第九章因式分解之分组分解法（拓展）导学案+巩固练习 2025-2026学年 苏科版 八年级数学下册

苏科版数学八年级下册《分组分解法》导学案 苏科版数学八年级下册　第九章　因式分解 课题 分组分解法 课型 新授课 班级 ______ 姓名 ______ 日期 ______ 【学习目标】 1. 理解分组分解法的概念，掌握分组分解法的基本步骤； 2. 能够根据多项式的特征正确选择分组方式，灵活运用提公因式法和公式法进行分组分解； 3. 体会“化归”与“整体”的数学思想，提高观察、分析和综合运用能力。 【温故知新】 1. 因式分解的常见方法有：__________法、__________法。 2. 因式分解：x² − 9 = __________（填“平方差公式”）。 3. 因式分解：x² + 6x + 9 = __________（填“完全平方公式”）。 4. 因式分解：3a²b − 6ab² = __________（填“提公因式法”）。 【探究新知】 ★ 问题引入 多项式 m² − mn + 2m − 2n 能用提取公因式法或公式法直接分解吗？为什么？ ★ 合作探究 某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多多项式只用上述方法无法分解。如：m² − mn + 2m − 2n，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了。过程为： 　　m² − mn + 2m − 2n 　　= (m² − mn) + (2m − 2n) 　　= m(m − n) + 2(m − n) 　　= (m − n)(m + 2) “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”。 ★ 归纳总结 分组分解法的定义： 将一个多项式分成几个小组，使每个小组都能分解因式，然后再将各组之间进行综合分解，从而得到原多项式的因式分解结果，这种方法叫做分组分解法。 分组分解法的步骤： ① __________：根据多项式各项的特点合理分组； ② __________：对各组分别进行因式分解； ③ __________：提取各组之间新的公因式，或用公式法继续分解。 【典型例题】 例1 （改编自2025年分组分解法专题训练） 分解因式：a² − 6ab + 9b² − 25 分析：前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解。 解答： a² − 6ab + 9b² − 25 = (a² − 6ab + 9b²) − 25 = (a − 3b)² − 5² = (a − 3b + 5)(a − 3b − 5) 方法提炼： 分组类型——分组后直接运用公式法。先将符合完全平方公式的项分为一组，再与剩余项组成平方差的形式。 例2 （改编自2025—2026学年苏科版八年级下册期中专题训练） 因式分解：a³ − 3a² − 6a + 18 解答： a³ − 3a² − 6a + 18 = (a³ − 3a²) − (6a − 18) = a²(a − 3) − 6(a − 3) = (a − 3)(a² − 6) 方法提炼： 分组类型——“三一分组”法。将四项式分为一组三项、一组一项（或一组一项、一组三项），注意添括号时符号的变化。 例3 （改编自2025年分组分解法综合测试） 分解因式：x² + y² − 2xy − 9 解答： x² + y² − 2xy − 9 = (x² − 2xy + y²) − 9 = (x − y)² − 3² = (x − y + 3)(x − y − 3) 方法提炼： 分组类型——分组后运用公式法（先完全平方公式，再平方差公式）。将能够构成完全平方的三项分为一组。 【当堂检测】 基础过关 1. （改编自2025—2026学年苏科版八年级下册单元检测卷）将多项式 x⁴ + x³ + x² 分解因式，结果为（ ） A. x²(x² + x) B. x²(x² + x + 1) C. x³(x + 1) + x² D. x²(x² + x + 1) 2. 分解因式：x² + x − 5x − 5 3. （改编自2025年苏科版八年级下册期中模拟重点提分卷） 分解因式：9a² − b² + 2b − 1 （提示：−b² + 2b − 1 = −(b² − 2b + 1)） 能力提升 4. （改编自2025—2026学年苏科版八年级下册第九章拔尖卷）已知 m + n = 5，m − n = 1，求 m² − n² − 2n + 2m 的值。 拓展延伸 5. （改编自2025年分组分解法综合测试）△ABC的三边a，b，c满足 a² + ab + c² − bc = 2ac，判断△ABC的形状并说明理由。 （提示：将等式移项后分组，配方求解） 【总结反思】 请梳理本节课的收获： 1. 分组分解法的主要步骤是什么？ 2. 常见的分组方式有哪几种？分别在什么情况下使用？ 3. 使用分组分解法时需要注意哪些问题？ 【参考答案】 温故知新 1. 提取公因式法、公式法（含平方差公式和完全平方公式） 2. (x + 3)(x − 3) 3. (x + 3)² 4. 3ab(a − 2b) 当堂检测 1. B　[原式 = x²(x² + x + 1)，提取公因式 x² 即可] 2. x² + x − 5x − 5 = (x² + x) − (5x + 5) = x(x + 1) − 5(x + 1) = (x + 1)(x − 5) 3. 9a² − b² + 2b − 1 = 9a² − (b² − 2b + 1) = (3a)² − (b − 1)² = (3a + b − 1)(3a − b + 1) 4. 由 m + n = 5，m − n = 1，解得 m = 3，n = 2。 原式 = m² − n² − 2n + 2m 　　 = (m² − n²) + (2m − 2n) 　　 = (m − n)(m + n) + 2(m − n) 　　 = (m − n)(m + n + 2) 代入得：= 1 × (5 + 2) = 7。 4. 由 a² + ab + c² − bc = 2ac，移项得 a² + ab + c² − bc − 2ac = 0， 整理得 a² − 2ac + c² + ab − bc = 0， 即 (a − c)² + b(a − c) = 0， ∴ (a − c)(a − c + b) = 0。 因为在三角形中 a + b − c > 0， 所以 a − c = 0，即 a = c。 故 △ABC 是等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《分组分解法》巩固练习 苏科版数学八年级下册 第九章 因式分解 班级：______ 姓名：______ 日期：______ 得分：______ 一、选择题 1. （改编自2025年分组分解法专题训练）把多项式 a³ + a²b − ab² − b³ 分解因式，结果为（ ） A. (a − b)(a² − b²) B. (a + b)²(a − b) C. (a + b)(a² − b²) D. (a + b)(a² + b²) 2. （改编自2024年人教版八上知识点训练）把 x² − y² − 2y − 1 分解因式，正确的是（ ） A. (x + y + 1)(x − y − 1) B. (x + y − 1)(x − y + 1) C. (x + y + 1)(x + y − 1) D. (x − y + 1)(x − y − 1) 3. （改编自2022年芷江月考）把 x² − 2x + 1 − y² 用分组分解法分解因式，正确的分组为（ ） A. (x² − 2x + 1) − y² B. (x² − y²) − (2x − 1) C. (x² − 1) − (2x + y²) D. x² − (2x − 1 + y²) 4. （改编自2025—2026学年苏科版九章拔尖卷）多项式 4x² − 2x − y² + y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ） A. (4x² − y) − (2x − y²) B. (4x² − y²) − (2x − y) C. 4x² − (2x + y² − y) D. (4x² − 2x) − (y² − y) 5. （改编自2024年综合测试）下列多项式中，不能用分组分解法分解因式的是（ ） A. 5x + mx + 5y + my B. 5x + mx + 3y + my C. 5x − mx + 5y − my D. 5x − mx + 10y − 2my 二、填空题 6. （改编自2025年专题训练）分解因式：a² + 2ab + ac + bc + b²= 7. （改编自2024年永修期中）分解因式：x² − xy + 5x − 5y = 。 8. （改编自2024年竞秀期中）分解因式：m² − n² − 4m + 4n = _。 9. （改编自2025—2026学年苏科版期中模拟）分解因式：x³ + x² + x + 1 = 10. （改编自2025年拔高训练）分解因式：a² − 4b² + a + 2b = 。 3、 解答题11. （改编自2025—2026学年苏科版九章单元检测） 分解因式：a² − b² − 4a + 4b 12. （改编自2024年综合测试）分解因式：9a² − b² + 4b − 4 13. （改编自2024年福田月考）分解因式：x² + y² − 2xy − 16 14. （改编自2025年专题训练）分解因式：x³ + 2x² − 4x − 8 15. （改编自2024年永修期中）已知 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a² − b² − ac + bc = 0，试判断 △ABC 的形状。 16. （改编自2025—2026学年苏科版九章拔尖卷）阅读下列材料并解答问题： 因式分解常用的方法有提取公因式法、公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如 m² − mn + 2m − 2n。细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，分别分解后产生了新的公因式，再提取公因式即可完成： m² − mn + 2m − 2n = (m² − mn) + (2m − 2n) = m(m − n) + 2(m − n) = (m − n)(m + 2) 这种分解因式的方法叫分组分解法。利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：x² − a² + x + a； （2）已知 △ABC 的三边长 a，b，c 满足 a² + ab + c² − bc = 2ac，判断 △ABC 的形状并说明理由。 【附加题·挑战自我】 17. （改编自2024年昆山模拟）已知实数 a，b 满足 a² + b² = 5，ab = 2，求 a²b² − a³ − b³ + ab 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 一、选择题 1. B【解析】原式 = (a³ + a²b) − (ab² + b³) = a²(a + b) − b²(a + b) = (a + b)(a² − b²) = (a + b)(a + b)(a − b) = (a + b)²(a − b)。故选 B。 2. A【解析】原式 = x² − (y² + 2y + 1) = x² − (y + 1)² = (x + y + 1)(x − y − 1)。 3. A【解析】将原式进行“三一”分组，前三项利用完全平方公式分解，再与第四项运用平方差公式继续分解：x² − 2x + 1 − y² = (x − 1)² − y² = (x − 1 + y)(x − 1 − y)。故分组为 (x² − 2x + 1) − y² 正确。 4. B【解析】将原式分为 4x² − y² 和 −(2x − y) 两组，第一组运用平方差公式得 (2x + y)(2x − y)，第二组提出负号得 −(2x − y)，两组产生公因式 (2x − y)，继续提取即可。 5. B【解析】A：5x + mx + 5y + my = (5x + 5y) + (mx + my) = 5(x + y) + m(x + y) = (x + y)(5 + m)，可以。 C：5x − mx + 5y − my = (5x + 5y) − (mx + my) = 5(x + y) − m(x + y) = (x + y)(5 − m)，可以。 D：5x − mx + 10y − 2my = x(5 − m) + 2y(5 − m) = (5 − m)(x + 2y)，可以。 B：5x + mx + 3y + my = x(5 + m) + y(3 + m)，两组的公因式不同，无法继续分解，故选 B。 二、填空题 6. (a + b)(a + b + c)【解析】原式 = (a² + 2ab + b²) + (ac + bc) = (a + b)² + c(a + b) = (a + b)(a + b + c)。 7. (x − y)(x + 5)【解析】原式 = (x² − xy) + (5x − 5y) = x(x − y) + 5(x − y) = (x − y)(x + 5)。 8. (m − n)(m + n − 4)【解析】原式 = (m² − n²) − (4m − 4n) = (m + n)(m − n) − 4(m − n) = (m − n)(m + n − 4)。 9. (x + 1)(x² + 1)【解析】原式 = (x³ + x²) + (x + 1) = x²(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x² + 1)。 10. (a + 2b)(a − 2b + 1)【解析】原式 = (a² − 4b²) + (a + 2b) = (a + 2b)(a − 2b) + (a + 2b) = (a + 2b)(a − 2b + 1)。 三、解答题 11. 【解】原式 = (a² − b²) − (4a − 4b) = (a + b)(a − b) − 4(a − b) = (a − b)(a + b − 4)。 12. 【解】原式 = 9a² − (b² − 4b + 4) = (3a)² − (b − 2)² = (3a + b − 2)(3a − b + 2)。 13. 【解】原式 = (x² − 2xy + y²) − 16 = (x − y)² − 4² = (x − y + 4)(x − y − 4)。 14. 【解】原式 = (x³ − 4x) + (2x² − 8) = x(x² − 4) + 2(x² − 4) = (x² − 4)(x + 2) = (x + 2)(x − 2)(x + 2) = (x + 2)²(x − 2)。 15. 【解】由 a² − b² − ac + bc = 0， 得 (a² − b²) − (ac − bc) = 0， 即 (a + b)(a − b) − c(a − b) = 0， ∴ (a − b)(a + b − c) = 0。 在 △ABC 中，a + b − c > 0（两边之和大于第三边）， ∴ a − b = 0，即 a = b。 ∴ △ABC 是等腰三角形。 16. 【解】（1）x² − a² + x + a = (x² − a²) + (x + a) = (x + a)(x − a) + (x + a) = (x + a)(x − a + 1)。 （2）由 a² + ab + c² − bc = 2ac，移项得 a² − 2ac + c² + ab − bc = 0， 即 (a − c)² + b(a − c) = 0，∴ (a − c)(a − c + b) = 0。 在 △ABC 中，a + b − c > 0，∴ a − c = 0，即 a = c。 ∴ △ABC 是等腰三角形。 附加题 17. 【解】a²b² − a³ − b³ + ab = a²b² − (a³ + b³) + ab = a²b² − (a + b)(a² − ab + b²) + ab 由 a² + b² = 5，ab = 2，得 (a + b)² = a² + b² + 2ab = 5 + 4 = 9，∴ a + b = 3（取正值）。 ∴ 原式 = (ab)² − (a + b)[(a² + b²) − ab] + ab = 2² − 3 × (5 − 2) + 2 = 4 − 3 × 3 + 2 = 4 − 9 + 2 = −3。 学科网（北京）股份有限公司 $