微专题04 动角问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

微专题04 动角问题 题型1 定值问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的和、差、倍数关系保持不变（与旋转角度无关）。 核心：找到“不变量”，通过角平分线、角度和差公式证明其恒定性。 子类型1：角平分线与定值 子类型2：三角板旋转中的定值 核心思路： 1. 设动角为x，用x表示其他相关角度； 2. 通过角平分线、和差关系建立目标角度的表达式； 3. 化简表达式，若结果不含x，则为定值。 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）【背景知识】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C始终在点D左侧），点E，F分别是线段，的中点． 【知识探究】 （1）若线段，求线段的长度； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图2，在内部从左到右依次作射线、、、，使得平分，平分，已知和的度数不变，设，，试判断的度数是否为定值？若是定值，请用含、的代数式表示的度数；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不会变化，；（3）的大小不会变化，且 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段的和差及角的计算，熟知角平分线的定义、线段中点的定义及巧用整体思想是解题的关键． （1）根据题意，先求出的长，再结合线段中点的定义求出及的长即可解决问题； （2）由题意可求得，因为，分别是，的中点，则可求得的长度，则可求； （3）类比（1）中线段的规律，利用角平分线的定义，然后整体代入即可得的大小不会变化，且即可解答． 【详解】解：（1），，， ． ，分别是，的中点， ，， ； （2）解：不变化，，理由如下， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； （3）解：的大小不会变化，且， ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时，_，_； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的大小是定值为 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的数量关系． （1）由题意可求出，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可判断． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 故答案为：，； （2）的大小是定值， 设，则， 是的平分线，， ， 是的平分线，， ， ， 的大小是定值为． 3．（25-26七年级上·山东济南·月考）已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 【答案】(1)或 (2) (3)时，或时，，是定值． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，正确分类并画出图形是关键． （1）分两种情况：射线在内部；射线在外部，且在射线上方；即可计算； （2）设，易得，，进而可表示出及，即可求得的度数；　 （3）记转过的角度为，分四种情况：①当时，此时，；②当时，此时；③当时，且在外时，此时；④当时，且在内部或与重合时，此时；利用角的和差倍关系，用表示出有关角的度数，再求的结果即可． 【详解】（1）解：射线在内部时，如图； 因为， 所以， l； 当射线在外部，且在射线上方时，如图； 因为， 所以， 所以； 综上，为或； （2）解： 设， ∵是的四等分线，且， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：记转过的角度为，分四种情况讨论： ①当时，此时，，如图， 由题意， 所以， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，，是定值． ②当时，此时，如图， 由题意， 则 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，不是定值． ③当时，且在外时，此时，如图， 由题意， 所以 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以， 所以当时，不是定值． ④当时，且在内部或与重合时，此时，如图， 由题意， 所以， 所以 ， 所以， 所以时，为定值． 综上所述：时，或时，，是定值． 4．（22-23七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)65，115． (2)定值， 【分析】（1）根据角的和差即可求得． （2）两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，重叠部分是2个，是定值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 故答案为：65，115． （2）是定值， ∵两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起， ∴重叠部分是2个， ∴一个与是， 另一个与是 ∴， 【点睛】此题考查了三角板角度问题，解题的关键是熟知三角板各个角的度数． 5．（25-26七年级上·山东德州·期末）点为直线上一点，在直线同侧作射线，使得，过点作射线． (1)如图1，若为的平分线，当时．求______； (2)如图2．若为的平分线，另作射线，使平分，判断的度数是否为定值，如果是，求出的度数：如果不是，请说明理由； (3)若为的平分线，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【答案】(1)40 (2)的度数是定值， (3)的度数是或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：设， ， ， 平分平分， ， ， ∴的度数是定值，； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 6．（24-25七年级上·全国·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则_； ②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求_度． ②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． 题型2 数量关系问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的倍数关系、和差关系保持不变。 核心：通过设未知数，建立方程表示角度关系，求解未知数。 子类型1：倍数关系 子类型2：和差关系 核心思路： 1. 设关键角度为x； 2. 用x表示其他相关角度 3. 通过和差关系建立方程 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，下列四个表述中，表示角度关系不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，准确识图，熟练运用相关知识是解此题的关键．观察图形，结合角的和差逐项进行判断即可得出结果． 【详解】解：A．，说法正确，故不符合题意； B．与不一定相等，说法错误，故符合题意； C．，说法正确，故不符合题意； D．，说法正确，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若___________；若，则___________； (2)猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由； (3)如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由； (4)已知（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了角的有关计算的应用，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键，求解过程类似． （1）先求出，再代入求出即可；先求出，再代入求出即可； （2）根据求出即可； （3）根据求出即可； （4）根据求出即可． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：，理由如下： ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴； （4）解：，理由是： ∵， ∴． 4．（23-24六年级下·山东淄博·期中）已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1)；；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）【问题背景】：学习完平面图形的初步认识后，我们知道，从动态角度理解：“线段可由点运动而形成”、“角可由一条射线绕它的端点旋转而形成”；同时我们还知道，如果一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，一条射线把一个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的角平分线．以此类推：“线段的三等分点”，“角的三等分线”；……． 【发现结论】如图1，当点C为线段中点时，射线为的角平分线；当点C为的三等分点时，射线为的三等分线；当点C为的四等分点时，射线为的四等分线，…．我们发现结论：的长度与的大小可以形成一种一一对应的关系．这种关系我们可以用式子更形象地加以描述． 【定义概念】对于图1，当，我们把线段称为的特征线，称为线段的特征角，若把特征线的长度记为x，特征角的度数记为，特征线与特征角之间的对应关系则可以表示为：．例如：，，若，则线段的特征角，线段与之间的对应关系就可以表示为． 【知识应用】 在图2中，若线段，． (1)特征线与特征角之间对应的关系用描述是否符合对应规则，请说明理由． (2)当时，求线段的长度． (3)已知特征线与特征角之间的对应关系可用表示，当时，请在图2中仅用无刻度直尺和圆规画出射线的位置． 【答案】(1)符合规则，理由见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题依托新定义考查几何变换，涉及线段的和差定义，角的和差定义，解题的关键是理解新定义． (1)根据新定义，计算判断即可； (2)根据定义求出，可得结论； (3) 根据新定义构建方程组求出m，n，延长，作，射线即为所求， 【详解】（1）解：符合规则，理由如下， ∵特征线与特征角之间对应的关系用， ∴， ∵， ∴特征线与特征角之间对应的关系用描述符合对应规则； （2）解：由题意知，，解得， ∴； （3）解：根据题意得，解得， 6．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角尺的顶点O在直线上，，是三角尺的两条直角边，平分．若，则 (1)______；若，则______；（用含式子表示）． (2)当三角尺绕O逆时针旋转到图②的位置时，其他条件不变，试猜测与之间有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)．理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角板有关的角度计算，理解角平分线的定义是解答的关键． （1）利用角平分线的定义以及直角、平角定义求解即可； （2）设，则．利用角平分线的定义得到，进而求得可得关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：．理由如下： 设，则． 因为平分， 所以． 因为， 所以． 所以． 题型3 运动时间问题 定义：动角按一定速度旋转，求特定位置（如角平分线重合、角度相等）的时间。 核心：用“速度×时间＝角度变化量”建立方程，求解时间t。 子类型1：角平分线重合 子类型2：角度相等 核心思路： 1. 设运动时间为t（s），用t表示各射线的旋转角度 2. 根据特定位置的条件建立方程 3. 解方程求t，注意范围限制（如t＞0，且旋转角度不超过360°）。 1．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线_____这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，． ①若射线是的奇妙线，则的度数为_____； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？（画图求解） 【答案】(1)是 (2)①或或；②当为18或24或36时，射线是的奇妙线 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解是解题关键． （1）根据奇妙线的定义进行判断即可； （2）①根据奇妙线的定义分三种情况讨论计算即可； ②射线是的奇妙线，在的内部，在的内部，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足奇妙线的定义， 所以一个角的平分线是这个角的奇妙线； 故答案为：是； （2）解：①，射线是的奇妙线，根据奇妙线的定义分三种情况讨论： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵ ∴； 当时， ∵， ∴； 故答案为：或或； ②分三种情况： （a）如图，当时，如图所示： （b）如图，当时，如图所示： ， ． （c）当时，如图所示： ， ， 综上：当为18或24或36时，射线是的奇妙线． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的定义，用方程解几何问题是常用的方法； （1）由恰好平分得，，再根据互余求出即可； （2）由，可得结论； （3）根据逆时针旋转，得出不同情况下三条射线组成等角，画出相应的图形，利用方程求出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵恰好平分， ∴， ∵ ． 故答案为：． （2）解：与之间满足等量关系为：， 理由如下： ，， ， ． （3）解：如图4，设旋转的时间为秒， ①当时， ，解得，； ②当时， ，解得，； ③当时， ，解得，； ④当时， ，解得，；  综上：的值为秒，秒，秒或秒， 故答案为：或或或． 3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图2的基础上，延长线段得到射线，得到图3，判断是否平分，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)t的值为12或30 【分析】本题主要考查了角的运算以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义，学会根据图形分类讨论是解题的关键． （1）先求出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，再利用，即可解答； （2）直接计算出和的度数，判断是否相等即可得出结论； （3）根据题意，分2种情况：①射线平分锐角；②射线的延长线平分锐角，分别求出三角板所旋转的度数，结合每秒的旋转速度，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 的度数为． （2）解：平分，理由如下： 延长线段得到射线，， ， 由（1）中的结论得，， ， 又， ， ， 平分． （3）解：①当射线平分锐角时，此时， 则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为， 速度为每秒， ； ②当射线的反向延长线平分锐角时， 则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为， 速度为每秒， ； 综上所述，的值为12或30． 故答案为：12或30． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知点是直线上一点，，，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，运动时间为秒．当射线与重合时，运动停止． (1)如图1，当________时，射线与重合； (2)如图2，若射线运动的同时，另有一射线从出发，绕点运动，每隔5秒运动一次．当时，进行第一次运动，逆时针旋转；当时，从新位置进行第二次运动，顺时针旋转；当时，从新位置进行第三次运动，逆时针旋转……按照此规律不断运动（每次运动时间忽略不计）． ①当时，求的度数； ②在射线停止运动前，射线、、中恰有一条射线平分另外两条射线所形成的角，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)8 (2)①；②t的值为或或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，角平分线定义，数形结合，注意进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，求出，即可得出答案； （2）①求出当时，，，即可得出答案； ②分六种情况讨论：当时，当，在左侧时，平分，当，在右侧，在左侧时，平分，当，在右侧，平分，当时，，平分，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线与重合时， （2）解：①根据题意可得：当时，，， ∴； ②∵， ∴， 射线运动到所用时间为：（秒）， 当时，射线没有运动，即与重合，射线、、中不可能有一条射线平分另外两条射线所形成的角； 当，在左侧时，平分， ∴， ∴， ∴此时； 当，在右侧，在左侧时，平分， ∴， ∴， ∴此时； 当，在右侧，平分， ∴， ∴， ∴此时； 当时，此时射线进行了第二次运动，则，只存在平分， ∴， ∴， ∴此时； 当时，，，此时射线、、中不可能有一条射线平分另外两条射线所形成的角； 综上，当射线、、中恰有一条射线平分另外两条射线所形成的角时，t的值为或或或． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）在一次数学活动课上，小依同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小依一起求解．已知，，平分，平分． (1)如图1，当在的内部，且与重合时，的度数为______． (2)如图2，将从图1的位置开始以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒，设． ①当时，求时的t值； ②小依同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时t的取值范围． 【答案】(1)15 (2)①或；②当时，，当时，． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算、利用一元一次方程解决动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可直接得解； （2）①根据动角运动轨迹分别表示出、、，再代入建立方程求解即可； ②分类讨论，当时，当时，当时，画出相应图形，进而根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵与重合， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：①由题易知， ∴，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得或； ②当时，如图， 同①中方法可得； 当时，如图， 此时，， ∴， ， ∴； 当时， 此时， ， ∴， ， ∴； 综上所述，当时，，当时，． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 动角问题 题型1 定值问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的和、差、倍数关系保持不变（与旋转角度无关）。 核心：找到“不变量”，通过角平分线、角度和差公式证明其恒定性。 子类型1：角平分线与定值 子类型2：三角板旋转中的定值 核心思路： 1. 设动角为x，用x表示其他相关角度； 2. 通过角平分线、和差关系建立目标角度的表达式； 3. 化简表达式，若结果不含x，则为定值。 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）【背景知识】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C始终在点D左侧），点E，F分别是线段，的中点． 【知识探究】 （1）若线段，求线段的长度； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图2，在内部从左到右依次作射线、、、，使得平分，平分，已知和的度数不变，设，，试判断的度数是否为定值？若是定值，请用含、的代数式表示的度数；若不是定值，请说明理由． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时，_，_； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．（25-26七年级上·山东济南·月考）已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 4．（22-23七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 5．（25-26七年级上·山东德州·期末）点为直线上一点，在直线同侧作射线，使得，过点作射线． (1)如图1，若为的平分线，当时．求______； (2)如图2．若为的平分线，另作射线，使平分，判断的度数是否为定值，如果是，求出的度数：如果不是，请说明理由； (3)若为的平分线，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 6．（24-25七年级上·全国·期末）（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则_； ②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求_度． ②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数． 题型2 数量关系问题 定义：动角在旋转过程中，某些角度的倍数关系、和差关系保持不变。 核心：通过设未知数，建立方程表示角度关系，求解未知数。 子类型1：倍数关系 子类型2：和差关系 核心思路： 1. 设关键角度为x； 2. 用x表示其他相关角度 3. 通过和差关系建立方程 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，下列四个表述中，表示角度关系不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 3．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若___________；若，则___________； (2)猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由； (3)如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小有何关系，请说明理由； (4)已知（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的大小关系． 4．（23-24六年级下·山东淄博·期中）已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）【问题背景】：学习完平面图形的初步认识后，我们知道，从动态角度理解：“线段可由点运动而形成”、“角可由一条射线绕它的端点旋转而形成”；同时我们还知道，如果一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，一条射线把一个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的角平分线．以此类推：“线段的三等分点”，“角的三等分线”；……． 【发现结论】如图1，当点C为线段中点时，射线为的角平分线；当点C为的三等分点时，射线为的三等分线；当点C为的四等分点时，射线为的四等分线，…．我们发现结论：的长度与的大小可以形成一种一一对应的关系．这种关系我们可以用式子更形象地加以描述． 【定义概念】对于图1，当，我们把线段称为的特征线，称为线段的特征角，若把特征线的长度记为x，特征角的度数记为，特征线与特征角之间的对应关系则可以表示为：．例如：，，若，则线段的特征角，线段与之间的对应关系就可以表示为． 【知识应用】 在图2中，若线段，． (1)特征线与特征角之间对应的关系用描述是否符合对应规则，请说明理由． (2)当时，求线段的长度． (3)已知特征线与特征角之间的对应关系可用表示，当时，请在图2中仅用无刻度直尺和圆规画出射线的位置． 6．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角尺的顶点O在直线上，，是三角尺的两条直角边，平分．若，则 (1)______；若，则______；（用含式子表示）． (2)当三角尺绕O逆时针旋转到图②的位置时，其他条件不变，试猜测与之间有怎样的关系，并说明理由． 题型3 运动时间问题 定义：动角按一定速度旋转，求特定位置（如角平分线重合、角度相等）的时间。 核心：用“速度×时间＝角度变化量”建立方程，求解时间t。 子类型1：角平分线重合 子类型2：角度相等 核心思路： 1. 设运动时间为t（s），用t表示各射线的旋转角度 2. 根据特定位置的条件建立方程 3. 解方程求t，注意范围限制（如t＞0，且旋转角度不超过360°）。 1．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)一个角的平分线_____这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”） (2)如图2，． ①若射线是的奇妙线，则的度数为_____； ②若射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的奇妙线？（画图求解） 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 3．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图2的基础上，延长线段得到射线，得到图3，判断是否平分，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______秒．（直接写出答案） 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知点是直线上一点，，，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，运动时间为秒．当射线与重合时，运动停止． (1)如图1，当________时，射线与重合； (2)如图2，若射线运动的同时，另有一射线从出发，绕点运动，每隔5秒运动一次．当时，进行第一次运动，逆时针旋转；当时，从新位置进行第二次运动，顺时针旋转；当时，从新位置进行第三次运动，逆时针旋转……按照此规律不断运动（每次运动时间忽略不计）． ①当时，求的度数； ②在射线停止运动前，射线、、中恰有一条射线平分另外两条射线所形成的角，请直接写出所有满足条件的的值． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）在一次数学活动课上，小依同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小依一起求解．已知，，平分，平分． (1)如图1，当在的内部，且与重合时，的度数为______． (2)如图2，将从图1的位置开始以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒，设． ①当时，求时的t值； ②小依同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时t的取值范围． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． / 学科网（北京）股份有限公司 $