期中专题1第一单元《三角形的证明及其应用》培优专项练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

期中专题1第一单元《三角形的证明及其应用》培优专项练习解析版 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，与AC交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF，交AC于点G．则（　　） A．BF⊥AC B．AG＝CG C．AD＝EC D．BF平分∠ABC 【分析】根据尺规作图得到BF⊥AC，判断即可． 【解答】解：由尺规作图可知：BF⊥AC，而AG与CG、AD与EC的关系不确定，BF不一定平分∠ABC， 故选：A． 【点评】本题考查的是尺规作图，正确理解垂线的作法是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．PC＝PQ B．AC＝AQ C．AP＝BP D．∠BPQ＝∠BAC 【分析】根据作图得出PQ⊥AB，AP平分∠BAC，根据角平分线性质得出PC＝PQ，证明Rt△APQ≌Rt△APC（HL），得出AC＝AQ，根据补角性质得出∠BPQ＝∠BAC，根据题干信息无法证明AP＝BP，即可得出答案． 【解答】解：根据作图可知：PQ⊥AB，AP平分∠BAC， ∵∠ACB＝90°， ∴PC＝PQ，故A一定正确，不符合题意； ∵AP＝AP， ∴Rt△APQ≌Rt△APC（HL）， ∴AC＝AQ，故B一定正确，不符合题意； ∵PQ⊥AB， ∴∠AQP＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠CPQ＝360°﹣∠AQP﹣∠ACB＝180°， ∵∠BPQ+∠CPQ＝180°， ∴∠BPQ＝∠BAC，故D一定正确，不符合题意； ∵PQ垂直AB，但不一定平分AB， ∴AP＝BP不一定正确，故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了尺规作垂线，作角平分线，角平分线性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和，补角性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当该等腰三角形的腰长为3时，则底边为7， 此时该等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵3+3＜7，不满足构成三角形的条件， ∴此种情况不存在； ②当该等腰三角形的腰长为7时，则底边为3， 此时该等腰三角形的三边长为：7，7，3， ∵3+7＞7，满足构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：7+7+3＝17． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，过点A作BD的垂线，交BD的延长线于E，交BC的延长线于F，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理求得AB＝10，再证明△ABE≌△FBE（ASA）得到FB＝AB＝10，则CF＝2，在Rt△ACF中，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵过点A作BD的垂线，交BD的延长线于E，交BC的延长线于F， ∴BE⊥AF，则∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴FB＝AB＝10，则CF＝BF﹣BC＝10﹣8＝2， 在Rt△ACF中，， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧交点，过这两个交点的直线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠CBE的大小为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】由作图过程可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，可得AE＝BE，则∠ABE＝∠A＝20°，由题意得∠ABC＝70°，则可得∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝50°． 【解答】解：如图， 由作图过程可知，直线DE为线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝20°， ∵∠C＝90°，∠A＝20°， ∴∠ABC＝70°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝50°． 故选：D． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 6．一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的内角和为（　　） A．180° B．360° C．720° D．1080° 【分析】利用多边形外角和为360°求出多边形的边数，再根据n边形内角和公式计算内角和，即可选出正确选项． 【解答】解：根据题意可知，这个多边形的边数为：， 又∵n边形的内角和为：（n﹣2）×180°， ∴这个多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°． 故选：C． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形内角与外角的计算方法是关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB，AC相交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；作射线AO交BC于点D．分别以D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ分别与AC，BC，AO相交于点G，E，F．下列说法不正确的是（　　） A．AG＝FG B．∠AGF＝150° C．DG⊥AF D． 【分析】求出∠BAC＝60°，由作图得，AD平分∠BAC，求出，然后得到PQ垂直平分DC，求出∠DFE＝30°＝∠CAD，即可判断A；然后利用三角形内角和定理求出∠AGF即可判断B；求出∠AGD＝∠AGF﹣∠DGF＝60°＝∠DGF，利用三线合一即可判断C；得到AD＝2BD，然后利用勾股定理求解即可判断D． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°， 由作图得，AD平分∠BAC， ∴， ∴∠CDF＝∠ADB＝60°， 由作图得，PQ垂直平分DC， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DFE＝30°＝∠CAD， ∴AG＝FG，故A正确； ∴∠AGF＝180°﹣∠CAD﹣∠DFE＝120°，故B错误； ∵PQ垂直平分DC， ∴GD＝GC， ∴∠GDC＝∠C＝30°， ∴∠DGE＝60°， ∴∠AGD＝∠AGF﹣∠DGF＝60°＝∠DGF， ∵AG＝FG， ∴DG⊥AF，故C正确； ∵∠ACB＝30°，AB＝2． ∴AD＝2BD，AB2+BD2＝AD2， ∴22+BD2＝（2BD）2， ∴，故D正确， 故选：B． 【点评】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．如图，∠MON＝40°，点P在射线OM上，以点P为圆心，PO长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【分析】连接BP，BC，由作图过程可知，PA＝PB＝OP，AC＝BC＝AB，可得∠OBP＝∠MON＝40°，∠BAP＝∠ABP，∠BAC＝60°，则∠APB＝∠OBP+∠MON＝80°，可得∠BAP＝50°，进而可得∠OAC＝∠BAP+∠BAC＝110°． 【解答】解：如图，连接BP，BC， 由作图过程可知，PA＝PB＝OP，AC＝BC＝AB， ∴∠OBP＝∠MON＝40°，∠BAP＝∠ABP，△ABC为等边三角形， ∴∠APB＝∠OBP+∠MON＝80°，∠BAC＝60°， ∴∠BAP＝50°， ∴∠OAC＝∠BAP+∠BAC＝110°． 故选：C． 【点评】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G在射线FD上，且EG＝EF，若∠AEF＝65°，则∠FEG＝（　　） A．35° B．50° C．65° D．70° 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得∠EFG的度数，再根据等边对等角可得∠EGF的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得∠FEG的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠AEF＝65°， ∴∠EFG＝∠AEF＝65°（两直线平行，内错角相等）， ∵EG＝EF， ∴∠EGF＝∠EFG＝65°， ∴∠FEG＝180°﹣∠EGF﹣∠EFG＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 10．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°+∠ABD； ③∠CAB＝∠CBA；④∠ADB+∠ABC＝90°，其中正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠BAC＝∠BDC，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求∠ECD＝90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得AD为△ABC外角∠MAC的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明∠ADB＝∠ACE，再利用平行线的性质可得结论④． 【解答】解：∵CD平分∠ACF，∠ACF＝∠ABC+∠BAC， ∴∠ACD＝∠DCF∠ACF∠ABC∠BAC． ∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC∠ABC+∠BDC， ∴∠BAC＝∠BDC，即∠BAC＝2∠BDC，①错误； ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE∠ACB， ∵∠ACB+∠ACF＝180°， ∴∠ACE+∠ACD＝90°，即∠ECD＝90°， ∴∠BEC＝∠ECD+∠CDB＝90°+∠CDB， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴∠BEC＝90°+∠ABD，故②正确； ∵BD平分∠CBA， ∴∠CBA＝2∠ABD＝2∠CDB， ∵∠BAC＝2∠BDC， ∴∠CAB＝∠CBA，故③正确； ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF， ∴AD为△ABC外角∠MAC的平分线， ∴∠MAC＝2∠MAD， ∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，∠MAD＝∠ABD+∠ADB，∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ACB＝2∠ADB， ∴∠ADB＝∠ACE， ∵CD∥AB， ∴∠ABC＝∠DCF＝∠ACD， ∵∠ACE+∠ACD＝90°， ∴∠ADB+∠ABC＝90°，故④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的边数为　6　 ． 【分析】根据多边形的外角和定理，即可求解． 【解答】解：根据多边形的外角和定理可知： 多边形的外角和等于360°，每个外角为60°， ∴边数n＝360°÷60°＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了多边形外角和定理，熟练掌握该知识点是关键． 12．在平面直角坐标系中，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，已知点A的坐标是（﹣1，1）、点B的坐标是（2，5），那么点P的坐标是　　 ． 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，设出点P坐标，结合两点间距离公式列方程求解． 【解答】解：∵点P在x轴上， ∴设P（x，0）， ∵线段AB的垂直平分线交x轴于点P，点A的坐标是（﹣1，1）、点B的坐标是（2，5）， ∴PA＝PB， ∴（x+1）2+（0﹣1）2＝（x﹣2）2+（0﹣5）2， 解得， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，坐标与图形性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝5，D，E分别是AC，AB上的动点，且DC＝AE，则DE的最小值为　　 ． 【分析】建立平面直角坐标系，设DC＝AE＝x，写出D和E的坐标，利用两点间距离公式得到DE长度的平方关于x的二次函数，求二次函数最小值，开方后即可得到DE的最小值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°AB＝5， ∴， BC． ∴C（0，0），A（0，），B（，0）， 设AE＝DC＝x（0）， 则：D在AC上，坐标为（0，x）； E在AB上，根据AB的方向，可得E坐标为（，）． 利用二次函数求最小值根据两点间距离公式： DE2＝（（3x2﹣5x， 这是开口向上的二次函数，顶点处取得最小值，顶点横坐标x， 代入得DE2的最小值为， 因此DE的最小值为． 故答案为：． 【点评】题目考查了含30°角的直角三角形，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 14．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是边BC上的高，如果∠B＝65°，∠C＝35°，那么∠DAE的度数为　15　 °． 【分析】先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAD，∠BAE的度数，最后根据∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE计算即可． 【解答】解：∵∠B＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝25°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°． 故答案为：15． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 15．如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 　50　 °． 【分析】设∠PBD＝α，表示出∠BDE＝6α，于是∠P＝5α，由∠Q＝45°可推出∠BAC+∠ACD＝90°，根据∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD求得α的值，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 设PD的延长线交BC于E， 设∠PBD＝α，则∠ABP＝2α， ∴∠ABD＝∠ABP+∠PBD＝3α， ∴∠BDC＝4∠ABD＝12α， ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE6α， ∴∠P＝∠BDE﹣∠PBD＝6α﹣α＝5α， 在△ACQ中， ∠QAC+∠ACQ＝180°﹣∠Q＝135°， ∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG， ∴∠FAC＝2∠QAC，∠ACG＝2∠ACQ， ∴∠FAC+∠ACG＝2（∠QAC+∠ACQ）＝270°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°﹣∠FAC+180°﹣∠ACG＝90°， ∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD， ∴12α＝3α+90°， ∴α＝10°， ∴∠P＝5α＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系． 三．解答题（共9小题） 16．如图，射线AM在△ABC外，∠MAC＝∠BAC． （1）在射线AM上截取AD＝AB，连接CD；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：△ADC≌△ABC； 【分析】（1）根据题意，在射线AM上截取AD＝AB，连接CD即可； （2）利用全等三角形的判定方法结合SAS得出答案． 【解答】（1）解：根据题意在射线AM上截取AD＝AB，连接CD，作图如图， ； （2）证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确画出图形是解题关键． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE． （1）证明：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 【分析】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，进而得∠EAB＝∠B，然后再根据三角形的外角定理可得出结论； （2）先求出∠B＝30°，再由（1）的结论得∠AEC＝2∠B＝60°，然后在Rt△ACE中求出∠CAE＝30°，进而得AE＝2CE＝6，最后根据线段垂直平分线的性质可得出答案． 【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°， 由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°， 在Rt△ACE中，∠AEC＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴AE＝2CE＝6， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝6． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解线段垂直平分线是的点到线段两端的距离相等；直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 18．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）证明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠B＝40°，∠F＝25°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，射线AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若过点B作BM⊥AG于点M，请猜想∠DCH和∠MBP的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAG＝∠AGB，再结合角平分线的定义，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得∠BGA＝70°，从而得到∠CGF＝180°﹣∠AGB＝110°，再结合三角形内角和定理可得∠FCG＝45°，然后根据∠BCD＝90°，即可求证； （3）设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，然后分两种情况：若点P在线段AG上；若点P在线段AG的延长线上，结合三角形内角和定理以及平行线的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AGB， ∵AG是∠BAD的平分线， ∴∠DAG＝∠BAG， ∴∠BAG＝∠BGA； （2）证明：∵∠B＝40°，∠BAG＝∠BGA， ∴， ∴∠CGF＝180°﹣∠AGB＝110°， ∵∠F＝25°，∠F+∠CGF+∠FCG＝180°， ∴∠FCG＝180°﹣（∠F+∠CGF）＝180°﹣（25°+110°）＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠FCD＝∠BCD﹣∠FCG＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FCD＝∠FCG， 即CF平分∠BCD． （3）解：∠DCH＝2∠MBP或∠MBP＝2∠DCH，理由如下： ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴可设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x， 若点P在线段AG上，如图， ∴∠ABG＝∠ABP+∠PBG＝4x， ∵∠BAG＝∠BGA， ∴， ∵CH∥AG， ∴∠BCH＝∠BGA＝90°﹣2x， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠BCD﹣∠BCH＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∵BM⊥AG，即∠BMG＝90°， ∴∠GBM＝90°﹣∠BGM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠PBM＝∠GBM﹣∠PBG＝2x﹣x＝x， ∴∠DCH＝2∠MBP； 若点P在线段AG延长线上，如图， ∴∠ABG＝∠ABP﹣∠PBG＝2x， ∵∠BAG＝∠BGA， ∴， ∵CH∥AG， ∴∠BCH＝∠BGA＝90°﹣x， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠BCD﹣∠BCH＝90°﹣（90°﹣x）＝x， ∵BM⊥AG，即∠BMG＝90°， ∴∠GBM＝90°﹣∠BGM＝90°﹣（90°﹣x）＝x， ∴∠PBM＝∠GBM+∠PBG＝x+x＝2x， ∴∠MBP＝2∠DCH； 综上所述，∠DCH和∠MBP的数量关系为∠DCH＝2∠MBP或∠MBP＝2∠DCH． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 19．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上，且AE＝EC＝CD，连接DE并延长交AB于点F． （1）求证：DF⊥AB； （2）若EF＝2，求DF的长． 【分析】（1）先根据等边三角形的性质，得出∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据三角形外角的性质求出∠D＝∠CED＝30°，再根据三角形内角和定理及垂直的定义求证即可； （2）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE的长，再证出DE＝BE，即可求出DF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接BE， ∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AE＝EC， ∴BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE＝30°， ∵EC＝CD， ∴∠D＝∠CED， ∵∠ACD是△CDE的一个外角， ∴∠ACD＝∠D+∠CED， ∴∠D＝∠CED＝30°， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABC﹣∠D＝90°， ∴DF⊥AB； （2）解：∵∠BFD＝90°，∠ABE＝30°，EF＝2， ∴BE＝2EF＝4， ∵∠CBE＝∠D＝30°， ∴DE＝BE＝4， ∴DF＝EF+DE＝6． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 20．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图①，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠EAN＝　44　 °； （2）如图①，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；如图②，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式； （4）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN的度数与∠B，∠C的关系． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质结合整体思想进行计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质结合整体思想及分类讨论的数学思想即可解决问题； （4）根据上面的解题过程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠B＝32°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣32°﹣36°＝112°，∠BAE+∠NAC＝32°+36°＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：44； （2）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝112°， ∴∠B+∠C＝180°﹣112°＝68°， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°； 同理可得，当∠BAC＝82°时， ∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°， ∴∠EAN＝（∠BAE+∠NAC）﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°； （3）当0°＜α＜90°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAE+∠NAC﹣∠BAC＝180°﹣2α． 当90°＜α＜180°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°． （4）由上述过程可知， 当0°＜∠BAC＜90°时，∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°； 当90°＜∠BAC＜180°时，∠EAN＝2∠BAC﹣180°＝2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2（∠B+∠C）． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及角的计算，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21．对于平面内的∠N和∠M，若存在一个常数k＞1，使得∠N+k∠M＝360°，则称∠N为∠M的“k倍补充周角”．如若∠N＝90°，∠M＝45°，则∠N为∠M的“6倍补充周角”． （1）若∠M＝120°，则∠M的“倍补充周角”的度数为　40°　 ； （2）如图，在平面内AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．连接PE，PF． ①点E、F分别在线段AB、CD上（如图1）．若点P在直线AB上方，先探究∠PEA，∠EPF，∠PFC这三个角的数量关系．再求当∠EPF是∠PEA的“7倍补充周角”且∠PFC＝60°时，∠EPF的度数． ②如图，若点P为平行线AB、CD之间一动点，连接EF，∠EFP和∠FEP的角平分线交于点Q．若∠AEP＝m°，∠CFP＝n°，∠Q是∠G的“4倍补充周角”，求∠G的度数（用含m和n的代数式表示）． 【分析】（1）根据“倍补充周角”的定义求解即可； （2）①根据平行线的性质与判定求出三个角之间的关系，再根据“7倍补充周角”的定义求出∠EPF的度数即可； ②分点P在EF左侧和点P在EF右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【解答】解：（1）设∠M的“倍补充周角”的为∠N， 由题意得， 解得∠N＝40°， ∴∠M的“倍补充周角”的度数为40°； 故答案为：40°； （2）①过点P作GH∥AB， ∵∠EPF是∠PEA的“7倍补充周角”， ∴∠EPF+7∠PEA＝360°， 如图， 由条件可知GH∥AB∥CD， ∴∠GPF+∠PFC＝180°，∠GPE+∠PEA＝180°， ∴∠EPF＝∠GPE﹣∠GPF＝180°﹣∠PEA﹣（180°﹣∠PFC）， ∴∠EPF+∠PEA＝∠PFC； ∵∠PFC＝60°， ∴∠PEA+∠EPF＝60°， 又∵∠EPF+7∠PEA＝360°， ∴∠EPF＝10°； ②如图，当点P在EF左侧时，过点P作PT∥AB， 由条件可知CD∥AB∥PT， ∴∠EPT＝∠AEP＝m°，∠FPT＝∠CFP＝n°， ∴∠EPF＝∠EPT+∠FPT＝m°+n°， ∴∠PEF+∠PFE＝180°﹣∠EPF＝180°﹣m°﹣n°； ∵∠EFP和∠FEP的角平分线交于点Q， ∴， ∴， ∴， 由条件可知∠Q+4∠G＝360°， ∴， ∴； 如图，当点P在EF右侧时，过点P作PT∥AB， 由条件可知CD∥AB∥PT， ∴∠EPT＝180°∠AEP＝180°﹣m°，∠FPT＝180°﹣∠CFP＝180°﹣n°， ∴∠EPF＝∠EPT+∠FPT＝360°﹣m°﹣n°， ∴∠PEF+∠PFE＝180°﹣∠EPF＝m°+n°﹣180°； 由条件可知， ∴， ∴， 由条件可知∠Q+4∠G＝360°， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 22．数学课上，同学们用△ABC和两条平行线展开探究，如图，a∥b，∠BAC＜∠BCA． （1）若∠ABC＝90° ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），∠CFG＝60°，求∠BDE的度数； ②如图2，点B落在a上，作∠CBG的平分线并反向延长交∠BDF的平分线于点H，求∠H的度数； （2）如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线AB、CB，分别交a于点D、E，P是AB边上的一点，连结EP，CE恰好平分∠DEP，Q是射线BC上的一点，连结AQ，若∠BAQ＝2∠CAQ，设∠EPA＝α，∠CEP＝β，∠AQE＝γ，直接写出α、β、γ之间的数量关系． 【分析】（1）①过点B作BI∥a，根据平行线的性质得到∠CFG＝∠CBI＝60°，∠IBA+∠BDE＝180°，再由∠ABC＝90°即可求解；②过点H作HN∥a，设∠CBM＝x°，则∠CBM＝∠MBG＝∠PBH＝x°，∠GBA＝90°﹣2x°，，根据平行线的性质得到∠MHN＝∠PBH＝x°，∠HDF＝∠NHD＝45°﹣x°，即可求解； （2）过点Q作QX∥a，过点P作PY∥a，由角平分线的定义得∠CEP＝∠CED＝β，∠DEP＝2β，由平行线的性质得∠EQX＝∠CED＝β，∠XQA＝∠CAQ＝γ﹣β，∠DAC＝∠YPA＝3γ﹣3β，∠DEP＝∠EPY＝2β，即可求出α、β、γ之间的数量关系． 【解答】解：（1）解：①如图，过点B作BI∥a， ∴∠CFG＝∠CBI＝60°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠IBA＝90°﹣60°＝30°． ∵BI∥a，a∥b， ∴BI∥b． ∴∠IBA+∠BDE＝180°， ∴∠BDA＝180°﹣30°＝150°． ②如图2，过点H作HN∥a， 设∠CBM＝x°， ∵BH平分∠CBG， ∴∠CBG＝2x°，∠CBM＝∠MBG＝∠PBH＝x°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠GBA＝90°﹣∠CBG＝90°﹣2x°． ∵DH平分∠BDF， ∴． ∵HN∥a，a∥b， ∴HN∥a∥b． ∴∠HDF＝∠NHD＝45°﹣x°，∠MHN＝∠PBH＝x°， ∴∠BHD＝∠MHN+∠NHD＝x°+45°﹣x°＝45°． （2）解：如图3，过点Q作QX∥a，过点P作PY∥a， ∵CE平分∠DEP， ∴∠DEP＝2β，∠CEP＝∠CED＝β， ∵QX∥a， ∴∠EQX＝∠CED＝β． ∴∠XQA＝∠AQE﹣EQX＝γ﹣β． ∵QX∥a，a∥b， ∴QX∥b． ∴∠XQA＝∠CAQ＝γ﹣β． ∵∠BAQ＝2∠CAQ， ∴∠DAC＝3∠CAQ＝3γ﹣3β． ∵a∥b，PY∥a， ∴PY∥a∥b． ∴∠DEP＝∠EPY＝2β，∠DAC＝∠YPA＝3γ﹣3β， ∴∠EPA＝∠EPY+∠YPA＝2β+3γ﹣3β＝α． ∴3γ﹣β＝α． ∴α+β＝3γ． 【点评】本题考查了平行线性质、三角形内角和定理、角平分线定义，熟练掌握以上知识点是关键． 23．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 【分析】（1）根据S△ABC＝S△ABM+S△AMC即可求出答案； （2）h1﹣h2＝h； （3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点M在BC边上时，②当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在； 【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD， ∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC， S△ABMAB×MEAB×h1， S△AMCAC×MFAC×h2， 又∵S△ABCAC×BDAC×h，AB＝AC， ∴AC×hAB×h1AC×h2， ∴h1+h2＝h． （2）解：如图所示： h1﹣h2＝h． （3）解：在yx+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4， 所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）． AB5，AC＝5，所以AB＝AC， 即△ABC为等腰三角形． ①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：My＝OB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：MyOB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在； 综上所述：点M的坐标为M（，）或（，）． 【点评】（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果． 24．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC∠A． 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴∠OCD（∠A+∠ABC）∠A∠ABC∠A+∠OBC， 又∵∠OCD是△BOC的一个外角， ∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC∠A+∠OBC﹣∠OBC∠A； （2）探究3：结论∠BOC＝90°∠A． 根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC∠DBC，∠OCB∠BCE， ∴∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠BCE）（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A； （3）拓展：结论∠BOC（∠A+∠D）． 在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D）， ∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠BCD）（360°﹣∠A﹣∠D）， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（360°﹣∠A﹣∠D）（∠A+∠D）， 即∠BOC（∠A+∠D）． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中专题1第一单元《三角形的证明及其应用》培优专项练习原卷版 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，与AC交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF，交AC于点G．则（　　） A．BF⊥AC B．AG＝CG C．AD＝EC D．BF平分∠ABC 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．PC＝PQ B．AC＝AQ C．AP＝BP D．∠BPQ＝∠BAC 3．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，过点A作BD的垂线，交BD的延长线于E，交BC的延长线于F，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧交点，过这两个交点的直线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠CBE的大小为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 6．一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的内角和为（　　） A．180° B．360° C．720° D．1080° 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB，AC相交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；作射线AO交BC于点D．分别以D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ分别与AC，BC，AO相交于点G，E，F．下列说法不正确的是（　　） A．AG＝FG B．∠AGF＝150° C．DG⊥AF D． 8．如图，∠MON＝40°，点P在射线OM上，以点P为圆心，PO长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 9．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G在射线FD上，且EG＝EF，若∠AEF＝65°，则∠FEG＝（　　） A．35° B．50° C．65° D．70° 10．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°+∠ABD； ③∠CAB＝∠CBA；④∠ADB+∠ABC＝90°，其中正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 11．一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的边数为　 　 ． 12．在平面直角坐标系中，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，已知点A的坐标是（﹣1，1）、点B的坐标是（2，5），那么点P的坐标是　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝5，D，E分别是AC，AB上的动点，且DC＝AE，则DE的最小值为　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是边BC上的高，如果∠B＝65°，∠C＝35°，那么∠DAE的度数为　 　 °． 15．如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 　 　 °． 第13题图 第14题图 第15题图 三．解答题（共9小题） 16．如图，射线AM在△ABC外，∠MAC＝∠BAC． （1）在射线AM上截取AD＝AB，连接CD；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：△ADC≌△ABC； 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE． （1）证明：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 18．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）证明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠B＝40°，∠F＝25°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，射线AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若过点B作BM⊥AG于点M，请猜想∠DCH和∠MBP的数量关系，并说明理由． 19．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上，且AE＝EC＝CD，连接DE并延长交AB于点F． （1）求证：DF⊥AB； （2）若EF＝2，求DF的长． 20．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图①，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠EAN＝　 　 °； （2）如图①，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；如图②，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式； （4）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN的度数与∠B，∠C的关系． 21．对于平面内的∠N和∠M，若存在一个常数k＞1，使得∠N+k∠M＝360°，则称∠N为∠M的“k倍补充周角”．如若∠N＝90°，∠M＝45°，则∠N为∠M的“6倍补充周角”． （1）若∠M＝120°，则∠M的“倍补充周角”的度数为　 　 ； （2）如图，在平面内AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．连接PE，PF． ①点E、F分别在线段AB、CD上（如图1）．若点P在直线AB上方，先探究∠PEA，∠EPF，∠PFC这三个角的数量关系．再求当∠EPF是∠PEA的“7倍补充周角”且∠PFC＝60°时，∠EPF的度数． ②如图，若点P为平行线AB、CD之间一动点，连接EF，∠EFP和∠FEP的角平分线交于点Q．若∠AEP＝m°，∠CFP＝n°，∠Q是∠G的“4倍补充周角”，求∠G的度数（用含m和n的代数式表示）． 22．数学课上，同学们用△ABC和两条平行线展开探究，如图，a∥b，∠BAC＜∠BCA． （1）若∠ABC＝90° ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），∠CFG＝60°，求∠BDE的度数； ②如图2，点B落在a上，作∠CBG的平分线并反向延长交∠BDF的平分线于点H，求∠H的度数； （2）如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线AB、CB，分别交a于点D、E，P是AB边上的一点，连结EP，CE恰好平分∠DEP，Q是射线BC上的一点，连结AQ，若∠BAQ＝2∠CAQ，设∠EPA＝α，∠CEP＝β，∠AQE＝γ，直接写出α、β、γ之间的数量关系． 23．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 24．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $