精品解析：河北保定市高新区2025-2026学年下学期期中学业质量检测八年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学（GX） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题；1—12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的取值范围，根据天平的图片得到的取值范围，在数轴上表示的取值，问题得解． 【详解】解：由图可知，， ∴的取值范围在数轴上表示如图： 故选：A． 3. 若等腰三角形周长为，其中一边长为，则该等腰三角形底边长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，分的边为腰和底两种情况讨论，再根据构成三角形的条件取舍即可解答． 【详解】解：当的边为腰时，等腰三角形的周长为，则底边长为 ，不能构成三角形； 当的边为底时，等腰三角形的周长为10cm，则腰长为， ，能构成三角形． 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件等知识点，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 4. 如图，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，是旋转角，据此解答即可． 【详解】解：将绕点A按逆时针旋转得到， 此时点B与点对应，点C与点对应， 则旋转角． 5. 根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形三边距离相等的点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点的是角平分线的交点，由基本作图得到选项D作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形三边距离相等的点． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质解答即可． 【详解】解：将点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为：，即， 则点A的坐标是． 7. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 两边分别相等的两个直角三角形全等 D. 用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的正确性，涉及了平行线的性质、逆命题及其判断、全等三角形的判定、反证法，根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； B、“若，则”的逆命题是“若，则”，不是真命题，比如：，但，故原说法错误，不符合题意； C、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原说法错误，不符合题意； D、用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”，故原说法正确，符合题意， 故选：D． 9. 下列说法不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意； B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意； C．当c=0时，若，则不等式不成立，符合题意； D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意 故选C． 10. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 11. 取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表： x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（ ） ①； ②当时； ③； ④不等式的解集是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 故选：C 12. 如图，在边长为的等边中，为边的中点，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，可证明，当时，有最小值，再由即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图： 由题意可得：，是的中点， ∵为等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴点的轨迹为直线， ∴当时，有最小值， 此时， ∵是的中点， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了图形的旋转，熟练掌握等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定即性质是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得：． 14. 若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得． 15. 若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 16. 对于三个数a、b、c的最小的数可以给出符号来表示，我们规定min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，例如：min{0，﹣2，3}＝﹣2，min{1，﹣2，﹣2}＝﹣2．若min{3x+4，2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是 ___． 【答案】−≤x≤1 【解析】 【分析】三个数3x+4，2，4﹣2x中最小的数是2，由此联立不等式组求得答案即可． 【详解】解：根据题意得；， 解得−≤x≤1， 故答案为−≤x≤1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题的关键是弄清新定义运算的法则． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列不等式 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，……第一步 ，…………………第二步 ，………………第三步 ……………………………第四步 …………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二： （3）请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）乘法分配律（或去括号法则） （2）第三步开始出现错误；移项时，从左边移到右边没有变号 （3） 【解析】 【分析】根据有理数乘法运算律、不等式的性质、解不等式的步骤进行解答即可． 【小问1详解】 解：以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（或去括号法则）进行变形的； 【小问2详解】 解：以上解题过程中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是从左边移到右边没有变号； 【小问3详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解． 【答案】， 把不等式组的解集在数轴上表示为： 整数解为：，0，1 【解析】 【分析】先分别解每个不等式，再确定不等式组的解集，并在数轴上表示出来，最后结合数轴找到整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 整数解为：，0，1． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是结合数轴得到不等式组的整数解． 19. 【新情境】 图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示的仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上，沿AF画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由 （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 由题意，，， ∵点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）12 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，角平分线的性质，是解题的关键： （1）证明，得到，即可； （2）根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：是的平分线， ∴点到的距离相等， ∵， ∴点到的距离均为的长， ∵，， ∴的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ； （2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形，并直接写出的坐标 ； （3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1） 即为所求；， （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图一旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图, 连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的， ∵点的坐标为， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 21. 如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF． （1）求证：是等腰三角形； （2）当＝ 度时，是等边三角形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 当度时，是等边三角形 ∵， ∴， ∴， 由（1）知是等腰三角形， ∴是等边三角形． 故答案为：． 【解析】 【分析】（1）由，得到，由垂直的定义得到，，由余角的性质得到，即可证明问题； （2）由垂直的定义得到，由（1）知是等腰三角形，于是证明是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，余角的性质，关键是由余角的性质证明． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值； x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中， ； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ； 当时，y随x的增大而 ； （4）进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②直接写出不等式的解集： ． 【答案】（1）3 （2） 解：函数的图象如下： （3）；减小 （4）①或；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）将代入函数求解即可； （2）根据表格中的数据，描点画出函数图象； （3）根据函数图象解答即可； （4）利用图象求解即可． 【小问1详解】 解：令得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）中图象可知，该函数图象的最低点坐标是， 当时，y随x的增大而减小； 【小问4详解】 解：①由图象可知，不等式的解集为或； ②不等式移项得：， 由图象可知，该不等式的解集为． 23. 电影长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史，71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，一路追杀，奋勇杀敌，扭转战场态势，打出军威国威，某中学为了培养学生的爱国主义情怀，组织师生共60人进行观影活动，电影票的价格如下表所示（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）． 会员价/（元/张） 普通票价 成人票价/（元/张） 学生票价/（元/张） 45 80 60 若师生均购买普通票，则共需3800元， （1）求参加观影活动的教师和学生分别有多少人？ （2）由于部分学生有会员卡（会员卡仅限本人使用），所以有会员卡的学生享受会员价，设有会员卡的学生有x人，购买电影票的全部费用为W元． ①若购买电影票的全部费用不超过3600元，则有会员卡的学生至少有多少人？ ②若有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，求W的最小值． 【答案】（1）参加观影活动的教师有10人，学生有50人； （2）①14，②3305． 【解析】 【分析】（1）设参加观影活动的教师有m人，学生有n人，利用总价＝单价×数量，结合师生60人购买普通票共花费3800元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价＝单价×数量，即可得出W关于x的函数关系式． ①由购买电影票的全部费用不超过3600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论； ②由有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出x的最大值，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设参加观影活动的教师有m人，学生有n人， 依题意得： ， 解得：． 答：参加观影活动的教师有10人，学生有50人． 【小问2详解】 解：设有会员卡的学生有x人，则购买普通票的学生有（50﹣x）人， ∴W＝80×10+45x+60（50﹣x）＝﹣15x+3800． ①依题意得：﹣15x+3800≤3600， 解得：x≥ ， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为14． 答：有会员卡的学生至少有14人． ②依题意得：x≤2（50﹣x）， 解得：x≤ ， ∵x为正整数， ∴x的最大值为33． ∵﹣15＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x＝33时，W取得最小值，最小值＝﹣15×33+3800＝3305． 答：W的最小值为3305． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式． 24. 综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】 王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度． （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】 （3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）证明，可以得到，，根据，即可得到； （2）由（1），，根据等边三角形性质求出，，进而求出，根据勾股定理即可求出； （3））连接， 证明得到，，进而得到，根据勾股定理得到，即可得到． 【详解】解：（1）如图1， 与均为等边三角形 ，， 又， ， 在与中， ， ， ，， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理可得； （3）．理由如下： 如图③，连接， ，，； ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学（GX） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题；1—12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形周长为，其中一边长为，则该等腰三角形底边长为（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形三边距离相等的点的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 两边分别相等的两个直角三角形全等 D. 用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角” 9. 下列说法不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 11. 取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表： x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（ ） ①； ②当时； ③； ④不等式的解集是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在边长为的等边中，为边的中点，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，中，，，，则______． 14. 若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 15. 若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 16. 对于三个数a、b、c的最小的数可以给出符号来表示，我们规定min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，例如：min{0，﹣2，3}＝﹣2，min{1，﹣2，﹣2}＝﹣2．若min{3x+4，2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是 ___． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列不等式 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，……第一步 ，…………………第二步 ，………………第三步 ……………………………第四步 …………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二： （3）请直接写出该不等式的正确解集． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解． 19. 【新情境】 图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示的仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上，沿AF画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由 （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ； （2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形，并直接写出的坐标 ； （3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 21. 如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF． （1）求证：是等腰三角形； （2）当＝ 度时，是等边三角形？请证明你的结论． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值； x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中， ； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ； 当时，y随x的增大而 ； （4）进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②直接写出不等式的解集： ． 23. 电影长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史，71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，一路追杀，奋勇杀敌，扭转战场态势，打出军威国威，某中学为了培养学生的爱国主义情怀，组织师生共60人进行观影活动，电影票的价格如下表所示（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）． 会员价/（元/张） 普通票价 成人票价/（元/张） 学生票价/（元/张） 45 80 60 若师生均购买普通票，则共需3800元， （1）求参加观影活动的教师和学生分别有多少人？ （2）由于部分学生有会员卡（会员卡仅限本人使用），所以有会员卡的学生享受会员价，设有会员卡的学生有x人，购买电影票的全部费用为W元． ①若购买电影票的全部费用不超过3600元，则有会员卡的学生至少有多少人？ ②若有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，求W的最小值． 24. 综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】 王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度． （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】 （3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $