精品解析：云南迪庆州藏文中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

迪庆州藏文中学2025-2026学年（下） 2028届高一年级期中考试 数学试题卷 （全卷4个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效. 2.考试结束后，请将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知一组数据：的平均数为8，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为的平均数为8，所以，解得， 所以这组数据为. 又因为为整数， 所以该组数据的第60百分位数为. 3. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 4. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图象几何性质，可得答案. 【详解】由，则， ， 则. 故选：D. 5. 在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，. 6. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 8. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 二､多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误； 选项B，若，则，解得， 则，故B项正确； 选项C，若，则，所以，故C项正确； 选项D，，则，，， 所以，所以与的夹角不是，故D项错误， 故选：BC 11. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B. 数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C. 数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D. 数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数的概念，可判断A的正误；根据极差的求法，可判断B的正误；根据百分位数的求法，可判断C的正误；根据平均数、方差的性质，可判断D的正误. 【详解】选项A：数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4，故A正确； 选项B：数据7，9，12，15，9，14，18的极差是18-7=11，故B正确； 选项C：数据2，3，3，5，7，8，9共7个，， 则该组数据的第百分位数为7，故C错误； 选项D：数据，的平均数为， 方差为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高三年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为______． 【答案】49 【解析】 【分析】先算抽样比，再求男生抽取人数. 【详解】总人数：，所以抽样比：， 所以抽取的男生人数为． 13. 甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 【答案】 【解析】 【详解】甲一次投篮不命中的概率为， 乙一次投篮不命中的概率为， ∴两人都不命中的概率为， ∴至少有一人命中的概率为． 14. 如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为__________.（） 【答案】 【解析】 【详解】 设这棵树的高度为，树底为点，则，且， 在中，，所以（等腰直角三角形）， 在中，，所以， 由，得，解得． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先用平面向量运算法则求出，从而求出模长；（2）根据平面向量垂直得到方程，求出的值. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 由题意得：，解得：. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求边长c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与三角恒等变换可得，从而可得角C的大小； （2）由三角形的面积及可得的值，再根据余弦定理可得边长c． 【小问1详解】 由正弦定理得：， ∴， ∵，∴，∴，则． 【小问2详解】 ∵的面积为，则 ∴根据题意得，则或， ∵，∴ 由余弦定理可得， 即． 17. 甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求： （1）甲或乙命中的概率； （2）甲中、乙不中的概率； （3）甲不中、乙中的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用求解； （2）利用进行求解； （3）利用进行求解. 【小问1详解】 设“甲命中”，“乙命中”，则“甲或乙命中”， “甲中、乙不中”，“甲不中、乙中”，且，． 甲乙中靶与否独立， 所以． 【小问2详解】 甲乙中靶与否独立， 故． 【小问3详解】 甲乙中靶与否独立， 故． 18. 已知平行四边形中，． （1）求点坐标； （2）求对角线的长； （3）设平行四边形对角线交点为，求的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，可求点坐标. （2）利用两点间的距离公式求. （3）利用求的坐标. 【小问1详解】 如图： 设，由， 所以. 所以点坐标为. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 为的中点， 所以. 19. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）， （2）平均数为，第80百分位数为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； 【小问2详解】 平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迪庆州藏文中学2025-2026学年（下） 2028届高一年级期中考试 数学试题卷 （全卷4个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效. 2.考试结束后，请将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据：的平均数为8，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 二､多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 11. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B. 数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C. 数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D. 数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高三年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为______． 13. 甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 14. 如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为__________.（） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与垂直，求的值． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求边长c． 17. 甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求： （1）甲或乙命中的概率； （2）甲中、乙不中的概率； （3）甲不中、乙中的概率． 18. 已知平行四边形中，． （1）求点坐标； （2）求对角线的长； （3）设平行四边形对角线交点为，求的坐标． 19. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $