2026年中考数学三轮复习备考-二次函数压轴之线段周长问题归纳练

**基本信息** 聚焦二次函数压轴线段周长问题，分层设计基础巩固、综合应用、压轴突破三阶训练，助力中考三轮冲刺知识内化与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数解析式求解|以待定系数法为主，强化概念理解与运算能力| |进阶层|线段长度/周长最值、面积计算|结合几何图形性质，培养几何直观与推理意识| |挑战层|动态几何、存在性问题|融入动点探究与分类讨论，发展创新意识与数学表达|

2026年中考数学三轮复习备考-二次函数压轴之线段周长问题归纳练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 2．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 3．如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 4．如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当线段的长度最大时，求P点坐标． 5．如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，，点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），点Q是直线上一动点，直线交抛物线于点D，若求点D的横坐标； (3)如图（2），将抛物线沿x轴对称得到抛物线．不过原点的直线与抛物线交于点M，交y轴的负半轴于点F，直线，直线和抛物线有且只有一个公共点N，若，请你证明直线恒过定点，并求出这个定点的坐标． 7．如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 10．抛物线与轴交于，与轴交于点，为抛物线上的动点．设点的横坐标为．      (1)求抛物线解析式； (2)如图，若为直线上方抛物线上的动点，连，，，求的值． (3)如图，若为轴上方抛物线上一动点，过点作轴交于点．设线段的长为． 求与的函数关系式； 记上问的函数图象为，若直线与图象有三个交点，直接写出的取值范围． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接，． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 12．如图，已知抛物线（，为常数）的图象与轴交于，两点，与轴相交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)若点为抛物线对称轴上一点，是否存在点使得值最小，若存在请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)若点为该抛物线上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一动点，连接，，点M是y轴上一个动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将原抛物线沿着方向平移，使得新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一个交点记为点E，与原抛物线的对称轴的交点记为点D．已知点N为新抛物线上的一点，且，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求其中一个点N的过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 3．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标为，则点P的坐标为，结合二次函数对称性得到点Q的坐标为，点N的坐标为，利用表示出矩形的周长，即可推出当矩形的周长最大时，的值，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点E的坐标，再利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的图象过点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 则点P的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，， 点Q的坐标为， 点N的坐标为， 则矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长最大，最大值为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 则点E的坐标为， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数最值，图形与坐标，解题的关键在于灵活运用相关知识． 4．(1) (2)P点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最大值，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的相交问题等知识，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）由点B在直线上，则可求得点B的坐标；再用待定系数法求解即可； （2）设点，则可得点E的坐标，从而求得关于t的函数式，即可求出当线段的长度最大时，P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，点B在直线上， ∴， 即； 把点A、B的坐标代入中，得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点， ∵点P在直线上方，且不与A、B重合， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时， ∴P点坐标为． 5．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可； （ⅱ）先求出当抛物线经过点时，，当抛物线经过点时，，得出答案即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为，                                ， ， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为． ， ． ，， ， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ，         当时，取得最大值， ， 点的纵坐标也为． 令， 解得， 点的坐标为．                        （ⅱ）由题意，得点的坐标为．                                         如图，当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有两个交点， 当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有一个交点， 综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的特点． 6．(1) (2)或或 (3)定点坐标为，证明见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与几何综合，熟练利用分类讨论思想解题，耐心计算是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据可得，点的坐标为，表示出点的坐标，代入直线的解析式即可解答，即可解答； （3）设，，根据题意求得直线的解析式，再利用题中所给条件求得，即可解答． 【详解】（1）解：根据可得抛物线的对称轴为轴， ， ，， 把代入抛物线可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 根据可得，设点的坐标为， 当三点中，点在线段上时，如图，过点作垂线段分别交轴于点， ， ， ， 设点，则，， 得，， 把代入直线， 得， 解得，； 当三点中，点在线段上时，如图，过点作垂线段分别交轴于点， 同理可得， ， 设点，则，， 得，， 把代入直线， ， 解得，， 由于，不符合前提条件，故舍去， ； 综上所述，点D的横坐标为或或； （3）解：将抛物线沿x轴对称得到抛物线， 则抛物线的解析式为， 设，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 直线和抛物线有且只有一个公共点N， ， 可得， 所以直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，， ， ， ， 根据勾股定理可得， 可得方程， 解得， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 所以直线经过定点． 7．(1) (2) (3)存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 8．(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 9．(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，此题计算量较大，准确地计算是解题的关键． （1）根据正切的定义求得，进而得出的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，根据，得到方程，求出的值即可求点坐标； （3）设，，由，可得，，设为直径的圆的圆心为，则，则，设，根据，可得，由是定点，可知，即可求点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）存在这样的点、使得，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得(舍)或， ∴； （3）设，， ， 整理得， ∴，， 设为直径的圆的圆心为，则， 如图，过点作，轴， ∴， ∴， 设， ， ， 整理得， 是定点， ， ． 10．(1)抛物线解析式为； (2)的值为或； (3)；的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数面积问题，二次函数与一次函数交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，则，然后得出直线解析式为，如图，过作轴于点，交于点，设，则，所以，则，然后解方程即可； （）由直线解析式为，抛物线解析式为，设，因为，所以纵坐标相同，故有，解得，从而有， 当直线与只有一个交点时，即直线与图象有两个交点，当直线经过点时，即直线与图象有两个交点，分别求出的值，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（）得，抛物线解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴的值为或； （3）解：由上得，直线解析式为，抛物线解析式为， 设， ∵， ∴纵坐标相同， ∴，解得， ∴， ∴， ∴当时，；当，； ∴； 如图，当直线与只有一个交点时，即直线与图象有两个交点， ∴，整理得， ∴，解得：， 如图，当直线经过点时，即直线与图象有两个交点， ∴， ∴直线与图象有三个交点，的取值范围为． 11．(1) (2)①；②点的坐标是，面积的最大值是8 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，根据，列出方程求的值即可求点坐标； ②设，过点作轴交于点，则，由此可得，当时，面积的最大值是8，此时点的坐标是． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，把，两点代入， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）①当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是； 12．(1) (2)存在， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，锐角三角函数，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）连接，过作抛物线的对称轴垂直轴于点，求出顶点坐标，表示出相关角的三角函数值，得到，过作于点，连接，得出的最小值为，然后利用锐角三角函数进行求解即可； （3）分别过，作垂线，交抛物线于点，利用待定系数法求出，分两种情况进行求解，求出相关点的坐标，利用待定系数法，求出， ，然后联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中， 得 ， 解得， 二次函数解析式为 ； （2）解：由及顶点坐标公式得： ，连接，过作抛物线的对称轴垂直轴于点， 由，得：，， 由勾股定理得， ，， 设， ，要使最小，必须使最小， 过作于点，连接， ， ， ， ， 当点在同一条直线上时，值最小， 即最小， 最小，最小值为， 在中，，， ， ，即的最小值为， 的最小值为， 即：存在使得最小，最小值为； （3）解：如图所示， ，，理由如下： 由得，当时，， ∴， 假设直线的解析式为， ，，代入得， ， 解得， ， ①过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点， 由，得，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，将，代入得： ， 解得， ∴， 将与联立方程组， 得：， 解得：或， 所以：（舍去）， ②过点作的垂线，交抛物线于点， 结合①得，两垂线平行，设， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 将与联立方程组， 得 ， 解得：或 ， 所以，（舍去），， 综上所述：存在点，为，使是以为直角边的三角形． 13．(1) (2) (3)或，见解析 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于Q点，设设，则，则的面积，当时，的面积最大，此时，作B点关于y轴对称点，连接交y轴于点M，当P、、M三点共线时，的最小值为； （3）设抛物线向右平移m个单位长度，向下平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，将点B代入可求抛物线的解析式为；分别求出，，取，连接，由，可推导出，所以N点在直线上，直线与抛物线的交点为N；作点F关于直线的对称点G，过点G作轴，设直线与y轴的交点为，由，可得，设，则，再由，求出，则直线与抛物线的交点为N． 【详解】（1）解：将点，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴将代入得， 解得， ∴， 过点P作轴交于Q点， 设，则， ∴的面积， 当时，的面积最大，此时， 作B点关于y轴对称点，连接交y轴于点M， ∵， ∴， 当P、、M三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵将原抛物线沿着方向平移，， ∴将原抛物线沿着方向平移，可以看成抛物线向右平移m个单位长度，向下平移m个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍）或， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得或， ∴， ∵原抛物线的对称轴为直线， ∴， 取，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴N点在直线上， ∵，， ∴设直线的解析式为，，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴； 作点F关于直线的对称点G，则，过点G作轴于，轴于，则四边形为矩形， ∵直线的解析式为， ∴设直线与y轴的交点为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵，中， ∴， 解得或（舍）， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴； 综上所述：N点坐标为或． 答案第1页，共2页 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