2025届高三数学三轮复习之回归教材：教材经典试题回顾及变式训练：双曲线

你对教材越熟悉，面对高考试题就越亲切，因为不是题干熟悉就是解法熟悉 回归教材：教材经典试题回顾及变式训练：3.2 双曲线 1.（教材P127习题T1改编）. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 【答案】9 【解析】由题意得，焦距，可得，在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以 2.（教材P124.T4）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 【答案】或 【解析】若双曲线焦点在x轴，设方程为，则渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线标准方程为：； 若双曲线焦点在y轴，设方程，则渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线标准方程为：； 所以双曲线标准方程为或 3.教材（P126练习T1） 已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 【解析】设，因为， 所以，整理得， 故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 变式:已知M，N为椭圆上关于短轴对称的两点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，设k1，k2分别为直线MA，NB的斜率，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式1：(教材P145T11)已知的两个顶点A，B的坐标分别是，且AC，BC所在直线的斜率之积等于，试探求顶点C的轨迹. 【解析】设点C的坐标为， 由已知得：直线AC的斜率，直线BC的斜率， 由题意知，整理得， 当时，顶点C的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点； 当时，顶点C的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点； 当时，顶点C的轨迹是圆，并除去两点； 当时，顶点C的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点. 4（教材P146T13）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状． 【答案】，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆； 【解析】对于方程， 当时，方程为，即，表示轴； 当时，方程为，即，表示轴； 当且时，方程为， 若，即时，方程为圆，，表示以原点为圆心的单位圆； 若，即或时，方程表示双曲线； 若且时，即且时，方程表示椭圆； 综上，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆； 变式1：(P145教材复习参考题 3复习巩固P145.T3. 当从0到变化时，方程表示的曲线怎样变化？ 【答案】（1）当时，表示两条直线；（2）当时，表示圆；（3）当时，表示椭圆；（4）当时，表示双曲线. 【解析】（1）当时，，曲线即，表示两条直线； （2）当时，，曲线，表示圆； （3）当时，，曲线表示椭圆； （4）当时，，曲线表示双曲线. 变式2： 已知方程表示双曲线，求m的取值范围． 【答案】 【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或，即 5.（教材P127习题T2） 求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）设双曲线的方程为， 将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 6.（教材P127习题T6）求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程． 【答案】. 【解析】设所求的等轴双曲线的方程为：， 将代入得：，即， 所以等轴双曲线的标准方程： 7.（教材P127T5）. 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析. 【解析】连接QA，如图所示：因为l为PA的垂直平分线， 所以，所以为定值，又因为点A在圆外，所以， 根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线. 8.（教材P128T11）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 【答案】. 【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离， 即 所以动点M的轨迹方程：. 变式:由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，点M为该双曲线上任一点，O为原点，过点M作双曲线的两渐近线的平行线分别与两渐近线交于A，B，已知的面积为且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以下焦点为， 法一：渐近线方程为，即 ，则下焦点到的距离为， 设， 同理 ，得，所以渐近线方程为：故选： 法二：（速解）由结论（双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴b）知 由二级结论（过双曲线上点任一点M作双曲线的两渐近线的平行线分别与两渐近线交于A，B，则平行四边形OAMB的面积为）知得，所以渐近线方程为：故选：B。 9（教材P128T12） 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】， 【解析】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则，所以， 10（教材P128T14）T25. 已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 【解析】联立方程可得， 因为有唯一公共点且，则， 整理得，可解得点坐标为，即，其中，于是，过点M且与l垂直的直线为， 可得，即， 则，即，其中， 所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）， 如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）. 学科网（北京）股份有限公司 $$你对教材越熟悉，面对高考试题就越亲切，因为不是题干熟悉就是解法熟悉 回归教材：教材经典试题回顾及变式训练：3.2 双曲线 1.（教材P127习题T1改编）. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 2.（教材P124.T4）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 3.教材（P126练习T1） 已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 变式:已知M，N为椭圆上关于短轴对称的两点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，设k1，k2分别为直线MA，NB的斜率，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式2：(教材P145T11)已知的两个顶点A，B的坐标分别是，且AC，BC所在直线的斜率之积等于，试探求顶点C的轨迹. 4（教材P146T13）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状． 变式1：(P145教材复习参考题 3复习巩固P145.T3. 当从0到变化时，方程表示的曲线怎样变化？ 变式2： 已知方程表示双曲线，求m的取值范围． 5.（教材P127习题T2） 求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 6.（教材P127习题T6）求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程． 7.（教材P127T5）. 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 8.（教材P128T11）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． . 变式:由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，点M为该双曲线上任一点，O为原点，过点M作双曲线的两渐近线的平行线分别与两渐近线交于A，B，已知的面积为且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9（教材P128T12） 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 10（教材P128T14）T25. 已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 学科网（北京）股份有限公司 $$