6.2 平行四边形的判定 课后巩固练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026 年春季北师大版八年级(下) 第六章 平行四边形 6.2平行四边形的判定  一、 单选题   1.（25-26·全国同步）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（       ） A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形   2.（24-25·浙江期中）（3分）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（       ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等   3.（2026·河南期中）如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（       ）     A. B. C. D.   4.（25-26期末）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（       ） A. B. C. D.   5.（25-26·江苏月考）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（       ） A. B. C. D. 6.（24-25·福建期中）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可能是(       ) A. B. C. D.   7.（24-25·辽宁期中）如图，在中，，点，，分别在边，，上，，，则四边形的周长是（       ） A. B. C. D.   8.（25-26·湖北月考）如图，在中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别与AD，BC交于点E，F，连接OD，OC．以下结论：①；②点O是EF的中点；③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍；④，其中正确的结论有（ ） A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 二、 填空题   9.（25-26·黑龙江期中）一个四边形的边长依次为，，，，且满足＝，则这个四边形为________。   10.（25-26·山东月考）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，，则四边形的面积为_______．   11.（25-26·湖南期末）如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为_______．   12.（25-26·江苏月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．   13.（24-25·河南月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过________秒，直线将四边形截出一个平行四边形．   （25-26·山东月考）如图，在□中，与交于点，点在上，＝，＝，＝，点是的中点，若点以秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动．点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．当点运动________秒时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 三、 解答题   15.（25-26·全国同步）如图，在四边形中，是中点．与相交于点且互相平分，则线段与有怎样的关系？请说明理由．   16.（25-26·山东模拟）如图，四边形是平行四边形，点、分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点，求证：．   17.（同步）如图，已知，和的面积相等吗？若在上再取一些点，使其分别和两点构成三角形，那么它们的面积相等吗？不妨验证一下．   18.（24-25·黑龙江期末）如图，在平行四边形中， ，，分别是，的中点. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长.   19.（25-26·陕西月考）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积．   20.（25-26·江苏月考）如图，在中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转一个角度（），分别交线段于点E、F，已知，，连接． （1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明； （2）如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明； （3）如图③，当时，求的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季北师大版八年级(下) 第六章 平行四边形 6.2平行四边形的判定  一、 单选题   1.（25-26·全国同步）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（       ） A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】 C 【解析】 本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【解答】 解：根据平移的性质，得到， 故选：．   2.（24-25·浙江期中）（3分）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（       ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】 B 【解析】 本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【解答】 解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：． 、当时，如下图所示，作平行四边形，过作于，在上取，连接，把绕点逆时针旋转，旋转角度等于，此时旋转到，，且，但四边形不是平行四边形，故不符合题意；    、当时，则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定即可得到四边形是平行四边形，故符合题意． 故选：．   3.（2026·河南期中）如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（       ）     A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离. 【解答】 解： 可以表示平行线m与n之间的距离, 故选：B.   4.（25-26期末）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：．，， 不能判定四边形是平行四边形； ．不能判定四边形是平行四边形； ．， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ．不能判定四边形是平行四边形； 故此题答案为．   5.（25-26·江苏月考）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点D的坐标：①以AB为对角线；②以AC为对角线；③以BC为对角线，计算出所有可能的D点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标. 【解答】 解：设D(x,y)，分三种情况讨论： ①当AB为平行四边形的对角线时， ∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴ A(1,0)、B(-1,3)的中点和C、D的中点重合. A、B的中点为，C、D的中点为， 则 ，解得 ，即D(2,4); ②当AC为平行四边形的对角线时， 同理，A(1,0)、C(-2,-1)的中点 和B、D的中点 重合. 则 ，解得 ，即D(0,-4); ③当BC为平行四边形的对角线时， 同理，B(-1,3)、C(-2,-1)的中点 和A、D的中点 重合. 则 ，解得 ，即D(-4,2); 综上，点D的坐标可能是(2,4)、(0,-4)、(-4,2)，不可能是(-3,2). 6.（24-25·福建期中）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可能是(       ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 在平面直角坐标系中，分类讨论①当，为对角线时，②当，为对角线时和③当，为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案． 【解答】 ①当，为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ． 向上平移个单位，向左平移个单位得到， 向上平移个单位，向左平移个单位得到； ②当，为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ． 向上平移个单位，向左平移个单位得到， 向上平移个单位，向左平移个单位得到； ③当，为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ． 向下平移个单位，向右平移个单位得到， 向下平移个单位，向右平移个单位得到． 综上可知点的坐标可能是或或， 故选．   7.（24-25·辽宁期中）如图，在中，，点，，分别在边，，上，，，则四边形的周长是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据，，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由，可得，从而得到，进而得到，再根据四边形的周长是，即可求解． 【解答】 解∶，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长是． 故选：   8.（25-26·湖北月考）如图，在中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别与AD，BC交于点E，F，连接OD，OC．以下结论：①；②点O是EF的中点；③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍；④，其中正确的结论有（ ） A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 【答案】 C 【解析】 利用平行四边形邻角互补及角平分线的定义可判断结论①；先利用平行线的性质、角平分线的定义可证明 、是等腰三角形，然 后进一步结合平行四边形的性质可以判断结论②；结合已知条件 及前面的结论可判断结论③；利用平行四边形与三角形的面积公式 可判断结论④. 【解答】 解：结论①： 四边形 是平行四边形， 分别平分 、， ，即 . 故结论①符合题意; 结论②： 由条件易知 四边形 ， 均为平行四边形， ，即点 是 的中点 . 故结论②符合题意; 结论③：设 ， ， 由前面得到的结论易知 的周长为 进而可知 的周长为 . 故结论③不符合题意; 结论④：在 和 中，由平行四边形和三角形的面积公式可知 在 中，设 边上的高为 ，则 边上的高为 故结论④符合题意. 综上所述，正确的结论是 故选： 二、 填空题   9.（25-26·黑龙江期中）一个四边形的边长依次为，，，，且满足＝，则这个四边形为___平行四边形_____。 【答案】 平行四边形 【解析】 此题暂无解析 【解答】 等号右边有和，可移到等号的左边，作为完全平方式的第二项，把等号左边整理为两个完全平方式相加等于的形式，让底数为可得四边形边长的关系，进而可得四边形的形状。 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ，。 ∴ 四边形是平行四边形， 故答案为平行四边形。   10.（25-26·山东月考）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，，则四边形的面积为_____24___． 【答案】 【解析】 根据勾股定理，可得的长，根据平行四边形的判定，可得四边形的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案． 【解答】 解：∵ ，，，， ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 又∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ∴ 四边形的面积为. 故答案为：．   11.（25-26·湖南期末）如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为_____16___． 【答案】 16 【解析】 本题考查全等三角形的AAS判定与平行线的性质，关键是连接 ，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形ABED的面积转化为可直接计算的 的面积. 【解答】 解：如图，连接 是 的中点， 又 的面积为 即阴影部分的面积为16. 故答案为：16.   12.（25-26·江苏月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为__8______． 【答案】8 【解析】 根据题意由平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF=∠CDF，则∠DFC=∠FDC，然后由等腰三角形的判定得 到CF=CD，同理BE=AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论. 【解答】 解：∵ AD∥BC， ∴ ∠ADF=∠DFC， ∵ DF平分∠ADC， ∴ ∠ADF=∠CDF， ∴ ∠DFC=∠CDF， ∴ CF=CD， 同理BE=AB， ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AD=BC， ∴ AB=BE=CF=CD=5， ∴ BC=BE+CF-EF=5+5-2=8， ∴ AD=BC=8， 故答案为：8.   13.（24-25·河南月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过___2或 _____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】 2或 【解析】 本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法。设点P，Q运动的时间为 t秒，则 ， ， ， ，因为 ，故分两种情况：当 或 时，列方程解答即可. 【解答】 解：设点P，Q运动的时间为t秒，则 ， ， ， ①当BQ=AP时，四边形APQB是平行四边形， 即 ，解得 ②当CQ=PD时，四边形CQPD是平行四边形， 即 ，解得 经过2或 秒，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形， 故答案为：2或   （25-26·山东月考）如图，在□中，与交于点，点在上，＝，＝，＝，点是的中点，若点以秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动．点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．当点运动___或_____秒时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】 或 【解析】 由四边形是平行四边形得出：，，又由，即可证得，求出的长，得 出的长，设当点运动秒时，点、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果． 【解答】 解：∵四边形是平行四边形， ．．， 点是的中点， 要使点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则即可， 设当点运动秒时，点、、、为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得：或 解得：或 故答案为或． 三、 解答题   15.（25-26·全国同步）如图，在四边形中，是中点．与相交于点且互相平分，则线段与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】 解：关系： ， . 理由：∵ 、互相平分于点，即， ∴ 四边形为平行四边形， ∴   又∵ 为的中点， ∴ ∴   ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，  【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：关系： ， . 理由：∵ 、互相平分于点，即， ∴ 四边形为平行四边形， ∴   又∵ 为的中点， ∴ ∴   ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，    16.（25-26·山东模拟）如图，四边形是平行四边形，点、分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点，求证：． 【答案】 证明过程见详解 【解析】 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论． 【解答】 证明∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ．   17.（同步）如图，已知，和的面积相等吗？若在上再取一些点，使其分别和两点构成三角形，那么它们的面积相等吗？不妨验证一下． 【答案】 面积相等，见解析． 【解析】 由于平行线间的距离相等，而和的边上的高相等，所以和的面积相等，即可求出答案． 【解答】 解：和面积相等． 验证；如图，过点作于点，过点作于点． 则根据平行线间的距离相等，得 因为 两个三角形同底等高，所以面积相等． 若在：上再取一些点，使其分别和，两点构成三角形，那么它们的面积相等． 如图，在Ⅰ上取异于、两点的点，过点作于点，则 和是同底等高，所以面积相等． 故答案为：面积相等．   18.（24-25·黑龙江期末）如图，在平行四边形中， ，，分别是，的中点. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长. 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∵ ，分别是，的中点， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形. 解：连接， ∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ 是的中点，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵  ， ∴ 是等边三角形. ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，∴ ， . 【解析】 （1）  （2）  【解答】 （1）证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∵ ，分别是，的中点， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形. （2）解：连接， ∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ 是的中点，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵  ， ∴ 是等边三角形. ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，∴ ， .   19.（25-26·陕西月考）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】 见解析； 【解析】 （1）证明EF、BD互相平分，只要证四边形DEBF是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明； （2）根据等边三角形的判定定理得到 是等边三角形，求得DE=AE=4，得到BE=GE=2，过D点作DG AB于点G，根据直角三角形的性质得到AG ，由勾股定理得到 ，根据平行四边形的面积公式即可得到结论. 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是平行四边形， 又 ，BF分别是 ， 的平分线， 四边形DEBF是平行四边形； （2）解： ，AB//CD， 是 的角平分线， 为等边三角形， 过D点作 于点 在Rt 中 在 中， ， 平行四边形ABCD的面积   20.（25-26·江苏月考）如图，在中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转一个角度（），分别交线段于点E、F，已知，，连接． （1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明； （2）如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明； （3）如图③，当时，求的面积． 【答案】 ，见解析 ，见解析 【解析】 （1）由平行四边形的性质得出 ， ，则 ，由ASA证得 ，即可得出结论 ； （2）由勾股定理得出 ，由平行四边形的性质得出 ， ，推出 ，求出 ，即 ，由 ，即可得出结论 ； （3）由 ，得出 ，证得四边形 是平行四边形，则 ，由(1)得 ，得出 ，由(2)得 ，由 ， ，则 . 【解答】 （1）解： ；理由如下： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 在 与 中， ， ； （2）解： ；理由如下： ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是平行四边形， ， 由(1)得： ， ， 由(2)得： ， ， ， . 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $