第9章《因式分解》单元卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册第9章《因式分解》单元卷 一．选择题（共10小题） 1．下列四个多项式，能因式分解的是（　　） A．a﹣1 B．a2+1 C．x2﹣4y D．x2﹣16x+64 2．下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 3．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 4．多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 5．将多项式3a2﹣6a进行因式分解，其中正确的是（　　） A．3a2﹣6a＝3a（a﹣2） B．3a2﹣6a＝3（a2﹣2a） C．3a2﹣6a＝3a2（a﹣2） D．3a2﹣6a＝a（3a﹣6） 6．计算（﹣2）2025+（﹣2）2026的结果为（　　） A．﹣22025 B．﹣22026 C．22025 D．22026 7．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1 8．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（　　） A．4a2﹣9 B．4a2﹣4a+1 C．4a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4 9．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 10．一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断m2n+mn2的值为（　　） A．135 B．85 C．105 D．115 二．填空题（共8小题） 11．有下列变形：①（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2；②x2﹣7x+6＝（x﹣1）（x﹣6）；③x2﹣2x﹣10＝x（x﹣2）﹣10．其中是整式乘法的有　 　 ，是因式分解的有　 　 ． 12．分解因式：x﹣x2＝　 　 ． 13．对多项式9a﹣12a2b用提公因式法分解因式，应提取的公因式是　 　 ． 14．因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　 　 ． 15．4a2﹣1因式分解的结果是　 　 ． 16．分解因式：a2﹣6a+9＝　 　 ． 17．若x+y＝3，xy＝2，则xy2+x2y的值是　 　 ． 18．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2＝　 　 ． 三．解答题（共10小题） 19．因式分解： （1）3m2﹣6m； （2）2a（b﹣c）﹣3（c﹣b）． 20．因式分解： （1）4a2﹣b2； （2）3x3y﹣6x2y2+3xy3； （3）（x+y）2﹣8（x2﹣y2）+16（x﹣y）2． 21．判断两个连续偶数的平方差是否是4的倍数，并说明理由． 22．已知代数式A＝4（a2b﹣ab2）﹣2（ab2﹣a2b）． （1）化简A； （2）若a﹣b＝2，ab＝3，求A的值． 23．已知三角形的边a，b，c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，判断三角形的形状并说明理由． 24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述因式分解的方法是　 　 ． （2）因式分解：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2025＝　 　 ． （3）化简：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n （n为正整数）． 25．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长为mcm，宽为ncm的小长方形，且m＞n． （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　 ． （2）若每块小长方形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2． ①试求m+n的值． ②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　 cm．（直接写出结果） 26．观察下列等式，并回答问题． 4×1＝22﹣02； 4×2＝32﹣12； 4×3＝42﹣22； 4×4＝52﹣32； … （1）将2024写成两个整数平方差的形式：2024＝　 　 ﹣　 　 ． （2）用含有字母n（n≥1，且n为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． （3）相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 27．我们把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：m2+8m+7． 解：原式＝（m2+8m+16）﹣16+7＝（m+4）2﹣9＝（m+4+3）（m+4﹣3）＝（m+7）（m+1）． 例2．求式子m2+8m+7的最小值． 解：原式＝（m+4）2﹣9， ∵（m+4）2≥0， ∴（m+4）2﹣9≥﹣9， ∴当m＝﹣4时，m2+8m+7有最小值﹣9． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）因式分解：m2﹣6m﹣7＝　 　 ；（直接写出结果） 当m＝　 　 时，多项式m2﹣6m﹣7有最小值，这个最小值是　 　 ； （2）已知m，n，p为某三角形的三边长，且满足2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0，求该三角形的周长． 28．在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解的过程． 解：设a2﹣2a＝m 原式＝（m﹣1）（m+3）+4…（第一步） ＝m2+2m+1…（第二步） ＝（m+1）2…（第三步） ＝（a2﹣2a+1）2…（第四步） （1）第二步到第三步运用了因式分解的　 　 ；（A．提公因式法；B．公式法） （2）该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果　 　 ； （3）请模仿以上方法，对多项式（x2+4x）（x2+4x+8）+16进行因式分解． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列四个多项式，能因式分解的是（　　） A．a﹣1 B．a2+1 C．x2﹣4y D．x2﹣16x+64 【分析】根据分解因式的方法逐个判断即可． 【解答】解：A．没有公因式，也不符合乘法公式，不能因式分解，故本选项不符合题意； B．没有公因式，也不符合乘法公式，不能因式分解，故本选项不符合题意； C．没有公因式，也不符合乘法公式，不能因式分解，故本选项不符合题意； D．x2﹣16x+64＝（x﹣8）2，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【解答】解：A．3（x﹣y）＝3x﹣3y，是整式的乘法，不是因式分解，故选项A不符合题意，； B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2，符合因式分解定义，故选项B符合题意； C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3，等号右边不是几个整式积的形式，故选项C不符合题意； D．6m2n2＝2m2•3n2，等号的左边不是应该多项式，不是因式分解，故选项D不符合题意． 故选：B． 3．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【解答】解：①2a﹣4＝2（a﹣2），属于因式分解； ②3x2+3xy＝3x（x+y），属于因式分解； 所以①和②都是因式分解． 故选：A． 4．多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是5mn， 故选：B． 5．将多项式3a2﹣6a进行因式分解，其中正确的是（　　） A．3a2﹣6a＝3a（a﹣2） B．3a2﹣6a＝3（a2﹣2a） C．3a2﹣6a＝3a2（a﹣2） D．3a2﹣6a＝a（3a﹣6） 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：3a2﹣6a＝3a（a﹣2）， 故选：A． 6．计算（﹣2）2025+（﹣2）2026的结果为（　　） A．﹣22025 B．﹣22026 C．22025 D．22026 【分析】先提公因式（﹣2）2025，再计算即可． 【解答】解：（﹣2）2025+（﹣2）2026 ＝（﹣2）2025×[1+（﹣2）] ＝（﹣2）2025×（﹣1） ＝﹣22025×（﹣1） ＝22025， 故选：C． 7．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1 【分析】根据平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式即可． 【解答】解：A、x2+xy+y2，三项，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； C、x2﹣2x＝x（x﹣2），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、x2+1不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（　　） A．4a2﹣9 B．4a2﹣4a+1 C．4a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4 【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2判断即可． 【解答】解：A、4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3），能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； C、4a2+2a+1，不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、a2﹣4a﹣4，不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 9．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 【分析】根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：∵（x+2y）2＝x2+4xy+4y2， ∴墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 10．一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断m2n+mn2的值为（　　） A．135 B．85 C．105 D．115 【分析】根据长方形周长和面积计算公式可得m+n＝9，mn＝15，再把所求式子分解因式得到mn（m+n），据此代值计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意得2（m+n）＝18，mn＝15， ∴m+n＝9， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝15×9＝135， 故选：A． 二．填空题（共8小题） 11．有下列变形：①（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2；②x2﹣7x+6＝（x﹣1）（x﹣6）；③x2﹣2x﹣10＝x（x﹣2）﹣10．其中是整式乘法的有　①　 ，是因式分解的有　②　 ． 【分析】根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【解答】解：变形①中，整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 12．分解因式：x﹣x2＝x（1﹣x）　 ． 【分析】直接提取公因式x即可． 【解答】解：x﹣x2＝x（1﹣x）． 故答案为：x（1﹣x）． 13．对多项式9a﹣12a2b用提公因式法分解因式，应提取的公因式是　3a ． 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：9a﹣12a2b＝3a（3﹣4ab）， 故答案为：3a． 14．因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　（x﹣1）（a﹣3）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣1）（a﹣3）． 15．4a2﹣1因式分解的结果是　（2a+1）（2a﹣1）　 ． 【分析】根据平方差公式进行解答即可． 【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a+1）（2a﹣1）． 故答案为：（2a+1）（2a﹣1）． 16．分解因式：a2﹣6a+9＝　（a﹣3）2 ． 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝（a﹣3）2． 故答案为：（a﹣3）2． 17．若x+y＝3，xy＝2，则xy2+x2y的值是　6　 ． 【分析】首先运用提公因式法进行因式分解，再进一步整体代入． 【解答】解：原式＝xy（x+y）， 当x+y＝3，xy＝2时， 则原式＝3×2＝6． 故答案为：6． 18．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2＝　（a+b）（3a+b）　 ． 【分析】图中长方形的面积＝3个边长为a的正方形面积+4个长为a宽为b的小长方形的面积+1个边长为b的正方形的面积；长方形的面积＝长×宽，据此可得因式分解的式子． 【解答】解：长方形的面积可以表示为：3a2+4ab+b2； 长方形的面积也可以表示为：（a+b）（a+a+a+b）＝（a+b）（3a+b）， 所以3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）． 故答案为：（a+b）（3a+b）． 三．解答题（共10小题） 19．因式分解： （1）3m2﹣6m； （2）2a（b﹣c）﹣3（c﹣b）． 【分析】（1）直接提取公因式3m即可； （2）把2a（b﹣c）﹣3（c﹣b）变形为2a（b﹣c）+3（b﹣c），再提取公因式（b﹣c）即可． 【解答】解：（1）原式＝3m（m﹣2）； （2）原式＝2a（b﹣c）+3（b﹣c）＝（b﹣c）（2a+3）． 20．因式分解： （1）4a2﹣b2； （2）3x3y﹣6x2y2+3xy3； （3）（x+y）2﹣8（x2﹣y2）+16（x﹣y）2． 【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式3xy，再根据完全平方公式分解因式即可； （3）先变形，再根据完全平方公式分解因式，然后化简即可． 【解答】解：（1）4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）； （2）3x3y﹣6x2y2+3xy3； ＝3xy（x2﹣2xy+y2） ＝3xy（x﹣y）2； （3）（x+y）2﹣8（x2﹣y2）+16（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣8（x+y）（x﹣y）+16（x﹣y）2 ＝[（x+y）﹣4（x﹣y）]2 ＝（5y﹣3x）2． 21．判断两个连续偶数的平方差是否是4的倍数，并说明理由． 【分析】设两个连续偶数为2n和2n+2（n为整数）．利用平方差公式计算平方差，提取公因式得4（2n+1），因2n+1是整数，故平方差是4的倍数． 【解答】解：设两个连续偶数分别为：2n、2n+2，则： （2n+2）2﹣（2n）2 ＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n） ＝（4n+2）×2 ＝2×（2n+1）×2 ＝4（2n+1）， 因为4（2n+1）是4的倍数， 所以两个连续偶数的平方差是4的倍数． 22．已知代数式A＝4（a2b﹣ab2）﹣2（ab2﹣a2b）． （1）化简A； （2）若a﹣b＝2，ab＝3，求A的值． 【分析】（1）根据去括号，合并同类项化简即可； （2）将A变形为6ab（a﹣b），再整体代入求值即可． 【解答】解：（1）A＝4（a2b﹣ab2）﹣2（ab2﹣a2b） ＝4a2b﹣4ab2﹣2ab2+2a2b ＝4a2b+4a2b﹣（4ab2+2ab2） ＝6a2b﹣6ab2； （2）由（1）知，A＝6a2b﹣6ab2， ∵a﹣b＝2，ab＝3， ∴A＝6a2b﹣6ab2＝6ab（a﹣b）＝6×3×2＝36． 23．已知三角形的边a，b，c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，判断三角形的形状并说明理由． 【分析】将原式变形为a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，于是得出（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，再根据非负数的性质得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，即可判断三角形的形状． 【解答】解：三角形为等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴该三角形为等边三角形． 24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述因式分解的方法是　提取公因式法　 ． （2）因式分解：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2025＝　（1+x）2026 ． （3）化简：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n （n为正整数）． 【分析】（1）根据已知材料结合提取公因式法直接回答即可； （2）仿照已知材料中的分解方法，先对代数式提取公因式（1+x），进而得出答案； （3）由已知材料及（2）的结论，不难归纳出（3）的答案，也可利用提取公因式法分解验证． 【解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法． 故答案为：提取公因式法； （2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）2025 ＝（1+x）[1+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）2024] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+...+x（1+x）2023] ＝..． ＝（1+x）2025（1+x） ＝（1+x）2026， 故答案为：（1+x）2026； （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）[1+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）n﹣1] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+...+x（1+x）n﹣2] ＝..． ＝（1+x）n（1+x） ＝（1+x）n+1． 25．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长为mcm，宽为ncm的小长方形，且m＞n． （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（2m+n）（m+2n）　 ． （2）若每块小长方形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2． ①试求m+n的值． ②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　42　 cm．（直接写出结果） 【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，即可得出结论； （2）①根据题意列出方程，再利用完全平方公式得出m+n的值；②先求出所有裁剪线长之和为6（m+n），再代入求值即可． 【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）， 故答案为：（2m+n）（m+2n）； （2）①依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+20＝49， ∵m+n＞0， ∴m+n＝7； ②∵所有裁剪线长之和为2（2m+n）+2（m+2n）＝6m+6n＝6（m+n）， ∴7×6＝42（cm）， 故答案为：42． 26．观察下列等式，并回答问题． 4×1＝22﹣02； 4×2＝32﹣12； 4×3＝42﹣22； 4×4＝52﹣32； … （1）将2024写成两个整数平方差的形式：2024＝　5072 ﹣　5052．　 ． （2）用含有字母n（n≥1，且n为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． （3）相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 【分析】（1）观察等式得出规律4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，令4n＝2024，解得n＝506，代入规律得2024＝（506+1）2﹣（506﹣1）2； （2）通过观察等式写出规律4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，再用平方差公式展开右边验证是否等于左边； （3）设相邻整数为k和k+1，计算平方差（k+1）2﹣k2＝2k+1，判断其是否为4的倍数． 【解答】解： （1）因为4×1＝22﹣02， 其中2＝1+1，0＝1﹣1； 4×2＝32﹣12， 其中3＝2+1，1＝2﹣1； 4×3＝42﹣22， 其中4＝3+1，2＝3﹣1； 4×4＝52﹣32， 其中5＝4+1，3＝4﹣1； 可得规律：4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2（n≥1且为整数）， 令4n＝2024， 解得n＝506， 代入规律得：2024＝（506+1）2﹣（506﹣1）2＝5072﹣5052． 故答案为：5072，5052． （2）因为4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2（n≥1且为整数）， 右边展开：（n+1）2﹣（n﹣1）2 ＝[n2+2n+1]﹣[n2﹣2n+1] ＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1 ＝4n， 右边与左边相等，规律成立． （3）设相邻的两个整数为k和k+1（k为整数）， 平方差为： （k+1）2﹣k2 ＝（k2+2k+1）﹣k2 ＝2k+1， 因为2k+1是奇数，而4的倍数是偶数， 因此相邻两个整数的平方差不是4的倍数． 27．我们把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：m2+8m+7． 解：原式＝（m2+8m+16）﹣16+7＝（m+4）2﹣9＝（m+4+3）（m+4﹣3）＝（m+7）（m+1）． 例2．求式子m2+8m+7的最小值． 解：原式＝（m+4）2﹣9， ∵（m+4）2≥0， ∴（m+4）2﹣9≥﹣9， ∴当m＝﹣4时，m2+8m+7有最小值﹣9． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）因式分解：m2﹣6m﹣7＝　（m+1）（m﹣7）　 ；（直接写出结果） 当m＝　3　 时，多项式m2﹣6m﹣7有最小值，这个最小值是　﹣16　 ； （2）已知m，n，p为某三角形的三边长，且满足2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0，求该三角形的周长． 【分析】（1）将多项式配方，根据题例题的方法解答即可； （2）将等式左边配方后，利用非负数的性质求出m，n，p的值，进而求解即可． 【解答】解：（1）m2﹣6m﹣7 ＝m2﹣6m+9﹣16 ＝（m﹣3）2﹣16 ＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4） ＝（m+1）（m﹣7）； ∵（m﹣3）2≥0 ∴（m﹣3）2﹣16≥﹣16 ∴当m＝3时，多项式m2﹣6m﹣7的最小值是﹣16； 故答案为：（m+1）（m﹣7），3，﹣16； （2）已知m，n，p为某三角形的三边长，且满足2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0， ∵2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0， ∴2m2﹣12m+18+n2﹣8n+16+p2﹣10p+25＝0， ∴2（m﹣3）2+（n﹣4）2+（p﹣5）2＝0， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，p﹣5＝0， ∴m＝3，n＝4，p＝5， ∴该三角形的周长为：3+4+5＝12． 28．在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解的过程． 解：设a2﹣2a＝m 原式＝（m﹣1）（m+3）+4…（第一步） ＝m2+2m+1…（第二步） ＝（m+1）2…（第三步） ＝（a2﹣2a+1）2…（第四步） （1）第二步到第三步运用了因式分解的B ；（A．提公因式法；B．公式法） （2）该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果　（a﹣1）4 ； （3）请模仿以上方法，对多项式（x2+4x）（x2+4x+8）+16进行因式分解． 【分析】（1）根据题意，可判断出该步骤的因式分解方法为公式法； （2）观察其结果，还可以进行公式法因式分解，故分解不彻底； （3）设x2+4x＝m，利用公式法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）从m2+2m+1变为（m+1）2， 采用了完全平方公式的逆运用， 故选：B； （2）不彻底， （a2﹣2a+1）2＝[（a﹣1）2]2； 故答案为：不彻底；（a﹣1）4． （3）设x2+4x＝m 原式＝m（m+8）+16 ＝m2+8m+16 ＝（m+4）2 ＝（x2+4x+4）2 ＝（x+2）4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/3 16:33:47；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $