江苏南京师范大学附属中学秦淮科技高中2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学学科试题

**基本信息** 南师附中秦淮科技高中高二数学期中卷以“数学眼光观察现实、思维分析问题、语言表达应用”为导向，融合科技应用（deepseek调查）、文化传承（名著分发）、科学模型（高尔顿板）等真实情境，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|排列组合、正态分布、立体几何|第8题结合科技调查考二项分布，体现数据观念；第3题空间向量共面判定，考查几何直观| |填空题|3/15|概率计算、函数性质、异面直线成角|12题彩票奖金概率，强化应用意识；14题三棱锥动态问题，发展空间观念| |解答题|5/77|导数应用、立体几何翻折、概率分布、组合恒等式|17题高尔顿板模型融合概率分布与盈利分析，培养数学建模能力；18题吸收恒等式证明，提升逻辑推理素养；19题函数导数综合题，考查批判性思维|

南师附中泰淮科技高中高二年级第二学期期中考斌 数学评分标准 2026.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是正确的， 1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 二、选择题：本题共3小愿，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ABD 10.ABC 11.BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.161 13.[5,5] 14.5v03 220 206 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x2-2alnx-2(a-1)x,aER (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性. 【解析】 (1当a=-1时，f)=x2+2nx+4x,f'()=2x+是+4 .3分 f'(1)=8,1)=5,所以y=f(x)在点(1,5)处的切线方程为y-5=8(x-1), 化简得y=8x-3. 5分 (2)由f(x)=x2-2anx-2(a-1)x,得 f')=2x-2-2(a-1)=22-a=-@=20-+, 8分 注意到fx)的定义域是(0，+∞) 当a≤0时，f'(x)>0,所以x)在区间(0，+∞)单调递增： .....10分 当a>0时，当x∈(0，a)时，f'(x)<0;当x∈(a,+o)时，f(x)>0, 所以x)在区间(0，)上单调递减，在区间(a,十o)上单调递增. 12分 综上，当a≤0时，fx)在区间(0，+∞)单调递增；当a>0时，fx)在区间(0，a上单调递 减，在区间(a,+o)上单调递增， 13分 16(本小题满分15分)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB-4,E为AB的中点，将 △ADE沿DE翻折至△A'DE,得到四棱锥A'-BCDE E (1)证明：平面ABE⊥平面BCDE: (2)当二面角A'-DE-C为120°时，求CA'和平面ADB所成角的正弦值 【解析】 (1)由题意得，△ABD为等边三角形， 又E为AB中点，所以DE⊥EA,DE⊥EB,故DE⊥A'E .3分 又因为A'EOBE=E,所以DE⊥平面ABE.又因为DEC平面BCDE,所以平面ABE⊥平 面BCDE .6分 (2)如图，以E为原点，ED,EB以及垂直于平面BCDE的直线为x,y,z轴，建立空 间直角坐标系， .7分 由(I)知，BE L DE,又A'E⊥DE,所以∠A'EB即为二面角A'-DE-C的平面角，即 ∠AEB=120°. .10分 则E(0,0,0),A(0,-1,V3),C(23,4,0),D(23,0,0) CA=（-23,-5,V3),EA=(0,-1,V3),ED=(23,0,0),设平面A'DE的法向量 i=(x,y,z), 则a8。,取=a5则 iED=0 (2V3x=0 .13分 2 设直线CA'与平面A'DE所成的角为O, 则sin6=cos(CA,)= 石列=43=3 cA1元-4W1而-10 所以直线CA与平面A'DE所成角的正弦值为Y30 10 15分 17.(本小题满分15分) 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图，在一块木板上钉 着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面 挡有一块玻璃.将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地 向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为1,2,3,4,5,6,7， 用X表示小球最后落入格子的号码. (1)求X的概率分布列以及数学期望E(): (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利 性“抽奖”活动.若4元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号格子得到的奖金为Y元，你 觉得小明同学能盈利吗？其中当=1或7时，Y=10:当=2或6时，Y=6:当3或5时， Y=4:当X=4时，=1. 1234567 【解析】 (1)由题知，X的取值为1,2,3,4,5,6,7. P(=1=P(X=7)=C2=64 1分 3分 -3--p- .5分 Pux-a-c- .6分 则X的概率分布列为： X 1 4 5 6 3 15 15 3 1 64 33 16 64 32 64 .7分 数学期望E()=4 .9分 3 (2)因为当1或7时，Y=10:当=2或6时，Y=6;当=3或5时，Y-4;当=4时， =1.利用(1)得Y的概率分布列为： 4 6 10 15 16 32 16 32 ….12分 2g0-100+6 519 +4× +1× <3, 16 32 168 ….14分 所以，小明同学能盈利， .15分 18.(本小题满分17分)吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计 数或逻辑运算，其核心形式是C=C,其中k与n都是正整数，且k≤n (①)证明：C=nC,≥2； (Q)化简：C6+2C06+3C3o6+4Cio6++2026C308: (3)证明：当n≥2时， (-c+2C=n+2 1 【解析】 ()当n22,C=k, n! (n-1)！ k10m-”k-)[0m-)-k- =nC,得证…4分 (2)由(1)得， C026+2C306+3Cn26+4Ci026++2026C386 =2026(C02+C302s+…C3023) ….8分 =2026.22025 (3)利用(1)的结论：当n≥2时， 等式左边第一部分： c-会Wc =n2←1c=-n2(←1)c 11分 t=1 =1 =-m(-1rC%=-+(←1-0 等式左边第二部分： kC=C=nC=n[k-+ 台 2=1 =n>(k-IXC+n>c =n2k-1加+n2c (+2 .16分 -m0-空og+2 =n(n-1)2-2+n2-1 =n(n+1）2-2 (评分可再细分) 综上得，】 2-yC+2C=+2 17分 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=an(x+1)-2sinx 诺0，正明：当0<x经时，-2： (2)若f(x)>0对x∈(0，)恒成立，求整数a的最小值： (3)当a∈(0,1)时，证明：f(x)在(0，)上存在唯一极小值点和唯一零点. 【解析】 (1)若a0,则)-2sinx,构造函数g6)xsm,当0<x<受时，g(y=l-c0sx>0, 所以g(@孕上单润造增， 1分 所以g(x)>g(0)=0,即x-sinx>0,所以x>sinx,即-2sinx>-2x, 所以当0<x时，p2x. .3分 (2)由f0=0,且f'()=a-2c0sx, x+1 由f'(0)=a-2≥0，可得a≥2， .4分 当a=2时，f(x)=2ln(x+1)-2sinx, 2<0,不符合，故 a≥3， .5分 法一：当a=3时成立，此时f(x)=3n(x+1)-2six, 5 当0<x≤1时，f(x)=3ln(x+1)-2sinx>3h(x+1)-2x, 令8)=36x+0-2x,可得g'(s)=3-2=1-2 x+1 x+1 又g(0)=0,8①)=3n2-2>0,所以8(x)>0,即f(x)>0. 7分 当1<x<π时，可得3h(+1)>3n2>2≥2simx,所以f(x)>0 所以当a=3时，均有f(x)=3lh(c+1)-2simx>0对r∈(0，)恒成立， 综上所述，整数a的最小值为3 10分 法二：当a=3时成立，此时f(x)=3ln(x+1)-2sinx, 当0<x≤时，f()-3-2c,令m()=f)=32co, x+1 x+1 可得m'(x)=2sinx- 3 上递增， 因为m'(0)<0,m' 所以存在x。∈ 0引，使得mx)=0,即2sm3 (+120， ....5分 3 -≤0 又因为 所以 (6 所以在引递，有>0=0 .7分 当经<时，0<经< 所以f(x)=3h(x+1)-2sinx>3ln(π-x+1)-2sin(π-x)>0,也成立. 综上所述，整数a的最小值为3 .10分 (3)证明：由fw)=an(K+1)-2simx,可得f'w)=a,-2cosx, x+1 令)w a ，-2cosx,可得p'(x)=2sinx- +1)2, 当ca0时.0-2-a在o到 上递增， 6 而p(0)<0, 0,所以在 使得9(。)=0，…13分 所以f"(x)在(0，x)单调递减，在2 单调递增， s、a 又0=a-2<0,f,)<r0<0./5 π 1 >0 2 所以存在∈xo 2 使得了()=0，所以在(0，x)递减，在马 递增， 又当x∈ 时，f6)=日-2cs>0,所以f6在x x+1 2π递增， 所以f(x)在(0，x)单调递减，在单调(x,兀)递增， 所以x=x是f()在(0，D)上的唯一极小值点： 此时f(:)<f(0)=0,f()=ah(1+D>0, 所以在x2∈（化，），即(0，D上存在唯一零点x2,使得f(2)=0,17分 7 南师附中秦淮科技高中高二年级第二学期期中考试 数学学科 2026.4 (考试时间为120分钟，试卷满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每题给出的四个选项中只有一项是正确的. 1.计算 A.42 B.36 C.21 D.20 2.若 展开式中的常数项为60，则常数a的值为 A.±2 B. ±4 C.2 D.4 3.已知点A、B、C不共线，O为平面ABC外一点，下列能够确定M、A、B、C四点共面的是 C. D. 4.已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P(B)= D. C. A. B. 5.现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，则不同的分发方式种数是 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 6.已知Y服从正态分布N(2,2²), 记函数f(x)=P(x≤Y≤x+2), g(x)=P(Y≥x),则正确的是(注: 若X~N(μ,σ²), 则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95) A. f(2)≈0.68 B. g(0)=0.5 C. f(2-x)=f(2+x) D. g(x)的图象关于(2, )对称 7. 已知存在x∈(0,+∞)使不等式 成立，则m的取值范围为 A. B. C. m≥-1 D. m≤-1 1 学科网（北京）股份有限公司 8.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件A=“了解 deep seek”, B=“学生为女生”，据统计 将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解 deep seek 的学生的人数为X,则当P(X=k)取得最大值时的k (k∈N⁺)值为 A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知 则下列说法正确的是( A. m=2 B. C. D. 10.在四棱锥P-ABCD中, PA⊥面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,AD=AP=2, AB=BC=1, 点E为PD的中点，点F为AC的中点，则下列说法正确的是 A. AC⊥EF B. PC与面ABE交于点Q, 则 C. 点D到平面PAC的距离为 D. 三棱锥P-ADC与P-ABC的外接球体积之比为4:3 11.甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第n次抛硬币后球在甲手中的概率为 Pn，球在乙手中的概率为 qn，在前n次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为X，则 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有2张，奖金为300元的二等奖彩票有3张，奖金为100元的三等奖彩票有7 张，从中随机抽出3 张彩票，则抽出的3 张彩票的奖金总额不高于700元的概率是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 13.已知函数 若 且 都有 则实数m的取值范围为 . 14. 在三棱锥P-ABC中, 且AP=3PB=2PC=6, 点D为BC中点，则直线AD 与直线BP所成角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13 分) 已知函数. (1)当a=-1时, 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性. 16.(小题满分15分) 如图, 在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4, E为AB的中点, 将△ADE沿DE翻折至 得到四棱锥 A'-BCDE. (1)证明: 平面A'BE⊥平面BCDE; (2)当二面角.A'-DE-C为120°时，求CA'和平面A'DE所成角的正弦值. 3 学科网（北京）股份有限公司 17.(本小题满分15分) 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用X表示小球最后落入格子的号码. (1)求X的概率分布列，并求出数学期望 E(X)； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号格子得到的奖金为Y元，你觉得小明同学能盈利吗? (其中当X=1或7时, Y=10; 当X=2或6时, Y=6; 当X=3或5时, Y=4;X=4时, Y=1.) 18.(本小题满分17分) 吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计数或逻辑运算，其核心形式是 其中k与n都是正整数，且k≤n. (1) 证明: (2) 化简: (3) 证明: 当n≥2时, 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)若a=0, 证明: 当 时，f(x)>-2x; (2)若f(x)>0对∀x∈(0，π)恒成立，求整数a的最小值； (3)当 时，证明：f(x)在(0，π)上存在唯一极小值点和唯一零点. 4 学科网（北京）股份有限公司 $