以椭圆为背景的离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

以椭圆为背景的离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练 以椭圆为背景的离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的离心率问题 以椭圆为背景的焦点三角形问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 以椭圆为背景的离心率问题 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意有且，中由勾股定理，得的齐次式可求离心率的大小. 【详解】因为直线，的斜率之积为，所以，， 由直线的斜率为3，可知，所以， 因为，所以，， 因为，所以，即， 所以，所以. 例2．（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 例3．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 例4．（2026·安徽安庆·模拟预测）焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点M是与的公共点且，点N在x轴上，满足，若，则与的离心率之积为____. 【答案】 【分析】根据求出，进而推得，由推得平分，即得，设，利用椭圆与双曲线的定义推得，结合余弦定理求得，代入离心率公式计算即得. 【详解】由条件可得，，因、、三点共线， 则得，则， 即，故， 因，而表示与同方向的单位向量，表示与同方向的单位向量， 由菱形的性质可得平分，故. 设，则， 因点是与的公共点，故得（为椭圆的长半轴长）， （为双曲线的实半轴长）. 则得，即 在中，由余弦定理得，解得， 设椭圆，双曲线的离心率分别为、，则. 变式1．（2026·河南郑州·二模）已知椭圆，椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆上任意点，, 根据点到直线的距离公式，可知到直线的距离为： ，其中， 所以的最大值为：， ​ 两边平方整理得， 椭圆中，则， 即离心率：. 变式2．（25-26高二下·湖北·期中）设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，利用椭圆和双曲线的离心率公式可得出，即可得解. 【详解】由题意可知，且， ，， 所以. 变式3．（25-26高一下·河北张家口·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的点，，求椭圆C的离心率______________. 【答案】 【详解】设椭圆的焦距为. 由题可知，中，，. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 即椭圆C的离心率为. 变式4．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】由，得，结合基本不等式和椭圆的性质有，可求离心率的取值范围. 【详解】由，得， 由椭圆的定义得，又，所以， 设，则有，， 点在椭圆上，有，所以， 则时，有最大值， 时，有最小值， 所以有， 由，有，所以， 由，有， 可得，解得（舍去）或， 因为，综上可知的离心率的取值范围为． 考点二 以椭圆为背景的焦点三角形问题 例1．（2026·四川达州·二模·多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 例2．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（    ） A．的周长为 B．若，则的最小值为 C．满足是直角三角形的点有 8 个 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可得的周长，判断A；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断B；分、、三种情况得到点个数，判断C；将看作是椭圆上的点与点连线的斜率，设直线的方程为，由直线与椭圆有交点，求得取值范围，从而得到的最大值，判断D. 【详解】 对于A：易知，，则. 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故A正确； 对于B：，. 当时，，故B错误； 对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时点共有4个； 以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为， 故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的点有4个； 综上，满足是直角三角形的点有 8 个，故C正确； 对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率. 设该直线的方程为. 联立，整理得， ， 由，得，即，解得. 所以的最大值为，故D正确. 例3．（2026·四川广安·二模·多选）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【分析】由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项. 【详解】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 变式1．（25-26高三上·浙江杭州·期中·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．的周长为 D．点P在圆上 【答案】CD 【详解】A：由椭圆的标准方程可知：， 由椭圆的定义可知：，所以本选项说法不正确； B：由椭圆的标准方程可知：， 所以椭圆的焦距为，所以本选项说法不正确； C：的周长为，所以本选项说法正确； D：， 因为，所以， 所以点P在以原点为圆心，半径为的圆上，即圆的方程为， 所以本选项说法正确. 变式2．（2026·湖南邵阳·二模·多选）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（   ） A．的周长为8 B． C．的最小值为 D．存在直线，使得 【答案】ABD 【分析】由椭圆的定义即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据椭圆弦长公式即可判断C；根据的最大角即可判断D． 【详解】A，根据椭圆的定义，， 所以的周长为，故A正确； B，根据基本不等式，，当且仅当时等号成立，故B正确； C，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立得，， ，， ， 当时，最小为1，故C错误； D，当直线过短轴顶点时，最大， 此时，即最大为， 所以存在直线，使得，故D正确． 变式3．（25-26高三上·广东广州·期中·多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．椭圆上不存在点，使得 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】先根据题干求出椭圆的标准方程，再利用椭圆的几何性质逐个分析选项即可. 【详解】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义可得的周长为，错误. 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即， 点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，正确. 若，根据焦点三角形的面积公式，可得的面积为，正确. 故选：. 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，即， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. （2）由（1）知，设过点的直线的方程为，设， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 例2．（2026·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点在轴上，满足，且. (1)求的标准方程； (2)过点的直线交于，两点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，求出的坐标，根据可得，再由得，再结合、求出可得答案； （2）设直线的方程为，，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入解得，求出点到直线的距离、弦长，由的面积可得答案.. 【详解】（1）由已知得，设点， 则， 因为，所以， 可得，由得， 即，， 再由可得，， 则的标准方程为； （2）由（1）知的方程为，且， 设直线的方程为，， 由得， 所以， ， 因为，所以， 即，代入韦达定理得 ，化简得，解得， 此时，符合题意， 点到直线的距离， 弦长 ， 所以的面积 ，将代入得 , 所以的面积为. 例3．（2026·重庆渝中·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 【答案】(1) (2)最大值，的方程为 【分析】（1）本问利用椭圆的定义求出，代入点坐标求出，从而求出椭圆标准方程； （2）设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，表示出三角形面积，利用基本不等式求出面积最大值，从而求出直线方程. 【详解】（1）解：（1）由两点间距离公式可得，， 根据椭圆的定义可得，所以， 又点在椭圆上，代入得，解得， 因此椭圆的方程为． （2）（2）设直线为，，， 联立，化简得， 则，，， ， 由基本不等式得， 当且仅当，即，亦即时等号成立, 此时取最大值为，所以的方程为. 变式1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为、，是上异于、的一动点，、分别为直线、的斜率，且． (1)求的值； (2)若直线与直线交于点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，通过斜率条件列出等式求解m的值即可； （2）设直线AP的方程为，联立椭圆方程求出P点的坐标，再利用向量条件列出等式求出t的值，最后据此即可求出的面积． 【详解】（1）由题意可得，，设， 则，解得． （2）设直线，，则， 联立，得，解得，， 所以，， 因为，可得，解得， ． 变式2．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知过点的椭圆的离心率为． (1)求的方程； (2)如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且，点P为直线AD与BC的交点. （i）求四边形ACBD面积的最大值． （ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）若直线的斜率存在且不为，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式即可求出面积，若直线的斜率存在或者为可直接求出长度和面积即可得出最值； （ii）设分别是与AC的交点，取AC的中点E，得出即可. 【详解】（1）依题意可得，解得，   所以椭圆方程为； （2）（i）若直线的斜率存在且不为， 设直线AB：，， 联立，得， 则， 则，     因为，所以可同理得， 则，   令，则， 因为，所以，则， 若直线的斜率不存在， 令，得，得，故， 则， 若直线的斜率为，同上，， 综上，四边形ACBD面积的最大值为．     （ii）设分别是与AC的交点，取AC的中点E，连接 因为，所以，则，则， 同理可得， 故， 故面积的最大值为. 变式3．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，动点K到点和点的距离之和为4. (1)求动点K的轨迹方程； (2)设动点K的轨迹是曲线C，直线l与曲线C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ. （ⅰ）求证：为定值： （ⅱ）已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，且，求四边形EFGH面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据椭圆的定义来求动点的轨迹方程. （2）（ⅰ）因直线平分线段且与直线垂直，设出直线方程，利用、在椭圆上得到等式，结合斜率定义转化，求出，关系得证， （ⅱ）由得到面积关系，进而得出四边形面积与的关系，通过联立直线与椭圆方程求交线段长和点到的距离，从而得到表达式，对变形求最值，进而得到四边形面积最大值. 【详解】（1）设，，， 由椭圆定义可知，动点的轨迹为椭圆， 其中长轴长，焦距， 由，，得， 所以动点的轨迹方程为. （2）（ⅰ）由题意可知直线的斜率不为0，设直线方程为：， 如下图所示， 由于直线：平分线段，所以直线与直线垂直， 所以，设，，则， 于是，由于， ，则，又，则，得证. （ⅱ）由题可知，如下图所示， 连接，， 则，易知， 令，得， 则直线与椭圆的交线段长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为， 不妨记为点，则到直线的距离， 所以，由题意可知，， 则， 所以四边形面积的最大值为，在时取到. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以椭圆为背景的离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练 以椭圆为背景的离心率问题、焦点三角形问题、面积问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的离心率问题 以椭圆为背景的焦点三角形问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 以椭圆为背景的离心率问题 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 例4．（2026·安徽安庆·模拟预测）焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点M是与的公共点且，点N在x轴上，满足，若，则与的离心率之积为____. 变式1．（2026·河南郑州·二模）已知椭圆，椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·湖北·期中）设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·河北张家口·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的点，，求椭圆C的离心率______________. 变式4．（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 考点二 以椭圆为背景的焦点三角形问题 例1．（2026·四川达州·二模·多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 例2．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（    ） A．的周长为 B．若，则的最小值为 C．满足是直角三角形的点有 8 个 D．的最大值为 例3．（2026·四川广安·二模·多选）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 变式1．（25-26高三上·浙江杭州·期中·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．的周长为 D．点P在圆上 变式2．（2026·湖南邵阳·二模·多选）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（   ） A．的周长为8 B． C．的最小值为 D．存在直线，使得 变式3．（25-26高三上·广东广州·期中·多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．椭圆上不存在点，使得 D．若，则的面积为 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 例2．（2026·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点在轴上，满足，且. (1)求的标准方程； (2)过点的直线交于，两点，若，求的面积. 例3．（2026·重庆渝中·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 变式1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为、，是上异于、的一动点，、分别为直线、的斜率，且． (1)求的值； (2)若直线与直线交于点，且，求的面积． 变式2．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知过点的椭圆的离心率为． (1)求的方程； (2)如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且，点P为直线AD与BC的交点. （i）求四边形ACBD面积的最大值． （ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求面积的最大值． 变式3．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，动点K到点和点的距离之和为4. (1)求动点K的轨迹方程； (2)设动点K的轨迹是曲线C，直线l与曲线C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ. （ⅰ）求证：为定值： （ⅱ）已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，且，求四边形EFGH面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $