解三角形求最值问题（利用三角函数的有界性、基本不等式）专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 考点目录 利用三角函数的有界性求最值问题 利用基本不等式求最值问题 考点一 利用三角函数的有界性求最值问题 例1．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 例2．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）在锐角中，角所对的边分别为. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解.（2）利用，将化简为，再利用三角恒等变形化简，利用角的范围求函数的值域. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：，因为在锐角中，，， 所以，由于， 则. （2）因为， 所以， ， 因为在锐角中，，所以 ， ， 的范围是. 例3．（25-26高二上·广东·期中）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围. 【详解】（1）由可得， 化简得， 则由正弦定理得 ， 又由余弦定理， 因，所以； （2）如图， 因内心为，则和分别平分和， 则，则， 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为. 变式1．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的对称性可求得结果； （2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解. 【详解】（1）因为， 则， 所以最小正周期为， 由，解得， 所以的对称中心为. （2）由（1）及，即， 又，所以，解得， 又为锐角三角形，即，即，解， ， 又，， ， 所以周长的取值范围为. 变式2．（25-26高三上·河北雄安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用三角恒等变换得，则或，，根据三角形内角关系分析可得； （2）根据正弦定理和三角恒等变换得，再分析得，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 故， 即， 故或，.      而，故不成立，于是，          当时，； 当时，， 故，. （2）由（1）可得，，      由知，即，而又因为，故，于是， 根据正弦定理，          于是， 因为，故的取值范围是. 变式3．（25-26高三上·河北石家庄·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求的大小； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理并结合题设求出即可求解； （2）由结合角B的范围即可分析求解. 【详解】（1）由余弦定理及得， 显然，， ； （2）， ， ， 的取值范围是. 考点二 利用基本不等式求最值问题 例1．（2026·河北沧州·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式及诱导公式，利用正余弦定理的变形进行角化边，进行化简整理得解； （2）利用三角形面积公式和同角关系式及基本不等式求解. 【详解】（1），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； （2），， ， ， 当且仅当时，即时，等号成立， . 例2．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知 的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据余弦定理解三角形，求出角即可. （2）根据正弦定理边角互化和正弦二倍角公式，对条件进行变形，求出，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值. 【详解】（1）由已知得，由余弦定理得，即. （2）由，所以， 由正弦定理得，故. 由（1）知 ， 所以，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故的面积的最大值为. 例3．（25-26高三下·重庆·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求的值； (2)点是边上一点，且，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算求解； （2）应用向量的数乘运算及数量积公式，再结合余弦定理及基本不等式计算求解. 【详解】（1）由结合正弦定理得：，即， 由余弦定理：， 因为，所以； （2），， 即， 两边同时平方： ， ≥， ，当且仅当即时，取等号． ， 即的最大值为． 变式1．（2026·山西晋中·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据正弦定理得到，再代入计算，再求得. （2）利用余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）已知，由（1）知， 由余弦定理， 得， ，即， 　当且仅当时取等号， . 变式2．（25-26高三上·山东·月考）在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，利用辅助角公式得，结合角的范围即可求解. （2）利用正弦定理得，然后利用三角恒等变换得，结合，利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由，得， 即， 即， 而，故，所以， 即，因为，所以，所以． （2）因为为的平分线， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 因此 ． 又，所以，因此， 则， 当且仅当，即时，上式等号成立． 所以的最小值为． 变式3．（25-26高三上·重庆北碚·月考）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对化简利用和差公式得到，再由三角形三角关系化简得到，结合同角的平方公式求出. （2）先利用锐角三角函数得到，再由正弦定理化简得到，利用余弦定理和基本不等式求出，从而得到，进而求出的最大值为. 【详解】（1）因为， 所以； 即 即 即得，即 因为，即得到 ； 又因为,所以. （2）因为分别为边上的高，所以, 所以； 由正弦定理,所以，； 所以； 因为,，所以 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 考点目录 利用三角函数的有界性求最值问题 利用基本不等式求最值问题 考点一 利用三角函数的有界性求最值问题 例1.(2026河北张家口一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b+2 bcosA=c· (1)证明：A=2B; (2)若b=2,C=1,点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD+I的值； a (3)若ABC为锐角三角形，求的取值范围. 例2.(25-26高三上江苏宿迁·期中)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 asinB-√3b=0. (I)求角A的大小： (2)求sinA+sinB+sinC的取值范围. 解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 例3.(25-26高二上广东期中)已知ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a=√5， cos2B+cos2C+2sinBsinC=2-2sin24. (1)求A. (2)若ABC内心为I,求△IBC的周长的取值范围. 变式1.(25-26高三上黑龙江佳木斯月考)已知向量ā=(cosx,2sinx,6=(2cosx,V5cosx,函数f(x)=a·b. (1)求函数∫(x)的最小正周期及对称中心： ②在锐角。8C中，若f( =3且a=√5，求aABC周长的取值范围 解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 变式2.(25-26高三上河北雄安·期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 2+ccos(4+B) a cosA (1)求2A-B的值； (2)若B≥2C,求C的取值范围 a 变式3.(25-26高三上河北石家庄期中)在ABC中，角4，B,c的对边分别为a,b,c,已知b+2-ad=23 bcsin4 (1)求A的大小： (2)若a=5,且B∈匹，刀 6'2 求C的取值范围. 解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 考点二 利用基本不等式求最值问题 例1.(2026河北沧州一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 asin(B-C)+bsin(A-C)=csinC. (1)证明：a2+b2=3c2: (2)若c=V3,求ABC面积的最大值. 例2.(25-26高三下·辽宁抚顺月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+c2=b2+ac (1)求B; (2)若b(sinA+sinC)=8sin2B,求ABC的面积S的最大值 解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 例3.(25-26高三下·重庆月考)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 (sinB-sinC)2=sin24-sinBsinC. (1)求A的值； (2)点D是BC边上一点，且BD=2DC,若AD=4,求△ABC面积S的最大值. 变式1.(2026山西晋中模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 2(a+c)(sin A-sin C)=(2b-c)sin B. (I)求sinA; (2)若a=√15，求b+c的最大值. 解三角形：利用三角函数的有界性求最值问题、利用基本不等式求最值问题专项训练 变式2.(25-26高三上山东·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足aV3sinB+cosB=b+c. (1)求角A: (②)D为边BC上一点，若AD为角A的平分线，且AD=3,求AB+5BD的最小值. 变式3.(25-26高三上·重庆北碚·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为☑，b,c,且满足 3cos B+4sin B 3sin B-4cos B sin C cosC (I)求sinA； (2)若a=3,设ABC中b,c边上的高分别为BD,CE,求BD+CE的最大值 6