精品解析：2026年陕西省西安市远东第二中学九年级素养练习 数学

2026年陕西省西安市远东第二中学九年级素养练习数学 注意事项； 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. 5 B. C. 13 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握异号两数相加的运算法则即可求解． 【详解】根据有理数加法法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.，，结果取负号，再用较大绝对值减较小绝对值，可得． 2. 将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“面动成体”的原理，将平面图形的各部分拆分分析，判断每部分旋转后形成的立体图形，再组合起来即可． 【详解】解：该平面图形绕直线旋转一周后，顶部和底部各形成一个圆锥，中间形成一个圆柱， 选项符合要求． 3. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用角平分线求出的度数，再根据“两直线平行，同旁内角互补”计算． 【详解】解：平分，， ， ， ． 4. 电磁波在空间中以波的形式移动，在真空中，电磁波的传播速度约为米/秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，在中，，，垂足为，则图中与互余的角共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据“直角三角形两锐角互余”的性质，分别在和中，找出与相加等于的角． 【详解】解：， ，与互余； ， ， ，与互余， 与互余的角共有个． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质． 根据、两种情况作答即可． 【详解】解：当时，经过二、四象限，经过一、二、三象限，A选项符合； 当时，经过一、三象限，经过一、三、四象限，无符合的选项； 故选：A． 7. 如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角定理求出，从而判定为等腰直角三角形，求出的长，再根据垂径定理求出的长． 【详解】解： 直径垂直于弦 ， 在中， 是等腰直角三角形 ． 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表格给出的三组对应值求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：把表格中三组对应值， ， 代入， ，解得， 因此二次函数解析式为 ， 逐一判断选项： A．，∴图象开口向上，A错误； B．对称轴为，不是，B错误； C．开口向上，对称轴为，∴时，随的增大而增大，又，∴当时，随的增大而增大，C正确； D．令，得，因式分解得，解得或，因此图象与轴交点为和，D错误． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解. 【详解】解：． 10. 如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 11. 少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形“”组成的有规律的图案，如图，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…依此规律，第26个图案中基础图形的个数为__________． 【答案】 79 【解析】 【分析】由题意可推导一般性规律为：第个图案由个基础图形组成，将代入，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，第1个图案由4个基础图形组成，， 第2个图案由7个基础图形组成，， 第3个图案由10个基础图形组成，，  第个图案由个基础图形组成， 当时， 第26个图案中的基础图形个数为：． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用菱形对角线性质和面积公式求出的长度，再根据直角三角形斜边中线定理得到的长度． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， ，， ， ， 菱形的面积为， ， 解得， ， ， ． 13. 如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴上，轴，轴，为的中点．若的面积为8，则的值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，利用中点坐标公式及平行线性质表示出点和点的坐标，进而表示出和的长，根据三角形面积公式建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中 点在反比例函数的图象上 轴，点在轴上 点的坐标为 为的中点 点的坐标为 轴 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上 点的坐标为 轴，轴 ∴ 14. 点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点C，连接，作于B，且，连接，构造，推出，进而可得点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，因此求的最小值转化为求点A到距离的最值，可知当点M，O，A共线时，取最小值． 【详解】解：点P在平面内一动点，，， 点P在以为直径的圆上， 取中点C，连接，作于B，且，连接， ，， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当点P在上方时，点M在以点O为圆心，3为半径的圆上， 当点M，O，A共线时，取最小值， ， 的最小值， 当点P在下方时，同理可得的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、求一点到圆上距离的最值、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，有一定难度，求出点M的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算乘法、立方根和绝对值，再去括号、合并同类项得到结果． 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：， ， ， ， ， 如图， 【解析】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点；小于向左，大于向右． 【详解】略 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先对分母因式分解，确定最简公分母，然后去分母，将原式化为整式方程求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 当时，，，， 故是原方程的解． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，在内部求作一点，使得点到边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示，点即为所求 【解析】 【分析】作的角平分线，再过点作交于点，由角平分线的性质可得点到边的距离相等，且有，故点即为所求． 【详解】略 19. 如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵DE∥AC， ∴， ∵，． ∴ ∴． 【解析】 【分析】证明，即可得到结论． 【详解】略 20. 在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”“夏”“秋”“冬”图案的不透明卡片（分别记为），将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，规定抽到哪个季节的卡片即背诵一首哪个季节的诗词． （1）从这四张卡片中随机抽取一张，抽出的卡片图案是“春”的概率是__________； （2）甲同学从这四张卡片中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，乙同学从中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽出的卡片图案是同一季节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率以及统计表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图： 所有等可能发生的情况共16种，其中甲、乙两人抽出的卡片图案是同一季节的情况共4种， 所以甲、乙两人抽出的卡片图案是同一季节的概率． 21. 如图①是渭北革命根据地烈士纪念碑，是陕西省省级重点烈士纪念设施保护单位，被列入陕西省不可移动革命文物名录．小张计划测量纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），测量方案如下：如图②，小张在水平地面上的点处垂直竖立一根高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，发现此时自己的眼睛、标杆顶点和纪念碑的最高点恰好在同一直线上，小张利用无人机在点的正上方的点处测得点的俯角为．已知，点P，F，E在同一直线上，，求纪念碑的通高．（参考数据：） 【答案】纪念碑的通高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形与相似三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形与相似三角形，利用三角函数与相似三角形的性质建立方程求解． 先过点作于，利用俯角构造的直角三角形求出（即的长度；再利用，设未知数建立方程求解的高度． 【详解】解：过点作于点， 设，由题意得：，， ， ，在中，， ， ， ， 过点作于，交于点，四边形与均是矩形, 则，,， ,, ，， ， ， . . 化简得：, 交叉相乘：, , , ． 答：纪念碑的通高为． 22. 某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（单位：千米/时）与高架路上每百米车的数量x（单位：辆）的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为38千米/时，求该时刻高架路上每百米车的数量． 【答案】（1） （2）21 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 当时， 解得 答：该时刻高架路上每百米车的数量为21辆． 23. 中考体考在即，为掌握九年级学生的体育训练成效，某校从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分为60分，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据：56，57，57，58，58，58，59，59． 雅行班20名学生的体测成绩：49，52，54，54，55，55，57，57，58，58，58，58，58，59，59，59，60，60，60，60． 两班抽取的学生体测成绩统计表 平均数 众数 中位数 慧学班 57 60 雅行班 57 58 根据以上信息，解答下列问题： （1）图表中的__________，__________，__________； （2）若该校九年级共有800名学生参加本月体测，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数． 【答案】（1）59，58，45 （2）这次体测成绩为满分的学生人数是260人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义即可得出的值，根据众数的定义即可得出的值，先求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数，再求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数所占比例，即可得出的值； （2）分别求出两个班级中满分的人数，再利用800乘以此次体测成绩获得满分的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人）, 慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人）， 慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人， 将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：56，57，57，58，58，58，59，59， 故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为59和59，故中位数； 雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数， 慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人． 24. 如图，已知是的外接圆，为的直径，为边上一点，，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若，的半径为，，求的长． 【答案】（1） 解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径得到，推出，然后结合，得到，然后由切线的性质得到，等量代换证明即可； （2）推出，设，，利用勾股定理求出，，证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴． 25. 打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； （2）为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 【答案】（1） （2）不在观赏区安全范围内 【解析】 【分析】（1）利用顶点式设抛物线方程，代入已知点求出系数； （2）根据平移规律写出新抛物线方程，求出落地点后，算出安全区域距离，与比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点的坐标为， 则抛物线的对称轴为，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入可得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：据（1）可知抛物线的函数表达式为， 根据题意，在升降台上击打铁水形成的抛物线表达式为， 当，则，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故与表演台中心的水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 26. 问题的提出与应用： （1）如图①，已知，求作，使和关于直线对称； （2）如图②，在中，是边的中点，是边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点．若，求的长； （3）如图③是一处四边形观景平台．景区计划在边，上分别选取点位E，F，架设连廊，且满足．为使连廊用料最省，节约建设成本，求连廊长度的最小值． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）作关于的对称点，连接即可． （2）如图，过作交于，证明，可得， 再证明，进一步求解即可． （3）如图，连接交于点，证明，是的垂直平分线，求解，，，，设，过作于，过作于，再建立坐标系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作交于， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接交于点， ∵，， ∴，是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，过作于，过作于，以为原点，为轴，为轴建立坐标系， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时， 的最小值为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省西安市远东第二中学九年级素养练习数学 注意事项； 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. 5 B. C. 13 D. 2. 将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 电磁波在空间中以波的形式移动，在真空中，电磁波的传播速度约为米/秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，垂足为，则图中与互余的角共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 10. 如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 11. 少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形“”组成的有规律的图案，如图，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…依此规律，第26个图案中基础图形的个数为__________． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________． 13. 如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴上，轴，轴，为的中点．若的面积为8，则的值为__________． 14. 点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 17. 解方程：． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，在内部求作一点，使得点到边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，点在边上，，，．求证：． 20. 在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”“夏”“秋”“冬”图案的不透明卡片（分别记为），将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，规定抽到哪个季节的卡片即背诵一首哪个季节的诗词． （1）从这四张卡片中随机抽取一张，抽出的卡片图案是“春”的概率是__________； （2）甲同学从这四张卡片中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，乙同学从中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽出的卡片图案是同一季节的概率． 21. 如图①是渭北革命根据地烈士纪念碑，是陕西省省级重点烈士纪念设施保护单位，被列入陕西省不可移动革命文物名录．小张计划测量纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），测量方案如下：如图②，小张在水平地面上的点处垂直竖立一根高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，发现此时自己的眼睛、标杆顶点和纪念碑的最高点恰好在同一直线上，小张利用无人机在点的正上方的点处测得点的俯角为．已知，点P，F，E在同一直线上，，求纪念碑的通高．（参考数据：） 22. 某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（单位：千米/时）与高架路上每百米车的数量x（单位：辆）的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为38千米/时，求该时刻高架路上每百米车的数量． 23. 中考体考在即，为掌握九年级学生的体育训练成效，某校从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分为60分，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据：56，57，57，58，58，58，59，59． 雅行班20名学生的体测成绩：49，52，54，54，55，55，57，57，58，58，58，58，58，59，59，59，60，60，60，60． 两班抽取的学生体测成绩统计表 平均数 众数 中位数 慧学班 57 60 雅行班 57 58 根据以上信息，解答下列问题： （1）图表中的__________，__________，__________； （2）若该校九年级共有800名学生参加本月体测，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数． 24. 如图，已知是的外接圆，为的直径，为边上一点，，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）若，的半径为，，求的长． 25. 打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； （2）为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 26. 问题的提出与应用： （1）如图①，已知，求作，使和关于直线对称； （2）如图②，在中，是边的中点，是边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点．若，求的长； （3）如图③是一处四边形观景平台．景区计划在边，上分别选取点位E，F，架设连廊，且满足．为使连廊用料最省，节约建设成本，求连廊长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $