基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 考点目录 基本不等式“1”的妙用求最值 基本不等式条件等式求最值 考点一 基本不等式“1”的妙用求最值 例1．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 例2．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 例3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 例4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 例5．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 例6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 变式1．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 变式2．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式4．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 变式5．（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 变式6．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 考点二 基本不等式条件等式求最值 例1．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 例2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·安徽滁州·一模·多选）若x，y，，且，则（   ） A．当时， B． C．当取得最大值时， D．当取得最小值时， 例4．（2026·江西南昌·一模·多选）已知，，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 例5．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 例6．（25-26高三下·重庆·月考）若实数满足，则的最大值是________． 变式1．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 变式2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 变式3．（2026·陕西宝鸡·模拟预测·多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·西藏日喀则·模拟预测·多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 变式5．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为______. 变式6．（2026·河南南阳·模拟预测）若实数满足，则的最小值为__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 考点目录 基本不等式“1”的妙用求最值 基本不等式条件等式求最值 考点一 基本不等式“1”的妙用求最值 例1．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 例2．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 例3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 例4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 例5．（2026·四川成都·模拟预测）已知均为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用“1的代换”构造乘积形式，化简后运用均值不等式求最小值. 【详解】由均为正数，且， 则， 当且仅当，解得时等号成立. 例6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 变式1．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 变式2．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为实数，满足， 对于A：取，此时，命题不成立，故A错误； 对于B：由，所以， 当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C：，所以不存在，使成立，故C错误； 对于D：由可得，所以， 故不存在，使得，故D错误． 变式3．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 变式4．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 变式5．（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . 变式6．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 考点二 基本不等式条件等式求最值 例1．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 例2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 例3．（2026·安徽滁州·一模·多选）若x，y，，且，则（   ） A．当时， B． C．当取得最大值时， D．当取得最小值时， 【答案】BCD 【分析】对A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B，根据条件，利用重要不等式，即可求解；对C，根据条件，利用基本不等式得到，构造函数，利用导数求出的单调区间，即可求解；对于D，根据条件，利用基本不等式得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于A，当时，由，得到，即 又x，y，，所以， 所以，得到，当且仅当时取等号，所以A错误， 对于B，因为，即， 当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，由，得到，则 ， 所以，当且仅当时取等号， 则，令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上递减， 即当，有最大值，所以C正确， 对于D，由选项C知，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 此时，所以D正确. 例4．（2026·江西南昌·一模·多选）已知，，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假. 【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误； 对B：因为，所以，故B正确； 对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确； 对D：因为，故D正确. 例5．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 例6．（25-26高三下·重庆·月考）若实数满足，则的最大值是________． 【答案】2 【分析】根据对数的运算性质和基本不等式求解. 【详解】由题可知，，所以同号， 所以当时，取得最大值，所以以下仅考虑， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以， 整理得，，解得， 所以的最大值是2. 故答案为：2. 变式1．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 变式2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 变式3．（2026·陕西宝鸡·模拟预测·多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ，解得， 指数函数单调递增， ，即，故A正确； 由基本不等式得， 两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； ， ， 当且仅当时取等号， ，故C正确； ，则， ， 由于函数的图象开口向上，对称轴， 故的最小值为，则，故D正确． 变式4．（2026·西藏日喀则·模拟预测·多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 变式5．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为. 变式6．（2026·河南南阳·模拟预测）若实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过对等式进行变形构造辅助函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】令，则等式变为，即. 设函数，则在上单调递增， 此时等式可写为，又， 所以，即. 所以. 令，则. 令，则， 所以单调递增，即单调递增. 令，则，则，当时，， 所以是的唯一解， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值，此时. 因为的最小值为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $