专题04 基本不等式及其应用（7大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题04 基本不等式及其应用 【题型归纳目录】 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：换元与消元法 题型五：“1”的代换求最值 题型六：利用基本不等式解决实际问题 题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）了解基本不等式的推导过程． （2）会用基本不等式解决简单的最值问题． （3）理解基本不等式在实际问题中的应用． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 1、掌握基本不等式的内容． 2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题． 3、会用基本不等式解决实际问题． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 题型一：基本不等式及其应用 【例1】（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 【变式1-3】（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（多选题）（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 题型二：直接法求最值 【例2】（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ． 【变式2-1】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．4 【变式2-3】（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，，，则的最小值为 ． 【变式2-4】（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则的最小值为 ． 【变式2-5】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知，且，则的最小值为 ． 【变式2-6】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若，，则的最小值为 ． 题型三：常规凑配法求最值 【例3】（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为 ． 【变式3-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知 则当a的值为 时取得最大值． 【变式3-2】若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【变式3-3】函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 题型四：换元与消元法 【例4】（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是 ． 【变式4-1】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数、、满足，，则的最大值为 ． 【变式4-2】（福建省2025届高三2月测评（金科百校联考）数学试题）已知，则的最小值为 ． 题型五：“1”的代换求最值 【例5】（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））若直线过点，则的最小值为 ． 【变式5-1】（江苏省宿迁市2024-2025学年高三第一次调研考试数学试题）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式5-2】已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【变式5-3】若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式5-4】（广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025学年高三十二月联考数学试卷）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 题型六：利用基本不等式解决实际问题 【例6】（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷））小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （    ） A．a<v< B．v= C．<v< D．v= 【变式6-1】（安徽省六安市2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ． 【变式6-3】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题 【例7】（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（陕西卷））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-1】若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（山西省2024-2025学年高三10月质量检测数学试卷）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D． 【方法技巧与总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 【强化测试】 1．（2025·广东·一模）已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值为 D．的最小值为2 5．（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 6．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高三上·河南周口·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 10．（多选题）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（多选题）（24-25高三下·浙江·开学考试）若正实数满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13．函数的最小值为 ． 14．若，，且，则的最小值是 . 15．（2025·山东青岛·一模）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ． 16．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式及其应用 【题型归纳目录】 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：换元与消元法 题型五：“1”的代换求最值 题型六：利用基本不等式解决实际问题 题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）了解基本不等式的推导过程． （2）会用基本不等式解决简单的最值问题． （3）理解基本不等式在实际问题中的应用． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 1、掌握基本不等式的内容． 2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题． 3、会用基本不等式解决实际问题． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 题型一：基本不等式及其应用 【例1】（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B． 【变式1-1】（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】范围可直接由基本不等式得到，可先将平方再利用基本不等式关系．由，，且， ，当且仅当时取等号 而，当且仅当时取等号 ． 故选：C． 【变式1-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C． 【变式1-3】（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 【变式1-4】（多选题）（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 题型二：直接法求最值 【例2】（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 【变式2-1】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C． 【变式2-3】（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，，，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【变式2-4】（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ， 当且仅当，即时成立， 故所求的最小值为． 【变式2-5】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：． 当且仅当，即时等号成立． 综上可得的最小值为． 【变式2-6】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若，，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）． 【考点】均值不等式 题型三：常规凑配法求最值 【例3】（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】，， ，当且仅当=4时取等号， 结合，解得，或时，等号成立． 故答案为： 【变式3-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知 则当a的值为 时取得最大值． 【答案】4 【解析】由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值． 【变式3-2】若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解析】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值． 故选：A 【变式3-3】函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； ， 当且仅当，即等号成立． 故选：D． 题型四：换元与消元法 【例4】（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号． ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式4-1】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数、、满足，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 所以， 由，解得， 故实数的最大值为． 【变式4-2】（福建省2025届高三2月测评（金科百校联考）数学试题）已知，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】设， 则． （当且仅当，即时，即取“＝”） 故答案为：9 题型五：“1”的代换求最值 【例5】（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））若直线过点，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】因为直线过点，所以， 因为 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8 故答案为：8 【变式5-1】（江苏省宿迁市2024-2025学年高三第一次调研考试数学试题）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【解析】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． 故选：A 【变式5-2】已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】因为， 所以，则， 所以． 因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D 【变式5-3】若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，所以， 所以，即， 所以，即，由，可知， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故选：A 【变式5-4】（广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025学年高三十二月联考数学试卷）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【解析】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立． 即的最小值为8． 故选：D． 题型六：利用基本不等式解决实际问题 【例6】（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷））小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （    ） A．a<v< B．v= C．<v< D．v= 【答案】A 【解析】设甲乙两地相距，则平均速度， 又∵，∴， ∵，∴， ∴，故选A． 【变式6-1】（安徽省六安市2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，行车的总费用为，其中， 由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，经济的车速是． 故选：C． 【变式6-2】（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ． 【答案】 【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30． 【变式6-3】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 【答案】160 【解析】设底面长方形的长宽分别为和，则， 所以总造价 当且仅当的时区到最小值 则该容器的最低总造价是160． 故答案为：160． 题型七：与基本不等式有关的恒（能）成立问题 【例7】（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（陕西卷））已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可．由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可， ， ， 当且仅当即时等号成立，， 或舍去，即 所以正实数a的最小值为4． 故选：B． 【变式7-1】若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 【变式7-2】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 【变式7-3】（山西省2024-2025学年高三10月质量检测数学试卷）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【解析】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求， 当时，开口向下，不满足题意， 所以， 令，得， 当时，不等式对任意的恒成立， 所以，即，且， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4． 故选：B． 【方法技巧与总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 【强化测试】 1．（2025·广东·一模）已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】取,满足,但，必要性不成立， 由基本不等式得,由题可知,则,解得,充分性成立， 则是的充分不必要条件， 故选：A 2．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：C． 3．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 4．设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值为 D．的最小值为2 【答案】B 【解析】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，， 所以的最大值为，当且仅当，即时等号成立，故D不正确. 故选：B. 5．（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【答案】C 【解析】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为． 故答案为：C 6．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】若，则， 所以函数， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 7．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可得， 故， 由于故，当且仅当，即时取等号， 故，故的最小值为3， 故选：C 8．（24-25高三上·河南周口·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，故， 故， 当且仅当，时取等号，故的最小值为. 故选:C. 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号， 即， 即，因为， 所以， 所以的最小值为20， 故选：C 10．（多选题）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，， ，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，，且，所以， 则，所以， 所以，所以，故B正确． 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，， ，当且仅当时取等号，故D正确． 故选：ABD 11．（多选题）（2024·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当时等号成立，A正确； 所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立， 所以，D错误； 因为，，所以，， 故，， 所以，C正确.. 故选：ABC. 12．（多选题）（24-25高三下·浙江·开学考试）若正实数满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 又， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，A错误； ，即，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，正确； 因为，，，故，， 所以， 所以，当且仅当时取等号，正确； 故选：BCD. 13．函数的最小值为 ． 【答案】4 【解析】易知函数的定义域为，， 当且仅当，即时取等号， 故当时，取得最小值，且最小值为4． 故答案为：4 14．若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由，则， 则， 当且仅当，即、时等号成立. 故答案为：. 15．（2025·山东青岛·一模）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设的公比为，因为，则，故，. 则， 当且仅当，即时等号成立，此时，但. 结合对勾函数的性质，当时，； 当时，， 因为，故的最小值为，此时. 故答案为： 16．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$