证明则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 6. 五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（ ） A. 小明、小亮均正确 B. 小明、小亮均错误 C. 小明正确，小亮错误 D. 小明错误，小亮正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系进行求解是解决本题的关键．根据题意白棋①的位置是，黑棋②建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． ∴小明、小亮均正确， 故选：A． 7. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8. 菱形的边长为2，对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，尺规作线段垂直平分线，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半， 根据作图过程可知直线是的垂直平分线，再根据菱形的性质得，然后根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据作图过程可知直线是的垂直平分线， ∴点M是的中点． ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点，且直线与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数的交点坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据题意得，解得，即，再求出，结合直线与x轴交于点C，得出，运用勾股定理算出，，运用数形结合思想进行分析当时，，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点， ∴， 解得， 故A选项不符合题意； 把代入，得， 则把代入，得， ∴， 故B选项不符合题意； ∵直线与x轴交于点C， ∴令则， 解得， ∴， ∵， 则， ， 则， ∴， 故C选项不符合题意； 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点， ∴当时， 故D选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作于点M，交于点N，连接，，利用勾股定理求得和的长度，得出的长度，即点A到水面的距离；过点A作于点G，过点O作于点H，交于点J，作于点N．同法可得，证明，得到，设， 利用勾股定理列方程求解x的值，从而得到的长度，通过相似三角形证得，从而得出的长度，进而得出此时点A到水平面的距离为，相对甲处时升高了． 【详解】如图甲，过点O作于点M，交于点N，连接，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，∴， ∴点A到水面的距离为， 如图乙，过点A作于点G，过点O作于点H，交于点J，作于点N．同法可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则有，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点A到水平面的距离为，相对甲处时升高了． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若，则___________（用含的数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、等角对等边、平行线的性质，熟练掌握尺规作角平分线的方法是解题的关键．由作图可得，平分，得到，利用平行线的性质得到，则有，推出，即可得出答案． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先以的中点为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线、所在抛物线的解析式，再求解直线的解析式，最后求解抛物线与直线的交点的坐标即可． 【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为x轴，垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∴，，，， 设轮廓线、所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入抛物线解析式，得： ， 解得：， ∴轮廓线、所在抛物线的解析式为：， ∵， ， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入直线的解析式，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 解方程组得：，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先计算各项，再计算乘法，即可得． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，解题的关键是正确计算． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．先根据分式的混合运算法则化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 19. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； （2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； 【小问2详解】 设购进腊梅m束，则购进百合束， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 此时（束）． 答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元． 20. 如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由切线的性质得又因为得出则根据得整理得即平分； （2）先证明四边形为矩形, 得因为得故运用勾股定理得，即可作答． 【小问1详解】 证明：连接 ∵与相切, ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分； 【小问2详解】 解：作如图所示： ∵, ∴ ∵, ∴四边形为矩形, ∴ ∵ ∴ ∴. 21. 2022年新冠肺炎疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情，为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传，某校为了解全校共1200名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 41.1 乙 90 91 29.7 （1）根据以上信息，可以求出：______分，______分； （2）若规定测试成绩95分及其以上为优秀，请你根据甲乙两班的测试成绩估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由． 【答案】（1）93，87 （2）估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有440人； （3）甲班较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行求解即可； （2）用总人数乘以测试成绩95分及其以上人数所占的比例即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可． 【小问1详解】 解：甲班15名学生测试成绩从小到大排列为： 78，83，85，87，89，90，92，93，94，95，97，98，99，100， 100． 处在中间位置的是93，∴； 乙班15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 出现次数最多的是87，即众数为87，∴， 故答案为：93，87 【小问2详解】 由题意可知甲班15名学生和乙班15名学生的优秀人数分别为6人和5人，则（人）， 答：估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有440人； 【小问3详解】 甲班成绩较好，理由如下： 甲班成绩的平均数、中位数、众数均大于乙班，只有方差大于乙班，所以甲班的学生防疫测试的整体成绩较好． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数、方差、用样本估计总体等知识，熟练掌握相关概念及意义是解题的关键． 22. 学完了三角函数知识后，某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量当地一塔楼的高度，他们把“测量塔楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量塔楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为的测角仪，在点C处测得楼顶A的仰角，点E处测得此时楼顶A的仰角（B，F，D三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 请根据表中的测量数据，求塔楼的高．（精确到，参考数据，，，） 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，再结合三角函数进一步求解即可． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：塔楼的高约为． 23. 【问题背景】 在四边形中，E是线段上一点，连结，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且． （1）如图①，若四边形为正方形，点F在线段上，则与之间的关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，若四边形为矩形，点F在的延长线上，且，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在（2）的条件下，过点E作交于点M，延长交边于点G，当＝时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）且 （3）2 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作于，根据证即可推出结论； （2）过点作于点，作于，证，根据角的关系证垂直，利用线段比例关系求线段与之间的关系即可； （3）当＝时，勾股定理可求，进而求出，证明，利用对应线段成比例得，则可求，利用勾股定理求出，进而可求，则的长可求． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，作于， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故答案为：＝，； （2）答：且，理由如下： 如图，过点作于点，作于， 四边形是矩形， ，， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ∴， ， 即 ，， ∴ ， ， ； （3）解：当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式和的值； （2）如图，点为第一象限抛物线上的点，连接，，，当时，求点的坐标； （3）如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点、分别为的边、上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点、的坐标代入抛物线解析式，求出系数、，结合直角三角形的边角关系确定的值； （2）先求出点的坐标，通过三角函数值相等得到角相等，结合推出，进而确定点的坐标，再联立直线与抛物线的解析式求解点的坐标； （3）通过构造全等三角形将转化为，利用“两点之间线段最短”将问题转化为求的值，结合已知条件求出点的坐标，最后用勾股定理计算的长度，得到的最小值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， ，解得：， 抛物线解析式为：， ，， 在中，； 【小问2详解】 解：延长交轴于点， 抛物线与轴交于点和点， 时，， 解得：，， ， ，，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 由 得（舍去），， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，作，且使，连接，， ，， 在和中， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、轴对称性质及两点间距离公式等，熟练运用相关知识和转化思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷（四） 数 学 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分，请务必将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列有理数中，与2026互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 2025年12月26日，世界最长高速公路隧道——天山胜利隧道全线通车，这条隧道全长22130米，将天山穿越时间从3小时减至20分钟，不仅贯通南北疆经济大动脉，更彰显了中国基建的技术实力与民族韧劲．数据22130用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 6. 五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（ ） A. 小明、小亮均正确 B. 小明、小亮均错误 C. 小明正确，小亮错误 D. 小明错误，小亮正确 7. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 菱形的边长为2，对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点，且直线与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 10. 如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 13. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若，则___________（用含的数式表示）． 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 16. 一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 20. 如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 21. 2022年新冠肺炎疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情，为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传，某校为了解全校共1200名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 41.1 乙 90 91 29.7 （1）根据以上信息，可以求出：______分，______分； （2）若规定测试成绩95分及其以上为优秀，请你根据甲乙两班的测试成绩估计参加防疫知识测试的1200名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由． 22. 学完了三角函数知识后，某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量当地一塔楼的高度，他们把“测量塔楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量塔楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为的测角仪，在点C处测得楼顶A的仰角，点E处测得此时楼顶A的仰角（B，F，D三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 请根据表中的测量数据，求塔楼的高．（精确到，参考数据，，，） 23. 【问题背景】 在四边形中，E是线段上一点，连结，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且． （1）如图①，若四边形为正方形，点F在线段上，则与之间的关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，若四边形为矩形，点F在的延长线上，且，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在（2）的条件下，过点E作交于点M，延长交边于点G，当＝时，直接写出的长． 24. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式和的值； （2）如图，点为第一象限抛物线上的点，连接，，，当时，求点的坐标； （3）如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点、分别为的边、上的动点，且，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $