第九章因式分解之十字相乘法导学案+巩固练习 2025-2026学年 苏科版八年级数学下册

苏科版数学八年级下册 十字相乘法 导学案 班级：__________　姓名：__________　日期：__________ 一、学习目标 1. 理解十字相乘法的含义，知道十字相乘法适用于分解形如 x²+px+q（二次项系数为 1）的二次三项式。 2. 掌握十字相乘法的基本步骤：“竖分二次项与常数项，交叉相乘，和相加，检验确定，横写因式”。 3. 会用十字相乘法分解二次项系数为 1 和二次项系数不为 1 的二次三项式。 4. 能运用整体思想对含 (a+b)、(x-y) 等整体的二次三项式进行因式分解。 二、温故知新 1. 什么是因式分解？ 把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。因式分解与整式乘法是互逆运算。 2. 我们已经学过的因式分解方法有哪些？ （1）提公因式法；（2）运用公式法（平方差公式、完全平方公式）。 3. 计算下列各式： （1）(x+2)(x+3)= __________； （2）(x-2)(x-3)= __________； （3）(x+2)(x-3)= __________； （4）(x-2)(x+3)= __________。 4. 根据上面的计算结果，将下列多项式写成乘积的形式： （1）x²+5x+6= __________； （2）x²-5x+6= __________； （3）x²-x-6= __________； （4）x²+x-6= __________。 三、探究新知 （一）二次项系数为 1 的十字相乘法 由 (x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq，得 x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。 例如：分解 x²+3x+2。 竖分：x 和 x，常数项 2 拆成 1 和 2。 交叉相乘：x·2 + x·1 = 3x，等于一次项，成立。 所以 x²+3x+2 = (x+1)(x+2)。 方法提炼——十字相乘法的步骤： ① 竖分二次项与常数项：将二次项系数、常数项分别竖写拆分； ② 交叉相乘，和相加：检验交叉乘积之和是否等于一次项； ③ 检验确定，横写因式。 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。 （二）二次项系数不为 1 的十字相乘法 例如：分解 2x²+5x+2。 竖分二次项：x 和 2x，常数项 2 拆成 2 和 1。 交叉相乘：x×1 + 2×2x = x + 4x = 5x，符合一次项。 所以 2x²+5x+2 = (x+2)(2x+1)。 方法提炼： ① 竖分二次项 ax² 为 a₁x·a₂x； ② 竖分常数项 c 为 c₁·c₂； ③ 使 a₁c₂+ a₂c₁ 正好是一次项系数 b； ④ 则 ax²+bx+c = (a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。 （三）整体思想下的十字相乘法 如分解 (a+b)² - 3(a+b) + 2，可把 (a+b) 看作整体，设 y = a+b，得到 y²-3y+2，分解后再还原。 （四）符号规律小结 常数项 q > 0 时：拆分的两数同号，且与一次项系数 p 同号。 常数项 q < 0 时：拆分的两数异号，绝对值较大的数与 p 同号。 四、典型例题 例1 分解因式（二次项系数为 1）： （1）x²+7x+12　（2）x²-8x+15　（3）x²+2x-24 解析 （1）拆 12=3×4，3+4=7，故原式=(x+3)(x+4)。 （2）拆 15=(-3)×(-5)，(-3)+(-5)=-8，故原式=(x-3)(x-5)。 （3）拆 -24=6×(-4)，6+(-4)=2，故原式=(x+6)(x-4)。 例2 分解因式（二次项系数不为 1）： （1）3x²+5x-2　（2）6x²-7x-5 解析（1）竖分 3x²=3x·x，-2=2×(-1)，交叉：3x·(-1)+x·2=-3x+2x=-x≠5x；换拆法 -2=(-1)×2，则 3x·2+x·(-1)=6x-x=5x，符合。故原式=(3x-1)(x+2)。 （2）尝试拆分：6x²=2x·3x，-5=(-5)×1，交叉：2x·1+3x·(-5)=2x-15x=-13x≠-7x；换 6x²=3x·2x，-5=5×(-1)，交叉：3x·(-1)+2x·5=-3x+10x=7x≠-7x；换 -5=(-5)×1 且 2x·3x，得 -13x；最终尝试 6x²=2x·3x，-5=1×(-5)（已试）不对；再试 -5=1×(-5) 且 6x·x，交叉：6x·(-5)+x·1=-30x+x=-29x；最后试 2x 和 3x，-5=(-5)×1 外，还可 -5=5×(-1) 上面已试。正确拆法：需使交叉和为 -7x。