2025-2026学年人教版数学七年级下册期中全优突破卷

**基本信息** 初中数学期中全优突破卷，涵盖相交线与平行线、坐标系、方程组、不等式等单元，以现实情境（如共享单车、超市利润）和梯度问题设计，体现抽象能力、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、内错角、坐标系点性质、不等式性质|结合生活情境（如第6题共享单车平行判定）| |填空题|6/18|不等式求解、坐标系坐标、方程组换元法|注重概念辨析（如第15题不等式解集与系数关系）| |综合题|9/72|平行线证明、方程组错解、利润计算、角关系探究|分层设计（如第25题从证明到规律探究），强调推理与应用（如第24题超市利润应用题）|

期中全优突破卷 数 学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列现象是平移的是（　　） A．闹钟的钟摆的运动 B．电梯从底楼上升到顶楼 C．碟片在光驱中运行 D．卫星绕地球运动 2．如图，在所标识的角中，内错角是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列说法中，正确的是（　　） A．点P（3，2）到x轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点（2，－3）和点（－3，2）表示同一个点 C．若y＝0，则点M（x，y）在y轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 4．已知a＜b，则一定有﹣2a□﹣2b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 5． 如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝55°，则∠EFG的度数是（　　） A．130° B．140° C．145° D．155° 6．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，与平行． A．54 B．64 C．74 D．116 7．“迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 8．下列命题是假命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．垂线段最短 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 9．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点A出发按的规律每秒1个单位长度爬行，则2023秒时蚂蚁所在的位置是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．要使代数式2x﹣6的值不大于5x﹣3的值，则x的取值范围是　 　． 12．如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若B、C两点的坐标分别是，，则A点的坐标为　 　． 13．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n的二元一次方程组 的解为 　 　． 14．比较大小：　 　．（填“>”或“<”或“=”） 15．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 　 　． 16．如图，是的平分线，直线．若，则的大小为　 　度． 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得． （1）求的算术平方根； （2）求原方程组的解． 18．有一块面积为的正方形纸片． （1）此正方形的边长约为　 　；（精确到十分位，参考数据：，） （2）小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他的这一想法能实现吗？为什么？ 19．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中，，，． （1）求证：； （2）若三角板不动，绕顶点C逆时针转动三角板（不超过一周），当时，求的度数． 20．如图，已知有四条直线：直线a，直线b，直线m，直线n．若直线，直线． （1）判断直线a与直线b的位置关系，并证明；（推理过程请注明理由） （2）若，求的度数 21．如图，在中，点D在上，，，垂足分别为E，F． （1）请判定与平行吗？并说明理由； （2）如果，且，求的度数． 22．如图，△ABC 在直角坐标系中， （1）请写出△ABC各点的坐标； （2）求出△ABC的面积； 23．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°． （1）求证：∠ABC＝∠ADC； （2）求∠CDE的度数． 24．某超市投入1380元资金购进甲、乙两种矿泉水共50箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示： 类别/单价 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 24 36 乙 33 48 （1）该超市购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）全部售完50箱矿泉水，该超市共获得利润多少元？ 25．如图 （1）如图①，，，求证：． （2）如图②，，直接写出，，，，之间的数量关系． 期中全优突破卷 数 学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列现象是平移的是（　　） A．闹钟的钟摆的运动 B．电梯从底楼上升到顶楼 C．碟片在光驱中运行 D．卫星绕地球运动 【答案】B 【解析】【解答】解：A中，闹钟的钟摆的运动，不是平移，故A不符合题意； B中，电梯从底楼上升到顶楼，是平移，故B符合题意； C中，碟片在光驱中运行，不是平移，故C不符合题意； D中，卫星绕地球运动，不是平移，故D不符合题意。 故选：B. 【分析】本题考查了平移的概念与性质，将一个图形上的所有点都按照同一方向移动相同的距离，这种变换称为平移，据此定义，逐项分析判断，即可得到答案. 2．如图，在所标识的角中，内错角是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】【解答】解：A、∠1和∠2为对顶角，则本项不符合题意， B、∠2和∠3为内错角，则本项符合题意， C、∠1和∠3为同位角，则本项不符合题意， D、∠2和∠4为同位角，则本项不符合题意， 故答案为：B. 【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫作内错角，据此逐项分析即可. 3．下列说法中，正确的是（　　） A．点P（3，2）到x轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点（2，－3）和点（－3，2）表示同一个点 C．若y＝0，则点M（x，y）在y轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 【答案】D 【解析】【解答】解：点P（3，2）到x轴的距离是2，A错误； 点（2，－3）和点（－3，2） 不表示同一个点，B错误； 若y＝0，则点M（x，y）在x轴上而非y轴，C错误在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标皆为负号，D正确. 故答案为：D. 【分析】根据坐标的定义、坐标点与象限之间的联系解答. 4．已知a＜b，则一定有﹣2a□﹣2b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 【答案】A 【解析】【解答】解：∵a＜b， ∴-2a＞-2b. 故答案为：A. 【分析】 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变. 5． 如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝55°，则∠EFG的度数是（　　） A．130° B．140° C．145° D．155° 【答案】C 【解析】【解答】解：过点H作，过点F作，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C 【分析】过点H作，过点F作，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意即可得到，，根据平行公理及其推论得到， ， 从而得到，，再结合题意进行角的运算即可求解。 6．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，与平行． A．54 B．64 C．74 D．116 【答案】B 【解析】【解答】解：，， ， ， ， ，， ， ∴当时，． 故答案为：B． 【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合已知条件和角的构成可求出的度数，再根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可求解． 7．“迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】【解答】解：设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料， 根据题意得：， 解得：， 又x为整数， x的最大值为17， 即该顾客最多能购买17瓶清凉茶饮料， 故答案为：B． 【分析】设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，利用“总价=单价×数量”，结合总价不超过50元可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可求出答案. 8．下列命题是假命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．垂线段最短 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【解析】【解答】解：A中，两直线平行，同旁内角才互补，故A说法是假命题； B中，垂线段最短，所以B说法是真命题； C中，对顶角相等，所以C说法是真命题； D中，两点确定一条直线，所以D说法是真命题. 故选： A． 【分析】本题考查了命题的真假判断，其中正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据平行线的同旁内角互补，可得判定A；根据垂线段最短，可判定B、根据对顶角相等，可判定C；根据两点确定一条直线，可判定D，即可求解． 9．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故答案为：C. 【分析】根据换元法得到，求出x，y的值解题． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点A出发按的规律每秒1个单位长度爬行，则2023秒时蚂蚁所在的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解： ∵，，，， ∴四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3， ∴矩形的周长为2（AB+BC）=10， ∴ 一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒， 2023÷10=202······3， ∴ 2023秒时蚂蚁所在的位置在矩形ABCD与x轴的负半轴的交点处，即（-1，0）； 故答案为：C. 【分析】由ABCD的坐标，可得四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，从而得出一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒，由2023÷10=202······3，求出蚂蚁出发第3秒时的位置即可. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．要使代数式2x﹣6的值不大于5x﹣3的值，则x的取值范围是　 　． 【答案】x≥﹣1 【解析】【解答】解：令2x-6≤5x-3，解得x≥-1. 故答案为：x≥-1. 【分析】“不大于”即小于等于. 12．如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若B、C两点的坐标分别是，，则A点的坐标为　 　． 【答案】（-1，3） 【解析】【解答】解：如图， 点A（-1，3）. 故答案为：（-1，3） 【分析】利用点B，C的坐标建立平面直角坐标系，可得到点A的坐标. 13．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n的二元一次方程组 的解为 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得， 解得， ∴关于m、n的二元一次方程组的解为. 【分析】由题意可得，求出m、n的值，据此可得方程组的解. 14．比较大小：　 　．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】＜ 【解析】【解答】解：， ， ， ， 故答案为：＜. 【分析】根据无理数的估算，估算出的大小，再比较即可. 15．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵不等式的解集是， ∴a-3＜0， ∴a＜3. 故答案为：a＜3. 【分析】根据不等式的基本性质可得a-3＜0，解不等式即可求解. 16．如图，是的平分线，直线．若，则的大小为　 　度． 【答案】 【解析】【解答】如图，∵是的平分线，直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：65． 【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，根据角的平分线，平行线性质，根据题意，得到，根据等腰三角形的性质计算，即可得到答案． 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得． （1）求的算术平方根； （2）求原方程组的解． 【答案】（1）解：把代入②得， ∴， 把代入①得， ∴ ∴的算术平方根为． （2）解：把，代入原方程组得， 解得． 【解析】【分析】（1）将和分别代入4x=by-2和ax+5y=10，求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可； （2）将a、b的值代入方程可得，再利用加减消元法求解即可。 18．有一块面积为的正方形纸片． （1）此正方形的边长约为　 　；（精确到十分位，参考数据：，） （2）小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他的这一想法能实现吗？为什么？ 【答案】（1）8.9 （2）解：设长方形的长为，则宽为， 依题意，得：， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∵， 答：他的想法不能实现． 【解析】【解答】（1）设正方形的边长为a， ∵正方形的面积为， ∴a2=79， ∴， 故答案为：8.9. 【分析】（1）设正方形的边长为a，根据题意列出方程a2=79，再求出a的值即可； （2）设长方形的长为，则宽为，根据题意列出方程，再求解即可。 19．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中，，，． （1）求证：； （2）若三角板不动，绕顶点C逆时针转动三角板（不超过一周），当时，求的度数． 【答案】（1）证明：∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD， ∴∠BCD＋∠ACE＝90°＋∠ACD＋∠ACE＝90°＋90°＝180°； （2）解：分两种情况： ①如图1所示， ∵AB∥CE， ∴∠ACE＝∠A＝30°， ∴∠BCD＝360°－∠ACB－∠ACE－∠ECD＝360°－90°－30°－90°＝150°； ②如图2所示， ∵AB∥CE， ∴∠B＝∠BCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ECD－∠BCE＝90°－60°＝30°， 综上所述，当CE∥AB时，∠BCD的度数为150°或30°． 【解析】【分析】（1）直接根据已知条件进行角的转化即可求解； （2）分两种情况：①如图1所示， 先根据平行线的性质即可得到∠ACE＝∠A＝30°，进而即可求解；②如图2所示，先根据平行线的性质即可得到∠B＝∠BCE＝60°，再结合题意即可求解。 20．如图，已知有四条直线：直线a，直线b，直线m，直线n．若直线，直线． （1）判断直线a与直线b的位置关系，并证明；（推理过程请注明理由） （2）若，求的度数 【答案】（1）解：，证明如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1），先根据平行线的性质结合题意即可得到，进而根据平行线的判定即可求解； （2）先根据平行线的性质即可得到，进而结合题意即可求解。 21．如图，在中，点D在上，，，垂足分别为E，F． （1）请判定与平行吗？并说明理由； （2）如果，且，求的度数． 【答案】（1）证明： ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【解析】【分析】（1）先根据垂直的性质即可得到，进而根据平行线的判定即可求解； （2）先根据平行线的性质即可得到，再运用平行线的判定与性质即可得到，进而结合题意即可求解。 22．如图，△ABC 在直角坐标系中， （1）请写出△ABC各点的坐标； （2）求出△ABC的面积； 【答案】（1）由平面直角坐标系可知：点A（-1，-1），点B（4，2），点C（1，3）； （2）用一个矩形将△ABC框住，如图所示 S△ABC=5×4－ ×4×2－ ×5×3－ ×3×1=7 【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系即可写出各个点的坐标；（2）用一个矩形将△ABC框住，然后用矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可求出结论． 23．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°． （1）求证：∠ABC＝∠ADC； （2）求∠CDE的度数． 【答案】（1）解∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCE， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCE， ∴∠ABC＝∠ADC， （2）设∠CDE＝x，则∠ADC＝2x， ∵AB∥CD， ∴∠BAD＝180°﹣2x， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAD＝ ∠BAD＝90°﹣x， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠EAD＝90°﹣x， ∴∠BED+∠ADE＝180°， ∴90°﹣x+60°+3x＝180°， ∴x＝15°， ∴∠CDE＝15°． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案；（2）根据∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x°，∠ADE＝3x°，∠ADC＝2x°，根据平行线的性质得出方程90﹣x+60+3x＝180，求出x即可． 24．某超市投入1380元资金购进甲、乙两种矿泉水共50箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示： 类别/单价 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 24 36 乙 33 48 （1）该超市购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）全部售完50箱矿泉水，该超市共获得利润多少元？ 【答案】（1）解：设该超市购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱， 依题意，得： 解得： . 答：该超市购进甲种矿泉水30箱，乙种矿泉水20箱. （2）解：总利润为（36﹣24）×30+（48﹣33）×20＝660（元）. 答：全部售完50箱矿泉水，该超市共获得利润660元. 【解析】【分析】（1）设该超市购进甲种矿泉水x箱，乙种矿泉水y箱，根据“ 购进甲、乙两种矿泉水共50箱 及购买甲种矿泉水的费用+购买乙种矿泉水的费用=1380”列出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总利润=甲的利润+乙的利润列式计算即可. 25．如图 （1）如图①，，，求证：． （2）如图②，，直接写出，，，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明：连接． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式性质）． 即． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：结论为：∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠DGF 过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，过点G作GN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH∥FM∥GN， ∴∠B=∠1，∠3=∠2，∠5=∠4，∠6=∠D， ∴∠B+∠2+∠4+∠D=∠1+∠3+∠5+∠6 ∴∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠DGF， 【解析】【分析】（1）连接BC，利用平行线的性质可知∠ABC=∠DCB，由∠1=∠2，可推出∠PBC=∠MCB，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论. （2）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，过点G作GN∥AB，利用平行线公理的推论可证得AB∥CD∥EH∥FM∥GN，利用平行线的性质可证得∠B=∠1，∠3=∠2，∠5=∠4，∠6=∠D，由此可得到∠B、∠EFG、∠D、∠BEF、∠DGF之间的数量关系. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $