第5章基本平面图形 专题训练-线段及角的常见应用2025-2026学年鲁教版（五四制） 六年级数学下册

**基本信息** 聚焦线段及角的和差倍分、中点与角平分线应用，融合分类讨论与方程思想，构建“概念-方法-应用”递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段及角和差应用|2题|和差转化法|从基础和差计算建立量间关系| |线段及角倍分应用|2题|倍分比例法|深化倍分关系的量化表达| |线段中点应用|5题（4题型）|中点意义法、分类讨论、方程思想|以中点为核心，结合静态计算、动态动点及多情况分析| |角平分线应用|4题（3题型）|角平分线意义法、分类讨论、方程思想|类比中点，从角平分线拓展到新定义问题，强化逻辑推理|

第五章基本平面图形 专题训练 线段及角的常见应用 类型一线段及角的和差在计算中的应用 1.如图，已知点 C 在线段AB 上, 点 M,N 分别在线段AC 和线段BC上,且AM=2MC, BN=2NC. (1)若AC=9,BC=6,求线段 MN 的长; (2)若 MN=8,求线段AB 的长. 2.如图,∠AOC =3∠AOE,∠BOC=3∠BOD,∠BOD=12°. (1)求∠DOC 的度数; (2)若∠AOB=78°,求∠EOB 的度数. 类型二线段及角的倍分关系在计算中的应用 3.如图,AB=18cm,C 为AB 的中点,点 D 在线段 AC 上,且AD:CB=1:3,则 DB 的长为 ( ) A.16 cm B.15 cm C.14 cm D.12 cm 4. 如图,在∠AOB 的内部有 3 条射线OC,OD,OE,若∠AOC=50°,0 则∠DOE= °(用含 n 的代数式表示). 类型二线段中点在计算中的应用 题型1：利用线段中点的意义计算 5. 如图,C,D,E,F 是线段AB 上的四点,AB=18,AC=BD=12,E,F 分别是AD,BC的中点,则 EF 的长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 题型2：线段中点在动点中的应用 6. 如图,P 是线段AB 上不同于点 A,B 的一点,AB=18 cm, C, D两动点分别从点 P，B同时出发在线段AB上向左运动(无论谁先到达 A 点，均停止运动),点 C 的运动速度为 1 cm/s,点 D 的运动速度为 2cm /s. (1)若AP=PB, ①当动点 C,D 运动了 2 s时,AC+PD= cm; ②当C，D 两点间的距离为5cm 时，则运动的时间为 s； (2)当点 C,D 在运动时,总有 PD=2AC,①求 AP 的长度; ②若在直线 AB 上存在一点 Q,使 AQ-BQ=PQ,求 PQ 的长度. 题型3：分类讨论思想在线段中点中的应用 7.如图,C 为线段AD 上一点,点B 为CD的中点且AD=8cm,BD=2cm. (1)求 AC 的长; (2)若点 E 在直线AD 上,且 EA=3cm,求BE 的长. 题型4：方程思想在线段中点中的应用 8.已知线段AC,点 D为AC 的中点,B是直线 AC 上的一点,且则AC= ( ) A.6或 B.6或2 C.6或3 D.2 9.如图,C,D 是线段AB上的两点,已知AC:CD:DB=1:2:3,M,N 分别为 AC,DB 的中点,且 AB=18 cm, 则线段 MN 长为 ( ) A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm 类型四角平分线在计算中的应用 题型1：角平分线的意义在计算中的应用 10.已知:O是直线AB 上的一点,∠COD 是直角,OE 平分∠BOC. (1)如图 1,若∠AOC=30°.求∠DOE 的度数； (2)在图 1 中,若∠AOC=a,直接写出∠DOE 的度数(用含 a 的代数式表示)； (3)将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图 2 的位置,探究∠AOC 和∠DOE的度数之间的关系.写出你的结论，并说明理由. 题型2：分类讨论思想在角平分线中的应用 11.在∠AOB 内部作射线OC,OD,OD 在OC的右侧,且∠AOB=2∠COD. (1)如图 1,若∠AOB = 140°,OE 平分∠AOC,OF 平分∠BOD,求∠EOF 的度数; (2)如图2,OE 平分∠AOD,猜想∠BOD与∠COE 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3,请过点O 作射线OE,使OC 平分∠AOE,再作∠COD 的平分线OF.若∠EOC=4∠EOF, ∠COD=m°,请直接写出∠AOE 的度数(用含 m 的式子表示). 12.定义:如图 1,射线 OC 在∠AOB 的内部,图中共有 3 个角: ∠AOB, ∠AOC,∠BOC.若其中有一个角是另一个角的3倍,则称射线 OC 是∠AOB 的“巧分线”. (1)如图1,若∠AOB=60°,且射线 OC 是∠AOB 的“巧分线”,则∠AOC= ; (2)如图2,若∠MPN=60°,射线 PQ 绕点P 从 PN 位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线 PM 绕点 P 以每秒 3°的速度顺时针旋转，当 PQ 与 PN 第一次成100°角时,射线 PQ 和射线 PM 同时停止旋转，设旋转的时间为 t 秒，求 t 为何值时,射线 PQ 是∠MPN 的“巧分线”? 题型3：方程思想在角平分线中的应用 13.新定义:若∠α的度数是∠β的度数的n 倍，则∠α叫作∠β的n 倍角. (1)若∠M=8°35',请直接写出∠M 的 4倍角的度数； (2)如图 1 所示,若∠AOB =∠BOC =∠COD,请直接写出图中∠AOB 所有的2倍角； (3)如图 2 所示,若∠AOC 是∠AOB 的 3倍角,∠COD 是∠AOB 的 6 倍角,且∠BOD=120°,求∠BOC 的度数. 1.解:(1)因为 AM=2MC,BN=2NC,所以 所以 所以MN=MC+NC=5; (2)因为 所以 所以 因为MN=8, 所以AB=3MN=3×8=24. 2.解:(1)因为∠BOC=3∠BOD,∠BOD=12°,所以 所以∠ (2) 因为∠AOC = 3∠AOE = ∠BOC +∠AOB,∠AOB=78°,所以: 78°=114°, 所以∠AOE=38°, 所以 3. B 4. 解析：因为 所以∠BOC=n∠BOE, 所以 ∠AOB =∠AOC +∠BOC = 50°+n∠BOE, 所以 所以 5. D 6.解:(1)①因为AB=18cm,AP=PB,所以AP=BP=9 cm, 因为动点 C,D 运动了2s, 所以CP=2cm,DB=4 cm, 所以AC=AP-CP=9-2=7 cm,PD=PB-BD=9-4=5cm,所以 AC+PD=12 cm, 故答案为：12； ②设运动时间为t s， 所以CP=t cm,DB=2 t cm, 所以CD=CP+PD=t+(9-2t), 因为CD=5cm,所以t+(9-2t)=5, 所以t=4s, 故答案为：4； (2)①因为AC=AP-CP,PD=PB-BD.PD=2AC, 所以 PB-BD=2(AP-CP), 因为 BD=2CP, 所以PB-BD=PB-2CP=2(AP-CP), 所以 PB=2AP, 因为 PB+AP=AB=18cm, 所以 AP=6 cm; ②当Q点在 B 点右侧时,AQ-BQ=AB, 因为AQ-BQ=PQ, 所以AB=PQ=18 cm; 当Q 点在AB 之间时， 因为AQ-BQ=PQ,所以AQ=PQ+BQ. 因为AQ=AP+PQ,所以AP=BQ, 因为 AP=6 cm,所以 BQ=6 cm, 所以 PQ=18-6-6=6(cm); 综上所述,PQ 的长度为 6 cm或18 cm. 7.解:(1)因为点 B 为CD 的中点,BD=2cm,所以CD=2BD=4cm, 因为AD=8cm, 所以AC=AD-CD=8-4=4(cm); (2)若点 E 在线段 DA 的延长线上,如图 1, 因为 EA=3cm,AD=8cm, 所以ED=EA+AD=3+8=11(cm), 因为 BD=2cm, 所以BE=ED-BD=11-2=9(cm), 若点 E 在线段AD 上,如图2, EA=3cm,AD=8cm, 所以ED=AD-EA=8-3=5(cm),因为 BD=2cm, 所以 BE=ED-BD=5-2=3(cm),综上所述,BE 的长为 3c m或 9 cm. 8. A 解析:如图1, 设 BC=x,则AB=2x,AC=3x, 由中点可知 所以 BD=0.5x, 因为 BD=1,所以0.5x=1, 解得x=2,所以AC=6; 如图2,设 BC=x, 则AB=2x,AC=x, 由中点可知 所以 BD=1.5x, 因为 BD=1,所以1.5x=1,解得 所以 综上所述，线段 AC 的长为 6 或 9. D 10.解：(1)因为∠COD 是直角,∠AOC=30°, 所以∠BOD=180°-90°-30°=60°, 所以∠COB=90°+60°=150°. 因为OE 平分∠BOC, 所以 所以∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°; (2)因为∠COD 是直角,∠AOC=a,所以∠BOD=180°-90°-a=90°-a,所以∠BOC=90°+90°-a=180°-a,因为OE 平分∠BOC, 所以 所以∠DOE =∠BOE-∠BOD = 90°- (3)∠AOC=2∠DOE, 理由:因为∠BOC=180°-∠AOC,OE 平分∠BOC, 所以 因为∠COD = 90°,所以∠BOD = 90°—∠BOC=90°—(180°—∠AOC)=∠AOC-90°,所 以 ∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 即∠AOC=2∠DOE. 11.解:(1)因为∠AOB=140°,∠AOB=2∠COD, 所以 因为OE 平分∠AOC,OF 平分∠BOD, 所以 所以∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF =105°; (2)根据角的和差可得∠BOD=∠AOB-∠AOD, 所以∠BOD=2∠COE; (3)①当OF 在∠COE 外部时,如图1, 设∠EOF =n°,则∠COE =4n°,∠COF =n°+4n°=5n°, 因为OC 平分∠AOE, 所以∠AOE=2∠COE=8n°, 因为 OF 平分∠COD, 所以∠COD=2∠COF=10n°, 因为∠COD=m°, 所以10n°=m°,即 所以 ②当OF 在∠COE 内部时,如图2, 设∠EOF =n°,则∠COE=4n°,∠COF = 因为OC 平分∠AOE, 所以∠AOE=2∠COE=8n°, 因为 OF 平分∠COD, 所以∠COD=2∠COF=6n°, 因为∠COD=m° 所以6n°=m°,即 所以 综上所述， 或 12.解:(1)因为∠AOB =60°,且射线 OC 是∠AOB 的“巧分线”, 所以∠AOC=3∠BOC 或∠BOC=3∠AOC或∠AOB=3∠AOC或∠AOB=3∠BOC,因为∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°,所以∠AOC=15°或45°或 20°或40°,故答案为:15°或20°或 40°或45°; (2)当∠MPQ=3∠NPQ 时,则 60+3t-4t=3×4t, 所以 当∠MPN=3∠NPQ时,则60+3t=3×4t,所以 当∠MPN=3∠MPQ时,则 60+3t=3×(60+3t-4t), 所以t=20; 当∠NPQ=3∠MPQ 时,则 4t=3(3t+60-4t),所以 此时 故 不符合题意，舍去； 综上所述，当t 为 或 或20时,射线 PQ是∠MPN的“巧分线”. 13.解:(1)因为∠M=8°35',所以4∠M=4×8°35'=32°140'=34°20'; (2)因为∠AOB=∠BOC=∠COD,所以∠AOC=2∠AOB,∠BOD=2∠AOB;所以图中∠AOB 的所有 2 倍角有∠AOC,∠BOD; (3) 因为 ∠AOC 是∠AOB 的 3 倍角,∠COD 是∠AOB 的6倍角, 设∠AOB=α, 则∠AOC=3α,∠COD=6a, 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=9α, ∠BOC=∠AOC-∠AOB=2a, 所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=8α, 因为∠BOD=120°,所以8α=120°, 所以a=15°,所以∠BOC=2a=30°. 学科网（北京）股份有限公司 $