尝试 (2x+1)(3x-5)，展开得 6x²-10x+3x-5=6x²-7x-5，成立。即 6x² 拆 2x·3x，-5 拆 1×(-5)，交叉相乘为 2x·(-5)+1·3x=-10x+3x=-7x。所以原式=(2x+1)(3x-5)。 温馨提示： 二次项系数不为 1 时，需耐心尝试不同搭配，直到交叉乘之和等于一次项。 五、当堂检测 基础练 1. 把多项式 x²-5x+6 分解因式，下列结果正确的是（ ） A. (x-2)(x-3)　B. (x+2)(x+3)　C. (x+1)(x-6)　D. (x-1)(x-6) 2. ［2024 盐城期中卷］若 x²-mx-15=(x-5)(x+3)，则 m 的值为（ ）　 A. -8　B. 2　C. -2　D. 8 3. 多项式 x²-3x+a 可分解为 (x-5)(x-b)，则 a、b 的值是（ ） A. a=10，b=2　B. a=-10，b=-2　C. a=10，b=-2　D. a=-10，b=2 4. 若 x²-4x+m=(x+3)(x-7)，则 m 等于（ ） A. -21　B. 21　C. 10　D. 4 提升练 1. ［2025 常州新北期中］下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）　 A. x²+2x+3=(x+1)²+2　B. (x+y)(x-y)=x²-y²　C. x²-xy+y²=(x-y)²　D. 2x-2y=2(x-y) 2. ［2025 台江区校级模拟］多项式 ax²-4ax-12a 因式分解正确的是（ ）　 A. a(x-6)(x+2)　B. a(x-3)(x+4)　C. a(x²-4x-12)　D. a(x+6)(x-2) 3. ［2024 秋徐州期中］若 x²+kx+20 能在整数范围内因式分解，则 k 可取的整数值有（ ）　 A. 2 个　B. 3 个　C. 4 个　D. 6 个 4. 把 x²+3x+c 分解因式得：x²+3x+c=(x+1)(x+2)，则 c 的值为（ ） A. 2　B. 3　C. -2　D. -3 5. ［2024 无锡惠山期中］若二次三项式 x²-(m-1)x+16 能用完全平方公式进行因式分解，则 m 的值为 __________．　 解答题 1. ［2024 四川攀枝花中考］分解因式：2x²-8。　 2. ［2025 苏州期中卷］分解因式：x²+3x-10。　 3. ［2024 青海中考］分解因式：x²+2x-3。　 4. ［2025 南通期中卷］分解因式：x²-2x-15。　 5. ［2024 盐城期中］分解因式：m²-16n²。　 6. ［2024 盐城期中］分解因式：xy⁴-6xy³+9xy²。　 7. ［2024 连云港赣榆模拟］分解因式：(2x+3)²-x²。　 8. ［2025 南京鼓楼期中］分解因式：x⁴-1。　 9. ［2024 泰州期中］分解因式：x²-7x+6。　 10. ［2025 镇江期中卷］分解因式：x²+6x+8。　 11. ［2024 淮安期中］分解因式：x²-x-12。　 12. 分解因式：(x+y)²-7(x+y)+6。（提示：运用整体思想，先将 (x+y) 看作一个整体） 13. 分解因式：(a-b)²-3(a-b)+2。（提示：运用整体思想） 14. 已知实数 x、y 满足 x²+y²-6x+2y+10=0，求 x+y 的值。 六、课堂小结 1. 本节课我学到了什么？ 2. 十字相乘法的核心步骤是：竖分二次项与常数项 → 交叉相乘求和检验 → 横写因式。 3. 符号规律：常数项为正时，拆分的两个因数同号且与一次项系数同号；常数项为负时，拆分的两个因数异号，绝对值大的与一次项系数同号。 4. 当遇到含 (a+b)、(x-y) 等整体式子时，将其视为一个整体，用十字相乘法分解后再还原。 5. 我还有哪些疑问？ 七、参考答案 温故知新 1. （1）x²+5x+6；（2）x²-5x+6；（3）x²-x-6；（4）x²+x-6。 2. （1）(x+2)(x+3)；（2）(x-2)(x-3)；（3）(x+2)(x-3)；（4）(x-2)(x+3)。 当堂检测 1. A　解析：x²-5x+6，拆 6=(-2)×(-3)，(-2)+(-3)=-5。∴ (x-2)(x-3)。 2. B　解析：(x-5)(x+3)=x²-2x-15，∴ m=2。 3. D　解析：x²-3x+a=(x-5)(x-b)=x²-(5+b)x+5b。得 5+b=3，5b=a，解得 b=-2，a=-10。 4. A　解析：(x+3)(x-7)=x²-4x-21，∴ m=-21。 5. B　解析：A、C 选项右边不是整式乘积的形式，不是因式分解；(x+y)(x-y)=x²-y² 是整式乘法；D 是因式分解。故选 B。 6. A　解析：先提公因式 a，得 a(x²-4x-12)。x²-4x-12 用十字相乘法，拆 -12=(-6)×2，-6+2=-4。∴ 原式=a(x-6)(x+2)。 7. D　解析：20 的因数对有 (1,20), (2,10), (4,5)，以及它们的相反数对。和分别为 21, -21, 12, -12, 9, -9。共 6 个整数值。 8. A　解析：(x+1)(x+2)=x²+3x+2，∴ c=2。 9. 9 或 -7　解析：完全平方式为 x²±8x+16，即 -(m-1)=±8，解得 m=9 或 m=-7。 10. 2(x+2)(x-2)　解析：2x²-8=2(x²-4)=2(x+2)(x-2)。 11. (x+5)(x-2)　解析：拆 -10=5×(-2)，5+(-2)=3。∴ (x+5)(x-2)。 12. (x+3)(x-1)　解析：拆 -3=3×(-1)，3+(-1)=2。∴ (x+3)(x-1)。 13. (x-5)(x+3)　解析：拆 -15=(-5)×3，-5+3=-2。∴ (x-5)(x+3)。 14. (m+4n)(m-4n)　解析：平方差公式。 15. xy²(y-3)²　解析：先提公因式 xy²，得 xy²(y²-6y+9)=xy²(y-3)²。 16. 3(x+1)(x+3)　解析：(2x+3)²-x²=[(2x+3)+x][(2x+3)-x]=(3x+3)(x+3)=3(x+1)(x+3)。 17. (x²+1)(x+1)(x-1)　解析：x⁴-1=(x²+1)(x²-1)=(x²+1)(x+1)(x-1)。 18. (x-1)(x-6)　解析：拆 6=(-1)×(-6)，和 -7。 19. (x+2)(x+4)　解析：拆 8=2×4，和 6。 20. (x-4)(x+3)　解析：拆 -12=(-4)×3，和 -1。 21. (x+y-1)(x+y-6)　解析：令 t=x+y，t²-7t+6=(t-1)(t-6)，代回。 22. (a-b-1)(a-b-2)　解析：令 u=a-b，u²-3u+2=(u-1)(u-2)，代回。 23. 2　解析：配方得 (x-3)²+(y+1)²=0，故 x=3，y=-1，x+y=2。 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解——十字相乘法 巩固练习 姓名：________　班级：________　日期：________ 第一部分　二次项系数为 1（共 15 题） 基础巩固（第1—6题） 1. （苏州四市2025—2026学年八年级阳光测评期中）分解因式：x² + 5x + 6 2. （江苏省泰州市靖江市2025—2026学年八年级10月七校联考）分解因式：x² − 7x + 12　 3. （辽宁省沈阳市于洪区2024—2025学年八年级下学期期中）分解因式：x² + x − 6　　 4. （湖北省荆州市沙市区2024—2025学年八年级上学期期末）分解因式：x² − 5x − 14 5. （河南省郑州市河南大学附属中学2024—2025学年八年级期中）分解因式：x² + 8x + 15　　 6. （江苏省苏州园区金鸡湖学校2025—2026学年八年级10月随堂练习） 分解因式：x² − 3x − 18　 能力提升（第7—12题） 1. （2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解单元巩固测试卷） 分解因式：x² − 2x − 15　　 2. （甘肃省武威市/嘉峪关市/临夏州2025年中考真题）分解因式：x² + 3x − 28　　 3. （北京2024年中考真题——因式分解分类汇编）分解因式：x² − 9x + 20　　 4. （广西2024年中考真题——因式分解分类汇编）分解因式：x² − x − 30　　 5. （2024年中考数学真题专题提优训练——因式分解）分解因式：x² − 4x − 12　　 6. （2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解单元检测卷） 分解因式：x² + 10x + 24　　 拓展应用（第13—15题） 1. （2024—2025学年中考数学精选真题实战测试——因式分解） 分解因式：(m + n)² − 6(m + n) + 9　　 2.（2024—2025学年中考数学精选真题实战测试——因式分解） 分解因式：x³y − 9xy　　 3. （湖北省十堰市丹江口市2024—2025学年八年级上学期期末） 分解因式：(x² + 2x)² − 2(x² + 2x) − 3　　 第二部分　二次项系数不为 1（共 15 题） 基础巩固（第1—6题） 1. （苏州四市2025—2026学年八年级阳光测评期中）分解因式：2x² + 7x + 3　　 2. （辽宁省沈阳市于洪区2024—2025学年八年级下学期期中）分解因式：3x² + 11x + 10　　 3. （湖北省荆州市沙市区2024—2025学年八年级上学期期末）分解因式：2x² − 7x + 3　　 4. （河南省郑州市河南大学附属中学2024—2025学年八年级期中）分解因式：3x² − 8x + 4　　 5. （2024—2025学年中考数学精选真题实战测试——因式分解）分解因式：5x² + 17x − 12　　 6. （2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解单元巩固测试卷） 分解因式：6y² − 11y − 10　　 能力提升（第7—12题） 1. （2024年中考数学真题专题提优训练——因式分解）分解因式：2x² + x − 1　　 2. （2024年中考数学真题专题提优训练——因式分解）分解因式：4x² + 4x − 15　　 3. （2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解单元检测卷） 分解因式：3x² + 5xy − 2y² + x + 9y − 4　　 【提示：先对二次三项式部分3x²+5xy－2y²使用十字相乘法，再对整体使用待定系数法】 4. （湖北省十堰市实验中学2023—2024学年八年级上学期期末） 分解因式：2x² − 5x − 3　　 5. （江苏省泰州市靖江市2025—2026学年八年级10月七校联考）分解因式：6x² + 13x + 5　　 6. （2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解能力提升自测卷） 分解因式：5a²b² + 23ab − 10　　 拓展应用（第13—15题） 1. （2024—2025学年中考数学精选真题实战测试——因式分解）分解因式：x³ + 2x² − 3x　　 2. （2025年甘肃省武威市/嘉峪关市/临夏州中考真题）分解因式：2x³ − 4x² + 2x　　 3. （湖北省十堰市丹江口市2024—2025学年八年级上学期期末） 分解因式：4x² − 12xy + 9y² − 25　　 参考答案 第一部分　二次项系数为 1 1. (x + 2)(x + 3) 2. (x − 3)(x − 4) 3. (x − 2)(x + 3) 4. (x − 7)(x + 2) 5. (x + 3)(x + 5) 6. (x − 6)(x + 3) 7. (x − 5)(x + 3) 8. (x − 4)(x + 7) 9. (x − 4)(x − 5) 10. (x − 6)(x + 5) 11. (x − 6)(x + 2) 12. (x + 4)(x + 6) 13. (m + n − 3)² 14. xy(x + 3)(x − 3) 15. (x − 1)(x + 3)(x² + 2x + 1) 第二部分　二次项系数不为 1 1. (2x + 1)(x + 3) 2. (3x + 5)(x + 2) 3. (2x − 1)(x − 3) 4. (3x − 2)(x − 2) 5. (5x − 3)(x + 4) 6. (2y − 5)(3y + 2) 7. (2x − 1)(x + 1) 8. (2x + 5)(2x − 3) 9 .(3x − y + 4)(x + 2y − 1) 10. (2x + 1)(x − 3) 11. (2x + 1)(3x + 5) 12. (5ab − 2)(ab + 5) 13. x(x + 3)(x − 1) 14. 2x(x − 1)² 15. (2x − 3y + 5)(2x − 3y − 5) 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 第一部分　二次项系数为 1 1. (x + 2)(x + 3) 2. (x − 3)(x − 4) 3. (x − 2)(x + 3) 4. (x − 7)(x + 2) 5. (x + 3)(x + 5) 6. (x − 6)(x + 3) 7. (x − 5)(x + 3) 8. (x − 4)(x + 7) 9. (x − 4)(x − 5) 10. (x − 6)(x + 5) 11. (x − 6)(x + 2) 12. (x + 4)(x + 6) 13. (m + n − 3)² 14. xy(x + 3)(x − 3) 15. (x − 1)(x + 3)(x² + 2x + 1) 第二部分　二次项系数不为 1 1. (2x + 1)(x + 3) 2. (3x + 5)(x + 2) 3. (2x − 1)(x − 3) 4. (3x − 2)(x − 2) 5. (5x − 3)(x + 4) 6. (2y − 5)(3y + 2) 7. (2x − 1)(x + 1) 8. (2x + 5)(2x − 3) 9 .(3x − y + 4)(x + 2y − 1) 10. (2x + 1)(x − 3) 11. (2x + 1)(3x + 5) 12. (5ab − 2)(ab + 5) 13. x(x + 3)(x − 1) 14. 2x(x − 1)² 15. (2x − 3y + 5)(2x − 3y − 5) 学科网（北京）股份有限公司 $