精品解析：湖南岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学科试题卷

汨罗二中2024级高二年级下学期期中考试数学科试题卷 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D. 若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 6. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 7. 函数图象的大致形状是 A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列各式正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 11. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “”是“”的______条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”) 13. 化简的结果是______． 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角、、的对边分别是、、，已知，，．求： （1）的值； （2）的面积． 16. 如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望． 17. 已知函数 （1）求的值 （2）求的最小正周期及单调递增区间. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汨罗二中2024级高二年级下学期期中考试数学科试题卷 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定， 命题：，的否定是，. 故选：B. 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 由，则，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得， 则， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为9. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 5. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D. 若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对； 对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对； 对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错； 对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对. 故选：C. 6. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得. 【详解】正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确； 对C：由对称性可得，故选项C错误； 对D：由对称性可得， 所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确． 故选：C． 7. 函数图象的大致形状是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性，排除BD；再由函数值的大致范围，即可确定结果. 【详解】因为， 所以 ， 所以是偶函数，排除BD； 又当时，，所以， 当时，，所以， 故排除D，选C. 故答案为C 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型. 8. 已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数， 所以 所以函数是定义在上的偶函数， 因为对，且有， 所以在上单调递增， 所以， 当时，则有， 所以，即， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为， 所以即为， 所以，解得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列各式正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数的运算性质判断A、B，根据指对数的关系求x判断C、D. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：由，即，错误； D：由，即，正确； 故选：ABD 10. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意完成列联表，根据列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可. 【详解】由题可将列联表补充完整如下：抗病虫害 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 6 66 种子未经过该药处理 20 14 34 合计 80 20 100 由上表可知 A 正确，B 错误； 由表可知， 因此根据小概率值 的独立性检验，可以认为该新药有效，故 C 错误，D 正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项. 【详解】由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数， 由已知当时，， 令，可得，则， 令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称， A选项错误，B选项正确； 设，则，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在上单调递增，C选项正确； 由，，得， 则，所以， 所以是以为一个周期的周期函数， 所以，， 易知在上单调递减，且， 所以，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “”是“”的______条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”) 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据定义直接分析即可 【详解】因为推不出,所以是的不充分条件 因为能推出,所以是的必要条件 所以是的必要不充分条件 故答案为：必要不充分 13. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根式的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____. 【答案】16 【解析】 【分析】二次函数和对数函数得到函数的单调区间，以及函数的最值和端点的值，由此得出函数图像，再由方程有4个不同解以及方程解的大小关系作出大致图像.由二次函数对称性得到，由对数函数得到，代入代数式后利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】由二次函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 由对数函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 故作分段函数图像如下： 若有四个不同的解，则， 即 由二次函数的对称性可知， 由对数函数可知，即，则，即，且. 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角、、的对边分别是、、，已知，，．求： （1）的值； （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的等式，解之即可； （2）利用同角三角函数的基本关系求出，再结合三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得，即， 整理得， 因为，解得. 【小问2详解】 因为，则为锐角，且， 故的面积为. 16. 如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ，. 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图小矩形的面积表示频率，总频率为1即可计算x； (2)由题可知X服从二项分布，根据二项分布概率计算公式即可求出其分布列和数学期望. 【详解】(1)依题意及频率分布直方图知，，解得. (2)由题意知，. 因此，， ，. 故随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望为. 17. 已知函数 （1）求的值 （2）求的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（1）2 （2）的最小正周期为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简的解析式，得，代入可求得求的值；或直接代入，求的值. （2）根据最小正周期的公式求得的最小正周期；将看作一个整体，利用正弦函数的单调性求得的单调递增区间. 【小问1详解】 函数. 所以. 方法二：. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以的最小正周期为. 当，即时，单调递减，单调递增. 所以的单调递增区间为. 故的最小正周期为，单调递增区间为. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 则，则， 又平面，故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，求证即可求证； （2）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可； （3）计算平面的法向量，再计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）可知，，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故， 所以， 则二面角的余弦值为. 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $