2026届高考数学百分练（十五）（7+2+2+3）

**基本信息** 2026高考数学百分卷（十五）聚焦三轮冲刺，以7+2+2+3结构覆盖高考重点大题，通过基础与综合题结合提升应试能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/47分|集合、向量、复数、圆锥、等比数列、函数性质、抛物线|基础题考查抽象能力，如集合子集个数；多选题结合等差数列前n项和，体现推理意识| |填空题|2/10分|回归直线、双曲线离心率|数据表格分析回归方程，考查数据观念；渐近线求离心率，强化运算能力| |解答题|3/43分|三角函数图像、椭圆与圆、导数切线与零点|三角函数题结合等腰直角三角形图像，考查几何直观；椭圆与圆相切问题，体现模型观念；导数切线定点及零点分析，发展逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2026高考数学·百分卷（十五） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解析】解不等式得，则集合，有3个元素，则集合的子集个数为. 2. 在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由题意知等边三角形，所以，则． 3. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】A 【详解】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 4. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（    ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 5. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 6．已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，， 可得. 7. 若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A. B. 5 C. 7 D. 【答案】B 【解析】由抛物线，得，则，所以抛物线的焦点，准线方程为. 设点到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即.因为点到准线的距离就是，所以， 那么，根据几何性质，当，，三点共线时，的值最小，即，已知，，得， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．记为等差数列的前n项和，若，,则（    ） A． B．公差 C． D．若,则， 【答案】AD 【解析】设等差数列的公差为,由，所以，故A正确； 由​，得，即， 又，所以，解得，故B错误； 由等差数列前项和公式得，故C错误； 对于，因为，所以​， 所以，故D正确. 9．若正方体外接球的球心为，且，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．二面角的正切值为 C．平面 D．为四面体外接球的球心 【答案】BC 【解析】设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，,， ，，，,， 可得， ,，A错误. ,. 设平面的一个法向量为，则, 令，则，同理可得平面的一个法向量. 设二面角对应的平面角为， 则，所以，则. 由题可知为钝角，所以，B正确. 由题意得，， 而平面，平面,平面，C正确. 由题意得， 因为， 所以到四面体各顶点距离不全相等，不是四面体外接球球心，D错误. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 已知与的成对数据如下表： 1 2 3 4 5 2 3 4 5 7 若关于的回归直线方程为，则________． 【答案】1.2 【解析】由已知数据得： ，， 将代入，得， 解得. 11．已知双曲线的焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】 【解析】因为双曲线的焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，所以，即， 所以. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 【解析】（1）∵，∴ ， 由为等腰直角三角形知，，所以， 得. 因为为偶函数， 所以，得，所以最小正实数为. （2）令，则，，即，， 取：，即，所以. 令，且在左侧，则，解得：，故， 且在右侧，周期，所以，即. 所以， 所以. 13. 已知椭圆的右顶点为，圆的半径等于椭圆的长半轴长，圆，直线与圆和圆都相切． （1）求圆的方程，并判断圆与圆的位置关系； （2）求直线的方程； （3）若斜率存在的直线与交于，两点，求的面积． 【解析】（1）由题意可得，椭圆的长半轴长为2，故圆的方程为． 由，得，故圆与圆外切． （2）由（1）可知，圆与圆外切于原点，因此两圆共有3条公切线．因为直线到两圆心的距离分别等于各自半径，故是两圆的一条内公切线． 因为，，两圆半径为2，1，由相似比及对称性可知，外公切线必过定点，设两圆的外公切线方程为．由直线与圆相切，得，解得，因此两条外公切线方程为，． 综上直线的方程为，，． （3）由（2）可知，斜率存在的两条直线关于轴对称，而椭圆也关于轴对称，因此它们与椭圆相交所得的的面积相等．将代入，整理得，判别式，设，，则． 由过定点，得的面积． 14．设函数. （1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【解析】（1）因为，，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2），， 当时，，则在上单调递减， 此时最多有一个零点，不满足题意； 当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 又因为有两个零点， 所以，即，解得或， 因此，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学·百分卷（十五） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2. 在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A. B. 3 C. D. 1 4. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（    ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6．已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7. 若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（    ） A. B. 5 C. 7 D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．记为等差数列的前n项和，若，,则（    ） A． B．公差 C． D．若,则， 9．若正方体外接球的球心为，且，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．二面角的正切值为 C．平面 D．为四面体外接球的球心 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 已知与的成对数据如下表： 1 2 3 4 5 2 3 4 5 7 若关于的回归直线方程为，则________． 11．已知双曲线的焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_________. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 13. 已知椭圆的右顶点为，圆的半径等于椭圆的长半轴长，圆，直线与圆和圆都相切． （1）求圆的方程，并判断圆与圆的位置关系； （2）求直线的方程； （3）若斜率存在的直线与交于，两点，求的面积． 14．设函数. （1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； （2）若有两个零点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $