单元过关(十五)统计与概率-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

别美幕别人的光芒，专注自己的肿步 2025一2026学年度单元过关检测（十五） 5.某校四个植树小队在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x,10,8,若这组数据的中位 班级 数和平均数相等，那么x= () 卺题 数学·统计与概率 A.6 B.8 C.6或10 D.8或12 6.某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽取了高一、高二、高三共100名同学进 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 行了跑步测试，按照最终的测试成绩进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计 该100名同学测试成绩的上四分位数为 () 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 ◆颗率/组距 0.035. 是符合题目要求的。 0.025 0.020 题号 2 0.010 答案 060700010成绩/分 1,已知10个相同的数1,1，…，1，则其方差为 ( A.82.5 B.81 C.80 D.79.5 A-1 B.0 C.1 D.2 7.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m,m.设平面向量a-(4,2),b=(m,n), 2.设事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),若P(A)= 5P(B)=2 则向量ā，b不能作为平面内的一组基底向量的概率为 () PAUB)=号则事件A与事件B的关系为 A位 B () A.互斥 B.对立 C.独立 D.包含 3.统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果得到：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全 8已知甲，乙两位同学在限定时间内求解同一道数学难题，甲同学正确求解的概率为行，乙 年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队平均每场比赛丢失2.2个球，全年比赛丢失 同学正确求解的概率为？，且甲、乙同学是香正确求解相互独立，者该难题在限定时间内 球的个数的方差为0.6.据此分析： 被正确求解，则这两个同学都正确求解的概率为 () ①甲队防守技术比乙队好， ②甲队防守技术的发挥不稳定； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 ③乙队几乎场场失球： 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ④乙队防守技术的发挥比甲稳定。 题号 9 10 11 答案 其中判断正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知A,B为两个随机事件，且A与B相互独立，若P(A)=2P(B),P(AUB)= 8则 4.有一组样本数据为0,1,2,3,4,5，在其中添加一个数a构成一组新的样本数据，若a∈ () {0,1,2,3,4,5},则新旧样本数据的第25百分位数相等的概率为 () A.P(A)=2 B.P(B)=3 A君 c号 C.事件A,B恰有一个发生的概率为2 D.P(AUB)=P(A)P(B) 单元过关检测（十五）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十五）数学第2页（共8页） 10.已知随机事件A,B,C,D,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,则下列说法正确的是() 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立 15.(13分)口袋中装有3个不同的红球，2个不同的白球，从口袋中不放回地随机取出两 B.若P(C)+P(D)=1,则事件C与事件D互为对立事件 个球，回答下面问题 C.若事件B二A,则P(AB)=0.3 (1)共有多少种取法？ D.若事件A,B相互独立，则P(AUB)=0.7 (2)若取出每个小球的可能性相同，求取出的2个球颜色不同的概率. 11.已知一组数据共有6个数，其中5个数为2,1,4,1,0，则 () A.这组数据的标准差一定不为0 B.这组数据的众数一定不为3 16.(15分)为了进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒的意识和能力，某市每年定期组织同 C.这组数据的中位数一定小于平均数 学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中 D.这组数据的极差可能小于平均数 随机抽取100份作为样本，将样本成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 成六段：[40,50)，[50,60)，…，「90,100]，得到如图所示的频率分布直方图 12.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9，用集合表示事件A= ↑颍率闲距 “摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶 0.025 0.020 数”，则集合A=,B=,C= 8a 0405060708090100咸绩/分 13.袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球， (1)求频率分布直方图中a的值： 接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球（不再放回），并将该小球放回袋中，然 (2)求样本成绩的第75百分位数： 后对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为 (3)已知落在[50,60)的样本成绩的平均数是56，方差是7，落在[60,70)的样本成绩的 14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，比赛结 平均数是65，方差是4，求两组成绩的总平均数x和总方差x 束)，根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取 胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获 胜的概率为 单元过关检测（十五）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十五）数学第4页（共8页） 17.(15分)某学校为加强学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有 18.(17分)箱子里有四张卡片，分别写有数字1,2,3,4，每次从箱子中随机抽取一张卡片， 答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于 各卡片被抽到的概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子，重复这个操作， 40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，并作出如图所示的频率分布 直到满足下列条件之一： 直方图. ①第一次抽取的卡片上写的数字是4： ↑類率组距 ②设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第n一1次抽取的卡 0.010 0.005- 片上写的数字，例如，当记录的数字依次为3,2,2,4时，这个操作在第4次结束 405060700)90100成绩/分 (1)若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数； (1)求颜率分布直方图中a的值： (2)求操作在第n次结束的概率。 (2)求样本数据的第62百分位数； (3)若落在[50,60)的样本数据平均数是52，方差是6：落在[60,70)的样本数据平均数 是64，方差是3，求这两组数据的总平均数x和方差σ2. 单元过关检测（十五）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十五）数学第6页（共8页） 19.(17分)某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样， (3)将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为p。,假设该校高一年级有500名男生和 获得的数据如表所示（单位：人）： 400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为p1,试比较 男生 女生 。与p1的大小（给出结论即可，不要求证明）. 球类 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立， (1)分别估计该校男生喜欢篮球的概率和该校女生喜欢篮球的概率： (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2 人喜欢篮球的概率： 单元过关检测（十五）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十五）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 △=64m2k2-16(m2-3)(4k2+3)>0, 所以x号= 16k2 (12分) 得m2-3-4k2<0, 4k2+3’ 8mk 4m2-12 所以x1十x2= 462+321x2= 4k2+3’ 所以HP·hQ=(+)i- 4k2+3-m2 6m y1+y2=k(1+x2)+2m=4h+3' =(9+16k2)· (4k2+3)2, 所以中点H的坐标为（ Amk 3m 4k2+3’4k2+3 所以121+)=9+16，得为=士.14分) 所以kam=一在，放直线OHy= 3 所以m2<3+4k2=6,得m∈(-√6，√6)， 4k2. 1MN1:=481+k的).6t32-42-7m≤14 (10分) (4k2+3)2 3 由P,Q,M,N四点共圆， 即|MN|≤√14. (17分) 得|HMl·|HN|=|HP|·|HQ|, 由HM·HN=号IMN: =11+k2)[(x1+x2)2-4z1x2] 4k2+3-m2 =12(1+k2)。 (4k2+3)2: 、3 联立 可得x2=1662 +苦 42+3, 2025一2026学年度单元过关检测（十五） 数学·统计与概率 一、选择题 甲队全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2，所以甲 1.B【解析】由题意得，1,1，…，1的平均数为1，则 队全年比赛丢失球的个数的方差为1.2=1.44，乙队 =0[1-1)+1-1++-10门=0 全年比赛丢失球的个数的方差为0.6，因为1.44 >0.6,所以乙队防守技术的发挥比甲稳定，故②， 2.C【解析】由概率公式可得P(B)=1一P(B)=1一 ④正确；因为乙队平均每场比赛丢失2.2个球，大 21 3=3,因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 于1，故乙队几乎场场失球，故③正确. 所以号+号-P(AB)=得可得PAB)=写所 4D【解折】由题高，6×25%=1.5,7×25%=？ 1.75,所以原数据和新数据的第25百分位数均为 以P(AB)=P(A)·P(B),因此事件A与事件 第2个数，所以当a为1,2,3,4,5时，新的样本数 B相互独立. 据的第25百分位数不变，所以新旧样本数据的第 3.D【解析】甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队 平均每场比赛丢失2.2个球，1.5<2.2，所以甲队 25百分位教相等的概率P=。. 防守技术比乙队好，故①正确； 5.D【解析】当x≤8时，将数据进行排列，得到x, ·17· B 真题密卷 单元过关检测 8,10,10,因为这组数据的中位数和平均数相等， 所以28+x-8+10 4,故A正确，B,D错误； 4 2,解得x=8； 事件A,B恰有一个发生的概率为P(AB)+ 当8<x<10时，将数据进行排列，得到8，x,10,10, P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-专)× 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以28十工 4 =x+10 2 解得x=8,与范围不符，故排除； 10.AC【解析】对于A,根据事件独立性的定义可得 当x≥10时，将数据进行排列，得到8,10,10，x, A与B相互独立，故A正确； 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以28十☒ 对于B,记事件C:投掷一个骰子，骰子的点数为 4 奇数；事件D:投掷一个骰子，骰子的点数为1,2， =10+10 2 解得x=12.经检验，x=8和x=12均 3,则P(C)=PD)=满足P(C)+PD)= 符合题意 1,但C,D不是对立事件，故B错误； 6.A【解析】因为(0.01+0.025+0.035)×10=0.7 对于C,若B二A,则P(AB)=P(B)=0.3,故C <0.75,(0.01+0.025+0.035+0.02)×10=0.9 正确； >0.75,所以上四分位数位于「80,90)内，设其为x, 对于D,若A与B相互独立，可得P(AUB)= 则0.7十0.02(x-80)=0.75,解得x=82.5. P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.3× 7.A【解析】由于a=(4,2),b=(m,n),且a,b不 0.4=0.58,故D错误 能作为平面内的一组基底向量，则4n=2m,即m 11.AB【解析】对于A,若这组数据的标准差为0，则 =2n,当m=2时，n=1;当m=4时，n=2;当m=6 根据标准差的公式 时，=3，共3种情况，两次抛掷得到点数的总结果 1 s= [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x6-x)2], 31 n 数有6×6=36种，所以所求的概率P= 3612 可得每个数均与平均数相等，显然不是，故A正确； 8.A【解析】记事件M为该数学难题被正确求解， 对于B,这组数据中至多有一个3，所以众数一定 事件N为这两个同学都正确求解，则P(M)= 不为3，故B正确； 1-(1-号)×1-8）=3Pw)=号x后-a 5×6=0 对于C,这组数据的中位数与平均数不确定，故C 错误； P(MN)1 则所求概率为P(N|M)=P(M)=1o 对于D,设这组数据的第6个数为a,若a≥4，则 二、选择题 年均戴为8，寂差为a,可得Q>8。 6:若0≤ 9.AC【解析】设P(B)=x,P(A)=2x,0<x<2 a<1,则平均数为8，复差为4，可得公8。若 由A与B相互独立，得P(AB)=P(A)P(B)= 2x2,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) a<0,则平均数为 为6，极差为4-a,可得4 +2-2x=吾，解得P(A)= 2,P(B)= a>8ta 6,综上，极差不可能小于平均数，故D错误 B ·18· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 则从口袋中不放回地随机取出两个球有AB, 12.{1,2,3,4}；{5,6,7,8,9};{2,4,6,8}【解析】由 AC,BC,ab,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共有10种 题意可得A={1,2,3,4},B={5,6,7,8,9},C= 取法， (7分) {2,4,6,8}. (2)2个球颜色不同的取法有Aa,Ab,Ba,Bb, 18.8【解折】不城对三个小球造行标记，记为1,2. Ca,Cb,共有6种取法， 由古典概型知，取出的2个球颜色不同的概率为 号，若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里 63 面只剩1号球； 10=5 (13分) 若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中 16.解：(1)由每组小矩形的面积之和为1，得0.05十 有1,2号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球才 0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1, 111 行，其概率为3X2=6 解得a=0.030. (3分) 若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中 (2)样本成绩落在[40,80)内的频率为0.05+ 0.1+0.2+0.3=0.65<0.75, 有1,2,3号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球 样本成绩落在[40,90)内的频率为0.05+0.1+ 1、,11 才行，其概率为3×3=9 0.2+0.3+0.25=0.9>0.75, 爷上，象中到下2个小球的概车为日)正 显然第75百分位数m∈[80,90)，由0.65+ (m-80)×0.025=0.75,解得m=84, 14.0.245【解析】由题意知，甲队前5场比赛， 所以样本成绩的第75百分位数为84.(7分) 第一场负，另外四场全胜的概率为1=0.3× (3)由频率分布直方图可知，成绩在[50,60)的学 0.7×0.5×0.5×0.7=0.03675: 生人数为100×0.1=10， 甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜的概 成绩在[60,70)的学生人数为100×0.2=20， 率为p2=0.7×0.3×0.5×0.5×0.7=0.03675; 所以文=10×56+20X65 =62 (12分) 10+20 甲队前5场比赛，第三场负，另外四场全胜的概率为 p3=0.7X0.7×0.5×0.5×0.7=0.08575; 由样本方差计算总体方差的公式，得总方差为s2= 甲队前5场比赛，第四场负，另外四场全胜的概率为 20 30×[7+(56-62)门+0×[4+(65-62)]=23. p4=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.08575, (15分) 所以甲队以4：1获胜的概率p=p1十p2十p3+ 17.解：(1)由(0.005+0.010+0.020+a+0.025+ p4=0.03675+0.03675+0.08575+0.08575 0.010)×10=1,解得a=0.030. (2分) =0.245/49 200 (2)因为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35， 四、解答题 (0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65, 15.解：(1)记3个红球分别为A,B,C,2个白球分别 (4分) 为a,b, 所以样本数据的第62百分位数在[70,80)内， ·19· B 真题密卷 单元过关检测 可得70+0.62-0.35、 (n+1)(n+2)(n+1)(3n-2) ×10=79, 22a+ 22须* (13分) 0.3 所以样本数据的第62百分位数为79分.(7分)》 经检验，当n=1时成立， (3)样本数据落在[50,60)的个数为0.1×100=10， 所以P.= (n+1)(3n-2) (8分) 22m+1 (17分) 落在[60,70)的个数为0.2×100=20， (10分) 19.解：(1)该校男生喜欢篮球的概率约为100十400 400 -品×2- ×64=60, (12分) 4 5, (3分) 20 ®方差52三38×6+(52-60)]十 30 2002 该校女生喜欢篮球的概率约为200十100一3 [3+(64-60)2]=36. (15分) 18.解：(1)由题意可得，若操作进行了4次仍未结 (5分) 束，则前四次抽取的卡片上写的数字可能为： (2)3人中恰有2人喜欢篮球分两种情况：①有2 1111,2111,3111,2211,3211,3311,2221,3221, 名男生喜欢篮球；②有1名男生喜欢篮球，1名女 3321,3331,2222,3222,3322,3332,3333,共有15 生喜欢篮球， 种情况. (3分) 所以3人中恰有2人喜欢篮球的概率约为() (2)设操作在第n次结束的概率为Pm,操作在第 n次未结束的概率为Qm。 x-号》+cx号×1-)x号- .(8分) 1 3 则当n=1时，P1=4Q,=4 (3)p>p1. (17分) 当n≥2时，Pm=Qm-1一Qm. 理由如下： (5分) 350+250 接下来我们讨论操作进行了n次，但是并没有结 3 0=350+150+250+504’ 束的情形，抽取的数字结构如下所示： 设该校总人数为a,则该校喜欢羽毛球的人数约 3,…,3,2,…,2,1,,1 8 分别设序列中的3,2,1的个数为x,y,之，可知 由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为P男= x+y+之=n(x≥0，y≥0，z≥0). 350 利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如 350+150-10,女生喜欢羽毛球的概率为P女= 下：令X=x+1,Y=y+1,Z=x+1, 2505 即X+Y+Z=n+3(X≥1，Y≥1，Z≥1)， 250+506 一共有C?+2= (n+1)(n+2) 种情形， (8分) 所以高一年级离欢羽毛球的人数约为50×品十 2 各情形的藏率均为广，所以有Q。 400X5 ≈683， (n+1)(n+2) (n+1)(n+2) 故除高一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率] 22m+1 3(a- 2732 2700 (10分) 4a-683 3 3a-3 a-900 4(a-900) 4(a-900) 4 当n≥2时，P.=Q。1-Q。=n6+1) 22m-1 。.综上p0>p1 ·20·