精品解析：湖南衡阳市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

衡阳市第一中学2026年高二下学期期中考试试题 数学 注意：总分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 设函数，若，则（ ） A. 或 B. 或0 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】函数的导数为：， 由条件得：， 解得：， 即或. 3. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定. 【详解】因为函数，定义域为R， 所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 若，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以在处取得极小值，不符合题意，所以； 若，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，. 4. 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，再利用点到平面的距离公式即可得到答案. 【详解】设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 所以该四棱锥的高. 故选：C. 5. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在区间上是减函数，可得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 根据二次函数的性质，则满足，解得， 6. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数图像关于直线对称的性质，将两曲线上点的距离最小值问题，转化为一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 【详解】因为，则，即， 所以的反函数为，两曲线关于直线对称. 因此，的最小值等于曲线上的点到直线最短距离的2倍. 设曲线上一点，该点到直线（即）的距离为： ， 令，则， 令，解得，则时，，单调递减， 则时，，单调递增， 则的最小值为， 因此最短距离：，即. 7. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（） A. B. C. 与夹角是 D. 直线与直线的距离是 【答案】A 【解析】 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A 8. 已知函数在处取得极值，则在的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在处取得极值可得，求得a的值，继而判断函数在上的单调性得到最值即可． 【详解】因为，所以， 由题意可得，解得，经检验满足题意. 则，， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的加法、减法运算逐项求解即可. 【详解】对于A： ，正确； 对于B： ，错误； 对于C： ，正确； 对于D：由选项AB知， ，正确. 故选：ACD 10. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极小值点 D. 是函数的最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数的图象，判断出导数的正负，从而可得函数的单调区间，可判断函数的极值，进而可得答案. 【详解】由的图象可知，当或时，， 当或时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 所以在和处取得极小值，在处取得极大值， 正确， 不一定是最小值，D错误， 由条件不能确定为函数的零点，A错误， 故选：. 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据外接球体积公式、勾股定理、空间向量坐标的线性表示等知识逐项计算判断即可. 【详解】四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接， 则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点． 因为，所以，所以， 则，则，A正确． 设四面体外接球的球心为，则在上，设， 则，解得，所以四面体外接球的半径为3， 四面体外接球的体积为，C错误． 易得四面体内切球的半径，内切球的球心为， 则的最大值为，最小值为，B正确． 因为平面，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），． 当取得最小值时，，即， 得，D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】. ，所以. . 13. 已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为点，，， 所以， 于是有， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】函数是定义在上的可导函数，且， 所以令，所以， 所以函数是定义在上单调递增，且， 所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，求得切点处切线的斜率，再利用点斜式求方程； （2）求出导函数，根据的正负性判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 当时，， 得，且，． 所以，曲线在点处的切线方程是， 整理得 【小问2详解】 若，则，则． 令，解得或       当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且． 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，． 易证，且， 又为的中点，所以，且， 则四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，，，，，． 设平面的法向量为，则 令，得． 设平面的法向量为，则 令，得． 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）代入，对函数求导得出斜率再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）求出，并对求导根据参数的取值范围进行分类讨论，即可得出其单调性. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）设点在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不在平面内，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，应用向量法求夹角余弦值即可； （3）根据（2）得到，应用空间向量数量积的坐标运算得到，即可得结论. 【小问1详解】 因为平面，平面，则， 又，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在平面内过点作的垂线交于点， 平面，，平面，则，， 构建如下图示的空间直角坐标系，设，则，，，，，， 所以，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值. 【小问3详解】 直线不在平面内，理由如下： 因为点在上，且，， 所以，则 由（2）知平面的一个法向量为，所以， 所以直线不在平面内. 19. 已知函数． （1）分析函数的单调性． （2）若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． （3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）详见解析； （2）不存在，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）分和两种情况讨论，根据解析式特点，构造函数，利用导数求得其最小值，进而说明最小值大于0，即可得出结论； （3）有两个零点，则有两个零点，利用导数研究函数的零点即可． 【小问1详解】 因为，，， 令，则， 因为，所以恒成立，所以即单调递增， 又时，，时，． 所以存在，使得， 所以在上递减，在上递增． 【小问2详解】 ，，的零点个数与的零点个数相同． ①当时，，． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 当时，取得最小值．无零点，即无零点． ②当时，．令．又恒成立， 在上单调递增． ，，故存在，使得； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，取得最小值．（*） 由，得，代入得． 若有零点，则必有，即，也即． 令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减． ，取，，即恒成立，矛盾，故没有零点． 综上所述，当时，没有零点． 【小问3详解】 若有两个零点，则有两个零点． 由（2）可知，． 在上单调递增，又，，故存在，使得； 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，取得最小值． 由，得， 代入得． 有两个零点，则必有． 设，，当时，恒成立， 在上单调递减，，． 设，．当时，恒成立，在上单调递增，． 下证当时，有两个零点．，，． 在上有两个零点，即在上有两个零点． 综上所述，为满足题意的最小正整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市第一中学2026年高二下学期期中考试试题 数学 注意：总分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，若，则（ ） A. 或 B. 或0 C. D. 0 3. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 4. 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（） A. B. C. 与夹角是 D. 直线与直线的距离是 8. 已知函数在处取得极值，则在的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A. B. C. D. 10. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极小值点 D. 是函数的最小值 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，则_________. 13. 已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极小值． 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 17. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）设点在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由. 19. 已知函数． （1）分析函数的单调性． （2）若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． （3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $