二次函数压轴之线段周长存在性问题归纳练-2026年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之线段周长存在性问题归纳练-2026年中考数学 三轮复习备考 1.抛物线=4-3与直线y=x交于A,B两点(A在B的左边). 图1 图2 (1)求A,B两点的坐标. (2)如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点.过点P作x轴的平行线交抛物线于点M, 过点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满足PM=PN,求点P的横坐标 ③)如图2，经过原点0的直线CD交抛物线于C,D两点（点C在第二象限），连接 C.D AC,BD 分别交精于EF两点。若3am,求直线CD的解折式 2.如图，抛物线"=r++C与轴交于4、B两点（点4在点8的左边），点A、B 的坐标分别是-1.0、(3,0，与'轴交于点C,点C的坐标是Q3),点D和点C关于抛 物线的对称轴对称. y 备用图1 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最 试卷第1页，共3页 大值： (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为 顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点P的坐标 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=ar+br+4a≠0)与x轴交于44,0， B(3,0 ,与y轴交于点C. y D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接AC、BC,过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P为直线AC上方抛物 线上一动点，连接PD交AC于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接PF、PC、BE, PF OF 当四边形PCBE的面积最大时，求点P的坐标 5 的最小值： (3)如图2，将抛物线y=ar+hr+4a≠0 沿射线4C方向平移V2个单位长度得到新抛物 线'.点M为直线4C上一点，将直线4C绕点M送时针旋转“得到直线，其中 a=∠CBO,直线I'与新抛物线交于点N.若∠MCV=∠MNC,请直接写出所有符合条件 的点N坐标， 4.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线=+r-3与'轴交于14B两点， A-3,0,B2,0,交'轴于点C. 试卷第2页，共3页 图1 图2 ()求此抛物线的解析式； (2)如图1，点D在线段OC上，连接BD并延长，交抛物线于点E,点P在第一象限的抛物 线上，横坐标为m(m>列，连接PE,交'轴的正半轴于点F,设线段CF的长为·，当 DE=BD时，求d与m之间的函数关系式； ③)如图2，在(2)的条件下，连接BF并延长，交抛物线于点°，连接C2,交线段0 Co 点G,若PF=2CG,求点P的坐标. 5.如图，抛物线”=ar+hr+2 A(-1,0),B(4,0) 过 两点，与'轴交于点C (1)求抛物线的解析式： M(0,-) (2)已知点 在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使△MC 周长最小，如果存 在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由： (3)在y轴上，是否存在点P使得∠CBP=2∠ACO,若存在，直接写出点P的坐标，若不存 在，请说明理由。 6.已知，在平面直角坐标系中，抛物线'=+br+3与x轴交于点B,C,与y轴交于点 试卷第3页，共3页 A,其中B-3,0,C1,0) 图1 图2 备用图 (I)求a,b的值： PK∥y ②如图1，连接B,点P是直线B上方抛物线上一动点，过点P作PKy轴交1B于点 KE⊥y K,过点K作 轴，垂足为点E,求PK+K5的最大值并求出此时点P的坐标： (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在(2)中求出的点P的坐标，连接PC,将该抛物线 1 向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F,点M是新抛物线上一点， 连接CM,当∠MCF+∠PCB=135°时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标. y=-x2-2x+3 7.如图，抛物线 的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C,点D为抛物线的顶点. B (I)求顶点D的坐标. (2)矩形FMNP的一边MN在线段AB上，点F,P在抛物线上（点F在点P的左边），当矩 形FMNP的周长最大时，求矩形FMNP的面积. (3)点H是抛物线上一点，过点H作y轴的平行线，与直线AC交于点E,交x轴于点G. 试卷第4页，共3页 ①若点H在第二象限内，当HE最长时，求点H的坐标. ②连接DH,当DH=GH时，请直接写出满足条件的点H的坐标. 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线"=+b+c与轴交于41,0，-60两点， 与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D, 作PE⊥BC于点E,求PD+2PE 最大值及此时点的坐标： ③)将抛物线沿射线CB方向平移25个单位，在PD+V2PE取得最大值的条件下，连接r 交y轴于点M,平移后的抛物线上是否存在一点N,使得∠AMN=90°，若存在，直接写 出符合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由。 9.如图，抛物线"=r+br+3a≠0)与r轴交于A,B两点，与y轴交于点C,已知点A 的坐标是-，0) 抛物线的对称轴是直线x=1。 备用图 试卷第5页，共3页 (I)直接写出点B的坐标. (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值. (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于 点Q.依题意补全图形，当M0+v5C0的最大值时，求点M的坐标 y=-x+3 10.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线 y=-x2+bx+c 经过B、C两点，并与x轴交于另一点A. B (1)求该抛物线的函数关系式： 2设Pm,m是抛物线上的一个动点，过点P作直线上x轴于点M,交直线BC于点N ①当-2≤m≤2时，直接写出n的取值范围： ②若点P在第一象限内，线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此 时点P的坐标；若不存在，请说明理由： ③若△BPC是直角三角形，求m的值. 11.如图，抛物线y=- 2+br+c与轴交于点4和点B(4,0),与y轴交于点C0,4), 2 点E在抛物线上 (1)求抛物线的解析式： 试卷第6页，共3页 (2)在抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积等于12，若存在求出P点坐标，若不存 在说明理由： (③)点E在第一象限内，过点E作 轴，交BC于点F,作日 F∥y EHIx 轴，交抛物线于点H, 点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFGH的周长为II时， 求线段EH的长 12.如图，已知直线'-x+3与*轴交于点4，与'轴交于点8，抛物线'=-+hr+C (b,C是常数)经过A,B两点，且与x轴交于点C. B ()求抛物线的解析式，并直接写出C点的坐标： ②“是第象限内抛物线上一点，过点“作MN∥ 轴交线段 于点，当 MN=4C时，求M点的坐标 13.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线'=+x+2与x轴相交于 -2,0 B4,0)两点，与y轴交于点C,点P是该抛物线对称轴上的一个动点。 y 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)当△PAC的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标. 试卷第7页，共3页 (6)抛物线上是香存在点2，使∠0CB=45°， ？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由 14.如图，已知抛物线=-r+r+c与一条直线相交于4一，0，C2,3引两点，与'轴交 于点N,其顶点为D, (I)求抛物线及直线AC的函数表达式： (2)点P为对称轴上一动点，求当PA+PN最小时点P坐标，并求出最小值. (3)在抛物线对称轴上是否存在一点M,使以A,N,M为顶点的三角形是直角三角形？若 存在，请直接写出M点的坐标.若不存在，请说明理由. 试卷第8页，共3页 参考答案 A-2,-2),B6,6) 1.1) (2P点横坐标为2或6-43 1 6)y=-4 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数 的相关知识是解题的关键。 (1)联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； N(PP,可得PM=2,PN=P+P+3 根据PM=PN,可得4P+p+3=P,解方程即可得到答案： (3)c 设直线CD解析式为y=kx,利用待定系数法可得 4c+d,进而可得cd=-12:求出直线4C解析式为y- 引r+-3,得 2小同理阿餐( （d+6,0, 进一步可得 2=0,则OF=0E,根据 c-21 So=Sce,可得3c=-4d'据此可得=3兰c=4,《=4= =-4,即直线CD 1 解析式为y=-x】 4 y=x-3 4 [x=-2x=6 【详解】(1)解：联立y=x，解得y=-2或y=6’ 4-2,-2,B66 1 (2解：设PPp-3, 答案第1页，共2页 :抛物线解析式为少=子-3， 4 .抛物线对称轴为y轴， PN∥y “轴， 轴， M-3 1 ,N(p,p), PM-le-(p Pp--3p+3, PM=PN, 4p2+p+3=2pl, p+p+3=2p或p+p+3=-2p, 1 2或D=-6(舍去)或P=6-45或P=6+45 解得P= (舍去)， ·点P的横坐标为2或6-4W5 解ae-小-） 设直线CD解析式为y=k, [L2-3=ck 色-3=讼 .exdle-d)=(c-d), c≠d, 发=c+山， .cd=-12; 答案第2页，共2页 设直线1C解析式为 y=k'x+b" 「-2k"+b”=-2 *64- k=2c- 4 2 b”= 1 -3 直酸40保折式为-》3- 在=仔e》+-3中，当y=合e》+-3=0时.=22 c-2 6d+12,0 同理可得Fd+6,0) .cd=-12, 6d+12 6.-12+12 2c-12 .d+6=-12+6 c-2, .r2c-20 ∴.（c-20 ..OF =OE, .OFOE-d 4--0e- :3c2+4d2-84=0 答案第3页，共2页 :3c2+4d2+7cd=0 :(3c+4d)(c+d=0 .3c=-4d或c=-d(此时△COE,△D0F的面积相等，不符合题意)， o-jo-12 .d=3或d=-3(舍去)， c=-4, =-4+31 44’ ·直线cD解析式为y= 4x. 2.(0)=-r2+2+3 9V2 (2)8 a或 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)记1D与y轴的交点为E,证明△01 为等腰直角三角形，过F作N∥ 轴交D N,AFGN为暖直角角形，则FG2N,设Fx,+2x+8,则N 2 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； (3)如图，当P在4M的右边，记直线AM交y轴于R,y=-+2x+3=-r-+4, 则M1,4,求解直线4M的解析式为y=2x+2,可得0,2到，设P0,),而四边形 1 4POM为矩形，可得∠R4P=90,再利用勾股定理建立方程求解P02:如图，当。 答案第4页，共2页 在AM的左边，同理可得： 【详解】(D解：把1-，0，(30)，(0,3)分别代入y=am+bx+C a-b+c=0 a=-1 9a+3b+c=0 b=2 得 ,解得 c=3 c=3’ 抛物线的解析式为'=-+2+3 (2)解：由(1)知y=-x+2x+3=-(x-12+4 ∴抛物线对称轴为直线x=1, ,点D和点C关于抛物线的对称轴对称， .D(2,3 设直线AD的解析式为y=cx+t, -k+t=0 把A-1,0),D(2,3)分别代入得2k+t=3, k=1 解得t=1, ∴直线AD的解析式为y=x+1 记AD与y轴的交点为E, G 当x=0时，y=0+1=1,则E0,1 ..OA=OE, 答案第5页，共2页 ∴△OAE为等腰直角三角形， ∴.∠EAO=∠AEO=45°， 过F作FN∥y轴交AD于N, ∴.∠FWG=45°， ∴△FGN为等腰直角三角形， FGENE 设Fx×+2r+3列，则xx+1, 9 当x=2时，PFN有最大值4， 9√29W2 :FG的最大值为：428； (3)解：如图，当P在AM的右边， 记直线AM交y轴于R,y=-+2x+3=-(x-+4,则M(14, YA 设直线AM的解析式为y=mr+n, -m+n=0 m=2 把A-1,0)、M(1,4)分别代入得m+n=4,解得n=2, “直线4M的解析式为 =2x+2 答案第6页，共2页 当x=0时，y=2x+2=2,则R0,2. 设P0,,而四边形4POM为矩形， .∠RAP=90°， ..AP2+AR2 RP2, .(2-y)2=12+y2+12+22 解得：y=子即P0》 如图，当P在AM的左边， 同理可得：（y-2=(1-02+4-2+0-刂+(y-42, 得号.0 .0威P别 【点晴】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函 数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二 次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键. 121 3.0y=-3+4 瑞. 答案第7页，共2页 ®)4-8-3i度-l3》 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，通过几何性质求出点坐标是解题关键： (1)代入点坐标求解即可； (2)先通过平行线，将四边形PCBE的面积转化为△DCP的面积，从而通过设点P的坐标， 用二次函数表示面积与点P的坐标的关系，求出最值；再构建直角三角形（胡不归模型）， 路0P转化为另一线段长，通过垂线段最短求出最小值 (3)先根据的斜率为1，求出新抛物线的解析式，再分情况讨论，通过“与∠MCW, AC ∠MNC的关系，用含α的式子表示，通过过点C构造出对应的角度，求出此时对应角度所 在的直线解析式，与y联立，求解即可 J0=a×-4)+b×-4)+4, 【详解】(1)解：代入点A-4,0),B3,0)得0=a×32+b×3+4, 1 a=- 3 解得 1 =-3 3+4: 得4 (2)解：令=0， :C0,4 设直线1C的解析式为'=x+4 代入点1-4,0，得0=-4+4， 解得专1 :x*4 .BD∥AC, 答案第8页，共2页 ∴可设直线BD的解析式为”=x+6, 代入点B30 ,得0=3+么， 解得3 少x-3 121 令33+4x-3, 解得古=3.书=-7 令x=-7,得y=x-3=-7-3=-10, :D-7,-10 如图，连接CD,过点P PMV辅，交CD于点M, B F /MO D :BD∥AC, S.C=S. ·四边形PCBE 的面积 =S.PCE+S.BCE=SPCE+SDCE=S.DCP 设直线CD的解析式为'=，x+4 代入点D-7,-10,得10=-7%+4 解得2 答案第9页，共2页 .y=2x+4, 设rpp+4,则Mp2p+4PM-r2-P+4-2n+4=p-p 24, ∴.当p=一2时，SA的面积最大，即四边形PCBE的面积最大， 5r-4引49名48语8是 +-12121212, p13 ∴此时点P的坐标为气2'12， m图，线oN便得EV LON且wE得OF,思oN -JoR-FN2v我 OP,过点P作PH⊥ON, PF+OF-PF+FN ∴.PH即为PF+FN的最小值， 设N(x,w 由愿意，得an∠FON=N=}二业=上 ON 2-XN 设直线W的解析式为”=x, 答案第10页，共2页 代入w},得=， :41 =xw2, 设点H么，则o:-， 4 m-(八侣-+沿，引 又OH2+PH2=OP2, +设a(B, 解符6=0合)，度4=引， w 175 15 (3)解：：AC=V0A+0C=42,0A=0C=4, ,4C=4C-5 OAOC 放能物线y号}+4沿射线4C方向平伤5个单位长度，扫当于先向右平移1个单 位长度，再向上平移1个单位长度， 故=x--号-+4+1=x-l-x-+5, 分两种情况讨论： 第一种：如图，若a是△MCN的外角，则a=∠MCN+∠MNC=2∠MCN,CN交x轴于 答案第11页，共2页 点E,取点D-3,0,则OD=0B, M 由题意，得∠MCN=2”, 1 ..OA=OC, ∴.aOAC是等腰直角三角形， .∠0CA=45°， ·∠0CE=∠0CA-∠MCW=45°- 2a, .OD=OB,OC=OC,∠D0C=∠B0C=90°， :△D0C2aB0C(SMS ∴.∠ODC=∠CBO=a, ∴.∠OCD=90°-∠ODC=90°-u, ∴.∠OCD=2∠OCE,CE平分∠OCD, 设点E到CD的距离为h,.OE⊥OC, ..OE=h, ShCD=OCDE,S.OCE=OEO 2 S.DCE=CDDE .S.ocE OC OE 0C=4,CD=V0D2+0C2=5 答案第12页，共2页 器- 又OE+DE=OD=3, :0Es4 设直线CE的解析式为”=x+4, 代入点0得0=+4 解得43 :少3x+4 联立，得x--x-1+5=3x+4, 解得=4+V9 由图可知，不合题意，舍去)，女=4-9 当x=4-V9时，y=3x+4=3到-4-19+4=-12-319+4=-8-39 :N-4-9,-8-319 第二种：如图，若a是△MCN的内角，则a+∠MCN+∠MNC=180°，顺时针旋转90°第 一种情况下的△OCE得到△QCP, 由题意.得<MCN=ls0-a)=90p-4 :∠0CN=∠MCN+∠0CA=135°-，a=90°+Z0CE, 2 答案第13页，共2页 :∠MCN=∠Mc0,点N在CD上. 由旋转的性质，易得PC=OC=4,PQ=0E 3,PQ1x轴， 手49 -3 设直线C2的解析式为”=人+4， 新得与=》 联立，得x-x-+5=方+4， 解得3 (由图可知，不合题意，舍去)，女-1 当时，=44=+4 3 综上，4-8-或-号》 2+ 4.(①抛物线的解析式为：y=2 +2-3 (2)d与m之间的函数关系式：d=m; ③)P47) 【分析折】（1)将点1-3,0，B20代入=ar+hr-3求解即可： 答案第14页，共2页 (2)先根据中点坐标公式求出点E坐标，再求直线PE的解析式，并求出点F的坐标，最 后求出线段CF的长，即可找到d与m之间的函数关系式： BO oc (3)先求直线的解析式并与抛物线联立方程求出点坐标，再求直线的解析式， 求出直线QC与x轴的交点G坐标，然后用坐标距离公式分别求出PF和CG，根据 PF=2CG,求出m的值，代入点P即可. 【详解】D解，将点4-30，点B20代入=ar+bs-3得： 9a-3b-3=0① 4a+2b-3=0②， 将①×2+②×3得： 18a-6b-6+12a+6b-9=0, 30a=15, 1 a= 2, 将0=2代入②中得：2+26-3=0，即6= 2 1 a=- 2 综上： 1· b= 2 “抛物线的解析式为：y=)+)x-3. .1 2 2 12.1 (2)y=2+2x-3 2 当=0，-3，即点C0,-3列】 ,点D在线段OC上， 0 .DE=BD, :x0=+2 22，即xe=2x。-X。=0-2=-2 答案第15页，共2页 :点5在抛物线上，。=2 :=-2,即点-2-2列 ·点P在第一象限的抛物线上，横坐标为mm>3), 1 1 pm.+ m-3 点 :设直线PE的解析式为： y=kx+1(k≠0) 将m+- 1 、点(-2，-2到代入得： mk+t=1 2m30 -2k+t=-2② ①-②得： -小2+m-2×+2m-x1m- -m+m m+22m+22m+22, 1=-2+2k=-2+2×m-1 =-2+m-1=m-3, 2 直线PE的解析式为：y=m,。 2x+m-3, ∴点F0m-3) m>3, ∴点F在点C上方， CF=m-3-(-3)=m .d=m. ar+m- (3):由(2)得点F0,m-3,点气” 答案第16页，共2页 =m-g++分m3-m+3 =m2+ 2m m2(m-1 m 2V4+m-0 :设直线B吧的解析式为： y=kx+t1(k≠0) 将点B(2,0)、点F0,m-3 、点 代入得： 2k+t=0① 41=m-3②， ①-②得： 直线0的解折式为：y=3,mx+m-3. 2 BO :点是直线和抛物线的交点， 3-m 121 .2 +m-3=2r+2x-3, 即： (3-m)x+2m=x2+x x2+(m-2)x-2m=0 (x-2(x+m)=0 点0-mm2- 2m-3. :设直线C的解折式为：？=，r+低+0， 将点@m-m-引、点C10-到代入得： 答案第17页，共2页 1 2m-30 62=-3② ①-②得： 片m 2 “直线c0的解折式为：y=1,x-3, 2 6 62 14 .PF=2CG, ÷4rm= 4 m- 24+(m-可=6 4+(m-1)2 (m-12 4+m-可 m236 4(m-12, m2(m-12=144 m>3, :m(m-1)=l2 m=4m,=-3 (舍)· 答案第18页，共2页 ”将m=4代入Pm+m 1 m3 P47) 【点晴】本题考查了二次函数的待定系数法、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数 综合问题，明确题意，进行推理思考是解决问题的关键 x+3x+2 3 5.(1)y= 2 31 (2)点G的坐标为2’2 0,-2)(0,22) (3)点P的坐标为 或 A(-1,0),B(4,0) 【分析】(1)将点 ，代入抛物线’=ar+br+2 即可求得该抛物线的解析 式 (2)由题意可知要使△MCG的周长最小，则需要MG+CG的值最小，作点C关于抛物线 对称轴的对称点为C,连接MC'交对称轴于点G,求出直线MC'的函数解析式即可求解出 点G的坐标； (3)连接AC,可证△AOC∽△COB,则∠ACO=∠CBO,要使∠CBP=2∠ACO,即只 要有2C8P=2∠C80即可，第一种情况为在'轴负半轴上存在一点P,使O9=0C=2, 则有B郎=BC ，利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得， ∠08=2C80,点即为 所求：第二种情况为在'轴正半轴上存在一点P,使得∠C8P=∠CB那=2∠AC0 利用等 腰三角形的“三线合一”的性质，求出点关于BC的对称点P,直线P与'轴正半轴 的交点即为所求 a-b+2=0 【详解】(1)解：将点A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2,得16a+4b+2=0, 答案第19页，共2页 解得 3 b-2 + +2； (2)解：如图，设点C关于抛物线对称轴的对称点为C,连接MC交对称轴于点6，此 C C MC' 时△MCG周长最小， .A(-1,0),B(4,0) 对你销为宜线， ，3 y=-52+)x+2, 令x=0,则y=2, .C(0,2), C'(3,2) M0-) 设直线CM的解析式为'=mr+n, 「3m+n=2 m=1 则n=-1,解得：n=-l, “直线CM的解析式为=x-1, 答案第20页，共2页 当2时，少=) 3 2 31 .点G的坐标为2’2： (3)解：连接AC,如图： A(-1,0),B(4,0),C(0,2) OA=1,0C=2,0B=4 、OA10C21 002′0B42 OA OC ·0C0B' 又：∠A0C=∠C0B=90°， .△AOC∽△COB, ∴.∠ACO=∠CBO ①当点'在'轴的负半轴上点处，且OP=0C=2时，此时80垂直平分线段C,如图： D P 则郎=BC 答案第21页，共2页 ∠PBO=∠CBO 根据“三线合一”的性质可得， .∠CBP=2∠CBO=2∠ACO P “此时点符合题意， 0,-2) .此时点的坐标为 ②作点0，-2 关于直线BC的对称点P,连接P交BC于G,交轴于H,如图： 根据轴对称的性质可得∠CBP=∠CB=2∠1C0,直线BP与'轴的交点坐标即为所求的 点P的坐标， B4,0,C0,2,0,-2) :.BC=V22+4=25,CR=2+2=4 S.cn=2CR·0B=2CBRG .RG-CR.OB-4x4-85 CB255 :∠ROH=∠RGC=90,∠0PH=∠GPC ROHRGC 答案第22页，共2页 :o1R0 OH 2 =,即55 ∴.OH=1, .H(1,0) [k2+b2=0 [k2=2 设直线PH的解析式为y=kx+b,(k2≠0)，则b,=-2，解得b,=-2, 六直线的解析式为'=2x-2, PH [4k3+b=0 2 设直线BC的解析式为y=kx+6(k≠0，则五=2，解得么=2， 六直线2C的解折式为y= 2r+2, y=2x-2 将直线PH的解析式与直线C的解析式联立，组成方程组y= BC 2+2, 1 8 x=- 解得 6’ y=5 ,. .86 根据轴对称的性质可知，点C·兮是线段Pp的中点， 1622 4k4+b=0 设直线的解析式为v=k,x+b,化，≠0，则5么+么-忍 16 BP =5,解得b=22, 答案第23页，共2页 ·直线BP的解析式为少= 2x+22, 令x=0,得y=22 0,22) 此时点的坐标为 综上所述，点P的坐标为 (0,-2)(0,22) 或 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，利用待定系数法求二次函数解析式，一 次函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象 及性质，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短距离， 等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键、 6.(1)a=-1,b=-2: (2)当t=-2时，PK+KE的最大值为4，此时P(-2,3) M(1,3) 3) 【分析】本题考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二 次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键. （1)将B-3,0,CL.0)代入y=ar+br+3 得到二元一次方程组求解即可： (2)由(D可知抛物线的解折式为一-2+3，得直线40的解折式为=+3」 ,设 P,-子-21+3列，则K,1+3),故PK+kE=--=-+2+4,再根据二次函数的性 质求解即可； (3)先求平移后的抛物线解析式为”=--2+4 ,再证明△PRC为等腰直角三角形，由 ∠MCF+∠PCB=135°得∠MCF=90°，过C作CM⊥CF,交移动后的抛物线于M.当 x=l时，=-(-2+4=3，即M,3) 【详解】(1)解：将B(-3,0,C,0代入=ar+r+3 ， 答案第24页，共2页 9a-3b+3=0 a+b+3=0, .a=-1,b=-2: y=-x2-2x+3 (2)解：由(1)可知抛物线的解析式为 .A(0,3) 设直线AB的解析式为y=x+3,则0=-3k+3,解得：k=1, ∴.直线AB的解析式为y=x+3, 设P--21+3到，则K+3), .PK=-t2-3t, :A0=B0=3, ∴.∠BA0=45°， AE=KE」 .KE=3-t-3=-t, .PK+KE=-t2-4t=-(t+2)2+4 当t=-2时，PK+KE的最大值为4，此时P(-2,3): (3)解：设抛物线向右平移n个单位， ·平移后的抛物线解析式为'=x+1-0+4 抛物线平移后经过原点， .-(1-n)2+4=0 解得：n=3或n=-1(舍)， ·平移后的抛物线解析式为"=-(-2+4 P(-2,3), .PR=3,RO=2, y=--2x+3,令=0，则=-3或1， 答案第25页，共2页 .C1,0) ∴0C=1, :.RC=RO+OC=3, .RC=RP, ∴.△PRC为等腰直角三角形， ∠PCB=45°， :∠MCF+∠PCB=135°， ∠MCF=90°， 过C作CM⊥CF,交移动后的抛物线于M, 当x=1时，y=-(x-2)+4=3 .M(1,3) 7.0-14到 (2)S=6 9o9》.含)g9》 120 【分析】本题主要考查了抛物线顶点坐标的确定、二次函数的综合应用、一元二次方程的 应用、矩形的周长和面积等知识点，灵活利用方程的思想和函数的思想是解题的关键。 (1)先将方程化成顶点式，然后直接写出顶点坐标即可： (2)设F的坐标为x),则MW=2(-1-,进而得出矩形周长C=2(x+2+10,进 而求出MN,P即可得出矩形的面积，再运用二次函数的性质求最值即可： 答案第26页，共2页 329 (3)①设H的坐标为x川，直线4C:y=x+3.易得HE= x+2)+4,再根据二次 函数的性质求解即可：②利用DH=GH建立方程求出点H的坐标即可. 【详解】(1)解：y=-x2-2x+3=-x+12+4 ·顶点D的坐标为4) (2)解：设F的坐标为x川，则N=FP=2-1-刘 :矩形周长C=4-1-x+2y=4-1-x刘+2-x2-2x+3到=-2x2-8x+2=-2x+2)2+10 ·当x=-2时，矩形周长最大，此时MN=2-1-刘=2，P=3 .矩形面积S=6. (3)解：①如图： ·y=-r2-2r+3 4-30,B1,0,C10,3) 设直线MC的解析式为： y=kx+b 「0=3k+b :3=b .直线AC的解析式为：y=x+3」 设H的坐标为x列，则6 G(x,0) 答案第27页，共2页 s=c-80=r-28-+=-=. 3 H315) :当=一2时，HE最大，此时点24， ②设H的坐标为少，则G(x,0,D-L4 当DH=GH时，此时G在A的右侧或G在B的左侧，GH=,DH=(x++(y-4, :广=x++y-4=r+2x+y-8y+17,即2+2x-8y+17=0. y=-2-2+3 :9r+18x-7=0 1 7 ·x=3或x=3 ag38》 120 8.)y=x+5x-6 2PD+5PE的最大值为9，P-2,-12) -37+V473-91-√473 -37-V473-91+√473 (3)存在： 8 32 或 8 32 【分析】(1)直接运用待定系数法求解即可： (2)如图：过P作PH∥y'轴交直线BC于H,由二次函数的性质可得点 0,-6),对称轴 为直线x= 一2：再通过证明。PHE是等腰直角三角形，即EH=PE,进而得到PH=√2PE: 再运用待定系数法求得直线BC的解析式为”=-X-6,设点P卫D+5p-6),则 答案第28页，共2页 HP,-p-6,进而得到PD+PE=PD+PH=D+4p)+5,然后运用配方法求最值 即可解答： (3)先直线4P的解析式为'=4-4，再求得M(0,-4 ,然后确定平移后的抛物线解析式 为9a 再用两点间距离公式表示出 AN2、MN2、AM2 然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答. 【详解】(1)解：将410)，B-6,0) 两点代入y=r+x+C可得： [0=1+b+c 0=36-6b+c, b=5 解得：c=-6, 六抛物线的表达式为'=r+5r-6】 ∥'轴交直线BC于H, PH∥y (2)解：如图：过点P作 ·抛物线的表达式为”=x+5r-6 5 ∴点C0,-6),对称轴为直线x=2, 答案第29页，共2页 :0Cs6 B-6.0) .0B=6, ∴.OB=OC,即△BOC是等腰直角三角形， .∠0CB=45°， :P阴∥V轴 ∴.∠PHC=∠OCB=45°， PE⊥BC, ∴.△PHE是等腰直角三角形，即EH=PE, PH=HE+PE2=PE+PE2=PE 设直线BC的解析式为 =kx+b 0=-6k+b 则1-6=b, [k=-1 解得：b=-6, ÷直线8C的解析式为 =-x-6 设点Ppp+5p-),则Hp,-p-6, m=2p-(】-5+20.m=p-6D+5p-6=p-p. PD+PE=PD+PH =5+2p+-p2-6p =-p2+4p+5 答案第30页，共2页 =-(p+2)2+9 ÷当p=-2时，即P-2,-12时，PD+5PE的最大值为9. PD+V2PE的最大值为9，P-2,-12) (3)解：存在： 如图：设直线AP的解析式为y=mr+n, 「0=m+n 则-12=-2m+n, m=4 解得：n=-4, ·直线”的解析式为 =4x-4 把x=0代入y=4x-4得：y=-4, ,连接AP交y轴于点M, :M(0,-4 r46 49 4，抛物线沿射线CB方向平移22个单位， 将抛线r 49 4向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析 答案第31页，共2页 +24, , .M(0,-4)A1,0) ·.AM2=(1-0)+[0--4]=17, wei-旷+旷共可 wa-re-re .∠AMW=90 AN:=MN+AM re-n 4n2+37n+56=0 整理得： 解得：n37+④ 8 或37-43 8， 把”=37+v4 ( 答案第32页，共2页 把”=37-47 (9241 8 代入n+ 24得： /9241_-91+V473 n+2-4 32 -37+V473-91-√473 -37-V473-91+V473 ∴.点N的坐标为 d 32 或 8 32 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的 判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键. 9030 2点PL2,PA+PC的最小值为32 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用、求出函数解析式、二次函数的性质等知识点， 掌握二次函数的对称性以及数形结合的思想是解题的关键 (1)根据抛物线的对称性求解即可； (2)根据抛物线的对称性得到PA+PC=PB+PC≥BC,得到当P、B、C三点共线时， PA+PC的值最小，且为BC的长，求出直线BC的解析式，其与对称轴的交点即为点P的 坐标，两点间的距离公式求出BC的长，即为PA+PC的最小值： （3)先根据题意补全图形，设M(m,-m+2m+3列，则(m0,Qm,-m+3列，将 M0+V2C0的最大值转化为二次函数求最值，即可得解。 【详解】(1)解：：点-1,0 关于对称轴的对称点为点B,对称轴为直线x=1, 点B为30 (2)解：：抛物线'=r+hr+3(a≠0) 与y轴交于点C, 答案第33页，共2页 :C0,3) 如图：连接BC交对称轴于点P,连接AP, C P ,点A关于对称轴的对称点为点B, .AP=BP. ∴.PA+PC=PB+PC≥BC, 当P、B、C三点共线时，PA+PC的值最小，且为BC的长， B30) .BC=V32+32=3√2 设直线BC的解析式为：y=c+n, n=3 n=3 则：3k+n=0,解得：k=-1, BC y=-x+3 ∴直线的解析式为： 点P在抛物线的对称轴上， :P12) ÷点P1,2),PA+PC的最小值为35 (3)解：如图：过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q. 答案第34页，共2页 B A-1,0),B3,0) 设抛物线的解析式为：y=ax+l(x-3) C0,3) .3=-3a,解得：a=-1, :.y=-(x+(x-3)=-x2+2x+3 设Mm.-m+2m+3列，则m,0， 由(2)知：直线8C:y=-+3, (m,-m+3到 :.M0=-m2+2m+3-(-m+3到=-m2+3m C0,3),B3,0) ∴.OC=OB=3,BW=3-m, ∴.∠OBC=∠OCB=45°， ∠NQB=∠OBC=45° :.BO=V5BN=2(3-m :.C0=BC-B0=3W2-32+V2m=√2m 答案第35页，共2页 :M0+2c0=-m2+3m+52m=-m2+5m=-m- 5 M5) :当m=2时，M0+Vc0有最大值，此时气24) 10.(①)少-r+2x+3 ,315 1±5 (2)①-5≤n≤4：②存在， (2’4:③m的值为2或1或-2 【分析】(1)根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析 式列式求解即可； (2)①开口方向向下，离对称轴越远y值越小，据此即可求解： ②根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、V的坐标，然后用含有m的式子表示出 PN,整理并根据二次函数的最值问题解答； ③分类讨论，每个顶点为直角时，再构造三垂直相似，建立方程求解即可. 【详解】(1)解：当x=0时，y=3,当y=0时，-x+3=0,解得x=3, 六点B、C的坐标分别为B(3,0,C0,3) 「-9+3b+c=0 [b=2 ∴.c=3 ,解得c=3, y=-x2+2x+3 所求函数关系式为 (2)解：①，对称轴为直线x=1,且开口向下， .当m=-2时，n=-5为最小值： 当m=1时，n=4为最大值， ∴.当-2≤m≤2时，-5≤n≤4： ②：点Pm,m在抛物线y=-+2x+3上，且PN1x轴， 设点Pm,-m+2m+3列，则点N(m,-m+3引， 答案第36页，共2页 w-w-w=a2如+-w4-- 3 9 当m p315) 2时，线段PN的长度的最大值为4，此时点气2'4： ③当∠BPC是直角时，如图，过P作GH∥x轴交y轴于点G,过B作BH⊥GH于点H, V角 PG =m,PH=3-m,BH=-m2+2m+3,CG=-m2+2m, 由辅助线可知∠PGC=∠BPC=∠H=90°， ∴.∠CPG=∠PBH=90°-∠BPH, .△PCG∽△BPH, ..PG_CG m -m2+2m BHPH'即 -m2+2m+33-m 解得m=1±5 2 当∠PCB=90°时，如图， 同理可得△PCG∽△CBO, OC=OB, :GC=PG,即m=-m+2m 解得m=0(舍去)或m=1: 答案第37页，共2页 当∠PBC=90°时，如图， H 同理可得△BPH∽△CBG, .CG=BG=3, PH=BH,即3-m=-(-m2+2m+3到 解得m=3(舍去)或m=-2: 1±v5 综上，m的值为2或1或-2. 【点晴】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数点的 坐标特征及最值问题、直角三角形的存在性问题等内容，构造三垂直相似是解决最后一问 的关键 1.0+4 (2)存在，坐标为0,4、(24、1+7，-4、(1-7，-4， (3)4 【分析】(1)利用待定系数法即可求解； (2)先求AB的长度，再结合三角形面积公式得点P的纵坐标，代入抛物线解析式求横坐 标： (3)先求得直线BC的解析式为y=-x-4,设( 则Fx,-x+4),利用 对称性质求得2-x方x+4 推出GH=EF=+2,G=H=2x-2利用 2 答案第38页，共2页 矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解： 【详解】(1)解：抛物线y=-2r+r+c与x轴交于B(4,0)与y轴交于点C0,4, [_1x4+4b+c=0 2 c=4 [b=1 解得c=4. 摊物线向解折式为了产+4 (2)解：当弓+4=0时，即-2x-80 解得x=-2或x=4 则点1的坐标为-2,0)】 AB=4-（-2)=6 设P叫k川，则S×AB×=12 即2×6x=12,解得=4 当，=4时，方r44即g-20 解得x=0或x=2 P的坐标为 ,4或2,4到 当，=4时，宁x+4=4即-2x-160 解得x=1+7或=1-厅 P的坐标为1+7,4或1-7,4， 所以存在点使得△ABP的面积等于12，坐标为(Q,4、(2,4、(1+7,4、(-7,4, 答案第39页，共2页 (3)解：：已知点B(4,0)与C0,4) BC y=k+4 设直线的解析式为 则0=4k+4 解得k=-1. y=-x+4 ∴.直线的解析式为 设( ,日0<x<4, 则F(x-x+4) GH=EF=2+4-+4=- x2+2x. 2 1 X=- =1 :抛物线的对称轴为直线 1 2× 2J 2-x ∴.GF=EH=2x-2. 依题意得2（分r+2x+2x-2小=1， 解得x=5或x=3」 .5>4 ∴.x=5(舍去) :BH=2x3-1)=4 【点睛】本题考查的是二次函数综合.熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，待定系数 法求一次函数解析式，再通过面积公式列方程找抛物线上的点和一次函数图象上点的坐标 特征，两点之间的距离公式和矩形的性质，二次函数的对称性，解题的关键是求出二次函 数和一次函数解析式以及分情况讨论. 12.(1)=-+2x+3C(-1,0) 答案第40页，共2页 2ML,4或2,3 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数的几何应用等知识，熟练掌握 二次函数的图象与性质是解题关键 y=-x+3 A,B (1)先根据一次函 的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可 得：当y=0时，解方程即可求得C点的坐标； (2)根据4，C的坐标得出AC=4,根据题意得出MN-2,设Mm,m+2m+3列，则 Nm+3),表示出MN,列出方程，解方程即可求解. y=0 得，+3=0 y=-x+3 ,=3 【详解】(1)解：将代入直线 ，解得 ÷430) 将x=0代入直线y=-x+3得：y=3, :B0,3) -9+3b+c=0 将点A(3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c得：c=3 [b=2 解得c=3, =-x2+2x+3 抛物线的解析式为 当y=0时，-x2+2x+3=0 解得：-山3 :C-1,0 (2)C-l,0),A3,0) .AC=4 答案第41页，共2页 MN-TAC ∴MN=2, 设M(m,-m+2m+3),则m,-m+3), :MN=-m2+2m+3-(-m+3到=2 解得：仍1m=2 :-m2+2m+3=4.3 :M(1,4或2,3 1.a=r++2 (2)P点见解析： 220 (3)39或14，-40) 【分析】本题考查二次函数的综合，能够正确做出辅助线是解题关键： (1)利用待定系数法求解即可： (2)根据轴对称的性质先找到P点，然后确定P点为函数对称轴和直线BC的交点，求出 BC的函数解析式以及二次函数的对称轴，进而可求出P点： .BT⊥CQ (3)当Q在8C上方时，过B作8 MN⊥y 于T,过T作 BM⊥MN 轴于N,过B作 于M,证明△BTM≌aTCN(AAS),有BM=NT,7M=CN,设Tmm,可得 x+2 3 n=m，即知。，直线解析式为1。，联立 解得 4-m=n-2 T3,3) CT y= 3t+2 21 1 y=- 2+2 答案第42页，共2页 D点坐标：当Q在BC下方时，过B作 R⊥CQ 于R,过R作 W⊥y 轴于W,过B作 BS⊥SW 于S,同理可得点坐标。 【详解】（1)解：把-20)，B4,0两点，代入抛物线=+hr+2, [4a-2b+2=0 ∴.16a+4b+2=0, a= 4 解得 b-2 2+2 做抛物线的解析式为：y三-4r2+ (2)如图，P点即为所求， VA 1 ·抛物线的解析式为：y= 2r+2, 当x=0时，y=2, ÷C0,2 设直线BC的解析式为：y=mr+”,代入B4,0),C(0,2, [4m+n=0 得到n=2, 1 m=- n=2 答案第43页，共2页 1 y= 2+2, 1 1 ,二次函数y= 4+2+2, ÷函数的对称轴为直线=1,4B 两点关于直线=引对称， .PA=PB, ∴.△PAC的周长为：PA+AC+PC=AC+PC+PB≥AC+BC, B,C,P △PAC .当 三点共线时， 的周长取到最小值， 此时P点在对称轴上， 3 六将x=代入y=-2+2,得到y 1 2, ·P点坐标为2 ∠QCB=45° (3)解：抛物线上存在点Q,使 ,理由如下： BC BT⊥CO MW⊥y 当Q在上方时，过B作 于T,过T作 轴于N,过B BM⊥MN于 M,如图： -M ∠QCB=45° ∴.△BCT是等腰直角三角形， ∴.∠BTC=90°，BT=CT, ∴.∠CTN=90°-∠BTM=∠TBM, .∠M=∠TNC=90°， :△BTM≌aTCN(AAS ∴.BM=NT,TM=CN, 答案第44页，共2页 设Tm列，则N7=m,BM=n, B(4,0).C(0,2) TM=MN-NT=4-m,CN=ON-OC=n-2 ..BM=NT,TM=CN, 「n=m ∴.4-m=n-2' m=3 解得n=3 733) 设直线CT解析式为y=pr+g, 3p+q=3 把C(0,2),T(3,3)代入得9=2， 1 P= 3 解得g=2’ ·直线cT解析式为y=3x+2, y=-x+2 3 联立 = 1 1 x2+ x+2 4 [.2 解得 20 s 9 . 当Q在8C下方时，过B RLCO于R,过R作 W⊥y 轴于W,过B作 BS⊥SW 于S, 答案第45页，共2页 如图： 同理可得 W △BSR≌△RWC(AAS ∴.BS=RW,RS=CW, 设R(pg) 「-q=p .4-p=2-9, p=1 解得9=-1， :R(1,- 设直线CR解析式为y=Kx+b', k'+b'=-1 把C(0,2),R(1,-1代入得，b'=2, K=-3 解得，6=2， 直线CR解析式为 =-3x+2 y=-3x+2 1x+x+2, 联立y=4 2 [x=14 解得y=-40, 14,-40 答案第46页，共2页 220 综上所述，9的坐标为3’9或(14，-40) y=-x2+2x+3y=x+1 14.(1) (2PA+PN的最小值为3V5, 1,2 此时点P的坐标为 8 ③我成25 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次 函数的相关知识是解题的关键. (1)利用待定系数法求解即可： (2)根据①)所求，可得3,0，N(0,3)则可求出BN=VON+0F=35,由抛物 线的对称性可得PB=PA,则当P、B、N三点共线时，PB+PV有最小值，即此时 PA+PN有最小值，最小值为BN的长：求出直线BN解析式为y=-x+3,对称轴为直线 x=1,据此可得答案； (3)分AM是斜边、AN是斜边、MN是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解 即可. 【详解】（)解：：抛物线y=-+br+c与一条直线相交于1-10，C23引两点， 「-1-b+c=0 .-4+2b+c=3, (b=2 解得c=3 六抛物线的函数表达式为=-+2x+3 设直线AC的函数表达式为y=+n, [-k+n=0 将A-1,0)、C(2,3)分别代入y=x+n中可得2k+n=3, 答案第47页，共2页 [k=1 解得n=1, .直线AC的函数表达式为y=x+1」 (2)解：设抛物线与x轴的另一个交点为B, 在少=-2+2x+3 中，当=0时，=3 当y=0时，-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3, .830,w10,3) ∴.OB=ON=3, .BN =JON2+0B=32 如图所示，连接PB, 由抛物线的对称性可得PB=PA, ∴.PA+PN=PB+PN, 当P、B、N三点共线时，PB+PN有最小值，即此时PA+PV有最小值，最小值为BN 的长： 同理可得直线BN解析式为y=-x+3, 抛物线解析式为y=-x+2x+3=-(x-1)2+4 .对称轴为直线x=1, 在y=-x+3中，当x=1时，y=-x+3=2, :PA+PN的最小值为3W5,此时点P的坐标为L,2列 (3)解：由(2)可知对称轴为直线x=1, 设点4Lm 答案第48页，共2页 A-1,0).M(1m)N0,3) :.AM2=(-1-12+(0-m)2=4+m2.AN2=(-1-02+(0-32=10 MN2=1-02+m-3)2=1+(m-3)2 当M是斜边时，则4+m=10+1+m-3那，解得如 当4N是斜边时，4+m+1+(m-3=10可得：m=1或2： 当MN是斜边时，4+m2+10=1+m-3可得：m=-子 3 点M前华标为废1或L2或-引 1,8 答案第49页，共2页