2024-2025学年-苏科版七年级下册数学期末复习专题-图形的变换之平移、轴对称

平移、轴对称 【知识积累】 一．平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 二．生活中的平移现象 1、平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 三．平移的性质 （1）平移的条件：平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 四．作图-平移变换 （1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 五、轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 1.轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等； 2.对称轴是一条直线，而不是线段或射线； 3.成轴对称的两个图形的位置固定后，其对称轴只有一条； 4.对称点通常在对称轴的两侧，对称轴上的点的对称点是它本身. 六、轴对称图形 把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 常见的轴对称图形如下（）： 图形名称 图形表示 对称轴 含对称轴的图形 对称轴的条数 角 角平分线所在的直线 1 等腰三角形（底和腰不相等） 底边上的高所在的直线 1 等边三角形 三条边上的高所在的直线 3 矩形（长方形） 各个对边中点连线所在的直线 2 正方形 对角线所在的直线和各对边中点的连线 4 圆 过圆心的直线（直径所在的直线） 无数 七、轴对称与轴对称图形的异同 1.轴对称与轴对称图形的不同点 （1）对象不同：轴对称的对象是两个图形，而轴对称图形的对象是一个图形； （2）对称点位置不同：轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点在同一个图形上； （3）对称轴位置不同：轴对称的对称轴可能在两个图形的外部，也可能在两个图形的内部，或经过两个图形的公共边（点），而轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部； （4）对称轴的条数不同：轴对称的对称轴只有一条，而轴对称图形的对称轴可以有多条. 2.轴对称与轴对称图形的相同点 （1）都能沿某条直线折叠后完全重合； （2）若把成轴对称的两个图形看成一个整体，则它是一个轴对称图形，若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分关于这条直线成轴对称. 八、线段的垂直平分线 1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 2.线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 九、轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形全等； 2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； 3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称. 十、画已知图形的轴对称图形 1.找：找出原图形的关键点； 2.作：作出关键点关于对称轴的对称点； 3.连：按原图顺序依次连接相应的对称点； 4.若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合. 十一、画对称轴 如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 画对称轴的步骤： 1.找：找出任意一对对应点； 2.连：连接这对对应点； 3.画：画出对应点所连线段的垂直平分线 【题型讲练】 平行线之间的距离（共3小题） 1．（海港区校级期中）直线、、是三条平行直线．已知与的距离为5厘米，与的距离为2厘米，求与的距离为　　 A．2厘米 B．3厘米 C．7厘米 D．3厘米或7厘米 故选：． 2．（秦皇岛期末）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，的面积　　 A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 故选：． 【点评】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 生活中的平移现象 1．（天宁区校级期中）下列现象属于平移的是　　 A．下雨天雨刮刮车玻璃 B．每天早上打开教室门 C．每天早上打开教室窗户 D．荡秋千 故选：． 2．（启东市期末）“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是　　 A． B． C． D． 故选：． 3．（盱眙县期末）如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是　　平方米． A．50 B．55 C．40 D．44 故选：． 平移的性质 1．（建邺区期中）如图，沿着直线向右平移得到，则①；②；③；④，其中结论正确的是　　 A．①② B．①②④ C．②④ D．①③④ 故选：． 2．（丹阳市校级期末）如图，将直角沿的方向平移得到直角，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：由平移的性质可知，，，， ，，故选：． 3．（梁溪区校级期中）如图，将周长为8的沿方向向右平移2个单位长度得到，则四边形的周长为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 【解答】解：沿方向平移2个单位长度得到，，， 四边形的周长的周长 ．故选：． 4．（洪泽区期中）如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点、、的对应点分别点、、． （1）若，则　5　． （2）若，求的度数． 【解答】解：（1），将沿射线的方向平移2个单位到的位置， ，则．故答案为：5； （2）由平移变换的性质得：，，，，． 作图-平移变换 1．（高港区月考）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． （1）将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△； （2）利用网格在图中画出的中线，高线； （3）△的面积为 　8　； （4）在平移过程中线段所扫过的面积为 　　； （5）在图中能使的格点的个数有 　　个（点异于． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，中线，高线即为所求；（3）．故答案为：8； （4）线段所扫过的面积．故答案为：32； （5）如图，共有9个点．故答案为：9． 2．（工业园区校级月考）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． （1）在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的△； （2）线段与线段的关系是 　平行且相等　； （3）求平移过程中，线段扫过的面积． 【解答】解：（1）如图，△即为所求；（2）线段与线段平行且相等．故答案为：平行且相等； （3）线段扫过的面积． 17．（江阴市校级月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： （1）画出△；（2）画出的高；（3）求的面积为 　7.5　； （4）在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 　　个． 【解答】解：（1）如图1，根据题意，向下平移一格，再向左平移6格； （2）如图2，线段即为所求； （3）如图3， ，，，；故答案为：7.5． （4）如图4，找出关于对称的对应点，过作平行线，与格点的交点即为所求； 故答案为：8． 19．（泗洪县期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点． （1）画出△；（2）连接、，那么与的关系是 　，．　； （3）线段扫过的图形的面积为 　　． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）与的关系是：，．故答案为：，； （3）线段扫过的图形的面积为．故答案为：10． 利用平移设计图案 1．（宜兴市月考）下列图案中，可以利用平移来设计的图案是　　 A． B． C． D． 故选：． 2．（鼓楼区校级月考）如图是由边长为1的小正方形构成的格点图形，、、在格点上，将三角形向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形． （1）在网格中画出三角形； （2）求线段在变换到过程中扫过的区域面积（重叠部分不重复计算）． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）线段在变换到过程中扫过的区域面积． 【点评】本题主要考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质． 3．（新吴区月考）请把下面的小船图案先向上平移3格，再向右平移4格． 【解答】解：如图所示： ． 轴对称的概念 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D．故选：C． 2．如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 　　． 故答案为：书 轴对称图形 1．下列图形中，是轴对称图形的有（　　）个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 故选：C． 2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D．故选：D． 4．花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（　　） A．风车纹 B．海棠纹 C．回纹 D．套方锦纹 故选：A． 题型03 确定对称轴条数 1．如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 故选：C． 2．下列分子结构模型平面图都是轴对称图形，对称轴在3条以上的图形是（　　） A． B． C． D． 故选：D． 4．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 故选：D． 镜面对称 1．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12故选：A． 2．在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：，则该汽车的车牌号是　 　． 故答案为：M645379． 3．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后的时钟如图，则这时的实际时间是　 　． 故答案为：5：10 画对称轴 1．如图是“绿色食品”的标识，它是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 【解答】解：该图是轴对称图形，有1条对称轴． 2．画出下列各轴对称图形的对称轴． 【解答】解：对称轴如图所示： 3．（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？ （2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？ （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？ 【解答】解：（1）正五边形有5条对称轴； （2）图②有1条对称轴；（3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有1条对称轴． 通过对称轴补全图形 1．如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业：　 　． 故答案为：厨师． 2．把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形． 【解答】解：如图所示： ． 3．根据对称轴画出下面各图形的轴对称图形． 【解答】解：如图所示： 规律探究 1．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． （1）如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ （2）如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ （3）请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【解答】解：（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 利用轴对称的性质求角度 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，故选：A． 2．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为（　　） A．20° B．21° C．24° D．25° 【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝25°， ∴∠PDQ＝∠ADQ＝25°，AD＝DP，∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形， ∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝140°， ∵AD＝DP，CD＝AD，∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形， ∴∠DCP（180°﹣∠CDP）＝20°．故选：A． 3．如图，∠AOB内有一点P，且∠AOB＝35°，作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，再作射线OP1，OP2，则∠P1OP2＝　　． 【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，然后得出∠AOP+∠BOP＝∠AOP1+∠BOP2＝∠AOB＝35°即可求解． 【解答】如图，连接OP， ∵点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2， ∵∠AOP+∠BOP＝∠AOP1+∠BOP2＝∠AOB＝35°，∴∠P1OP2＝∠AOP+∠BOP+∠AOP1+∠BOP2＝2∠AOB＝70°，故答案为：70°． 利用轴对称的性质求长度 1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 【分析】根据△ABC的面积是30cm2，可得到BC＝12cm，再由勾股定理可得AC＝13cm，再根据△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，可得△ACD≌△AED，从而得到AE＝AC＝13cm即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2， ∴，∴BC＝12cm，∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称， ∴△ACD≌△AED，∴AE＝AC＝13cm．故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，轴对称图形的性质，根据题意得到△ACD≌△AED是解题的关键． 2．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据轴对称的性质可得PM＝P1M，PN＝P2N，然后求出△PMN的周长＝P1P2． 【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N， ∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周长是5cm，∴P1P2＝5cm．故选：C． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 　　． 【分析】根据轴对称的性质得出△ADC≌△EDC，故AC＝EC，据此可得出结论． 【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AC＝EC，∵AB＝7，AC＝9，BC＝13，∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11．故答案为：11． 4．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为　　cm． 【分析】利用对称性得到CM＝PC，DN＝PD，把求MN的长转化成△PCD的周长，问题得解． 【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，∴MC＝PC，ND＝PD， ∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．故答案为：30． 在格点中作轴对称图形 1．如图，在2×2正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请找出格纸上所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形有　　个． 【解答】解：如图所示：与△ABC成轴对称的有：△FBM，△ABE，△AND，△CMN，△BEC共5个， 故答案为：5． 2．如图，把直角三角形放置在4×4方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑） 【解答】解：如图1，2，3所示，即为所求；． 3．如图，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l在网格线上． （1）在网格中作△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． （2）网格中每一个小正方形的边长均为1，在（1）的基础上，计算△AC'A'的面积． 【解答】解：（1）△A'B'C'即为所的三角形． （2）连接 AA'；AC'；S△AA′C′6×4＝12． 4．如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 【解答】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求．（2）如图②，取CD的中点E，作直线BE， 则直线BE即为所求．（3）如图③，点P即为所求． 利用轴对称的性质解决折叠问题 1．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在BC边上，点G，H在AD边上，分别沿EG，FH折叠．若∠1+∠2＝140°，则∠B′EF+∠C′FE的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】根据长方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠1＝∠BEG，∠2＝∠CFH，进而可得∠BEG+∠CFH＝140°，然后利用折叠的性质可得：∠BEB′＝2∠BEG，∠CFC′＝2∠CFH，从而可得∠BEB′+∠CFC′＝280°，最后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠BEG，∠2＝∠CFH，∵∠1+∠2＝140°，∴∠BEG+∠CFH＝140°，由折叠得：∠BEB′＝2∠BEG，∠CFC′＝2∠CFH， ∴∠BEB′+∠CFC′＝2∠BEG+2∠CFH＝280°，∴∠B′EF+∠C′FE＝2×180°﹣（∠BEB′+∠CFC′）＝80°，故选：B． 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若△ABF的周长为12，△DEF的周长为4，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x，由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝x+c，然后根据△EDF的周长为4得a+b+c＝4，再根据△ABF的周长为12得x+c+a+b+x＝12，据此可求出AF的长． 【解答】解：设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x， 由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝AF+EF＝x+c， ∵△EDF的周长为4，∴DE+DF+EF＝4，即：a+b+c＝4，∵△ABF的周长为12， ∴AB+BF+AF＝12，即：x+c+a+b+x＝12，∴2x+a+b+c＝12，∴2x+4＝12，解得：x＝4， ∴AF＝4．故选：C． 3．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝　　． 【分析】先求出BD，再证明出∠B＝∠DPB，得到BD＝PD，由PC＝PD可得到PC的长． 【解答】解：∵将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处， ∴PD＝PC，AD＝AC＝3，∠ADP＝∠C，∵AC＝3，AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2， ∵∠C＝2∠B，∴∠ADP＝2∠B＝∠B+∠DPB，∴∠B＝∠DPB，∴BD＝PD，∴PC＝BD＝2，故答案为：2． 4．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点E，AE＝DE．将△CDE沿CE折叠，点D落在点D′处，若∠BED'＝30°，则∠BCD′的大小为 　　． 【解答】解：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，由翻折可知：∠D′CE＝∠DCE，∠D′EC＝∠DEC，∵∠BED'＝40°，∴∠D′EC＝∠DEC＝∠AEB（180°﹣30°）＝75°，∴∠ABE＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABE＝∠DCE＝∠D′CE＝15°，∵BE＝CE，∠AEB＝75°，∴∠EBC＝∠ECB＝37.5°，∴∠BCD′＝∠EBC﹣∠D′CE＝37.5°﹣15°＝12.5°，故答案为：12.5°． 利用轴对称的性质解决最短路径问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠C＝44°，D为BC边上一点．将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点E处．当BD最短时，∠ABE＝　47　°． 【解答】解：如图，∵将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边上的E处， ∴BD＝DE，∴当DE⊥AC时，DE最小，即BD最短， ∴∠CDE＝90°﹣∠C＝90°﹣44°＝46°，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB＝23°， ∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣66°﹣44°＝70°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBE＝70°﹣23°＝47°， 故答案为：47． 2．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即可） （2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹） 【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求．（2）如图2，过点P作AB的垂线，交AB于点Q， 则点Q即为所求． 3．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△DEF（要求：点A，B，C分别与点D，E，F相对应）； （2）在（1）的结果下，连接AD，求四边形ADEC的面积； （3）在直线l上找一点P，使PB+PD的长度最短，并在图中画出最短路径． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求． （2）连接AD，四边形ADEC的面积为S△ACD+S△CDE2×6（3+4）×64×13×5＝6+21﹣2．（3）如图，连接BD，交直线l于点P， 此时PB+PD的长度最短，为线段BD的长，则点P和最短路径BD即为所求． 【课后作业】 一．选择题 1．（天宁区校级期中）如图，向右平移得到，如果四边形的周长是，那么的周长是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由平移的性质可知，，， 四边形的周长是，，，，的周长，故选：． 【点评】本题考查的是平移的性质，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 2．（海州区校级期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为3，则阴影部分的面积为　　 A．20 B．18 C．15 D．26 【解答】解：平移距离为3，，，，， ，，阴影部分的面积为．故选：． 二．填空题（共9小题） 11．（盱眙县期末）如图，箭头在网格中做平行移动，当点移到点位置时，点移到的位置为点 　　． 【解答】解：当点移到点位置时，点移到的位置为点．故答案为：． 12．（建邺区期中）如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 　　． 【分析】根据平移的性质可得：草坪可看作长为，宽为的矩形，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：．故“曲径”的面积为．故答案为：． 三．解答题（共8小题） 19．（盐城月考）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫做格点． （1）画出先向右平移4个单位，再向上平移两个单位后得到的△； （2）画出△的高；（3）连结、，求四边形的面积． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；（2）如图所示，即为所求； （3）四边形的面积． 7．如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 　5　个． 【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形． ． 8．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 　10.51　． 13．下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充． （1）使得图①成为轴对称图形； （2）使得图 ②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形； （3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形． 【解答】解：如图所示（答案不唯一）： 14．如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点联结成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D． 【解答】解：如图所示： 16．如图，长方形台球桌ABCD上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） （1）请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边AB反射后，撞到球E； （2）请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边AB、BC反射后，撞到球E． 【解答】解：（1）如图1中，路径是F→P→E． （2）如图2中，路径是F→M→N→E． 1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠．图中∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【解答】解：如图： ∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝110°，由折叠得：∠2∠BEG＝55°，故选：D． 6．如图，将直角三角形纸片ABC按如图方式折叠：折痕分别为DC和DE，点A与点G重合，点B与DG延长线上的点F重合，连接CF．若满足∠ABC＝∠DCB＝20°，∠DCF＝∠DFC，则∠GCF的度数为 　40°　． 【解答】解：由折叠可得：∠EDF，， ∵∠BDF+∠GDA＝180°，∴∠EDF+∠GDC＝90°，∵∠ACB＝40°， ∴∠GCD＝40÷2＝20°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣20°＝70°，由折叠可得：∠BED＝∠DEF＝70°+∠CEF，由三角形外角的性质可得，∠BED＝90°+20°＝110°，∴70°+∠CEF＝110°，即∠CEF＝40°． 故答案为：40°． 7．如图，四边形ABCD为一个长方形纸片，点E、F分别在AB、DC上，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，折叠后FD与EB交于点N．若∠NEF＝34°，则∠NFC＝　112　度． 【解答】解：如图所示：由折叠可知：∠EFH＝∠NFE，∵四边形ABCD是长方形，∴BE∥CF， ∴∠NEF＝∠EFH＝∠NFE＝34°，∵：∠EFH+∠NFE+∠NFC＝180°，∴∠NFC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，故答案为：112． 8．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　100°　． 【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE， ∵A′D∥BC，∴∠ADF＝∠C，∵∠B﹣∠A＝20°， ∴∠B＝∠A+20°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A，∴∠ADE∠C＝80°﹣∠A，∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°， ∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°． 9．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠1+∠2＝130°，则∠A＝　65°　． 【解答】解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，∴，，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE， ∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∵∠1+∠2＝130°，∴，故答案为：65°． 10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝28°，D是线段AB上一个动点，连接CD，把△ACD沿CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处，当A′D平行于△ABC的边时，∠ACD的大小为 　26°或65°　． 【分析】由∠A＝50°，∠B＝28°，求得∠ACB＝102°，由折叠得∠A′＝∠A＝50°，再分三种情况讨论，一是A′D∥BC，则∠A′＝∠A′CB＝50°，所以2∠ACD+50°＝102°，求得∠ACD＝26°；二是A′D∥AC，则∠A′+∠ACA′＝180°，求得∠ACA′＝130°，由2∠ACD＝130°，求得∠ACD＝65°；三是由点D在线段AB上，说明不存在A′D∥AB的情况，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝28°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝102°， 由折叠得∠A′＝∠A＝50°，如图1，A′D∥BC，则∠A′＝∠A′CB＝50°， ∵∠ACD＝∠A′CD，且∠ACD+∠A′CD+∠A′CB＝∠ACB＝102°，∴2∠ACD+50°＝102°， ∴∠ACD＝26°；如图2，A′D∥AC，则∠A′+∠ACA′＝180°， ∴50°+∠ACA′＝180°，∴∠ACA′＝130°，∴2∠ACD＝130°，∴∠ACD＝65°； ∵点D在线段AB上，∴不存在A′D∥AB的情况，综上所述，∠ACD的度数为26°或65°， 11．在下列方格纸上画出关于直线l对称的图形． 【分析】从图形上的各关键点分别向L引垂线并延长相同长度，得到对应点顺次连接就可． 【解答】解：． 13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是边BC上的一点，连接AD， ∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F． （1）求∠AFC的度数；（2）若∠C＝30°，试证明：DE∥AC． 【解答】（1）解：∵将△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD＝∠DAE＝30°，∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝45°+30°+30°＝105°； （2）证明：∵∠C＝30°，∠AFC＝105°，∴∠FAC＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣30°﹣105°＝45°， ∵将△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠B＝∠E＝45°，∴∠E＝∠FAC，∴DE∥AC． 14．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 【分析】（1）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°，可得∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°，则∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°，根据∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF，求解作答即可； （2）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P，可得CE＝CP＝DP，DP＝DF，即CE＝DF，由CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13，可求CE＝5，进而可得CP的长． 【解答】解：（1）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°， ∴∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°，∴∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°，∴∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF＝100°，∴∠CPD＝100°； （2）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P， ∴CE＝CP＝DP，DP＝DF，∴CE＝DF，∴CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13，解得CE＝5，∴CP＝5． 18．在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 【分析】（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1＝180°﹣2∠CDE，∠2＝180°﹣2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将∠2看作180°﹣2∠CED，∠1看作2∠CDE﹣180°，再根据三角形内角和定理来求． 【解答】解：（1）∠1+∠2＝180°﹣2∠CDE+180°﹣2∠CED ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED）＝360°﹣2（180°﹣∠C）＝2∠C＝60°； （2）连接DG， ∠1+∠2＝180°﹣∠C′﹣（∠ADG+∠AGD）＝180°﹣30°﹣（180°﹣80°）＝50°； （3）∠2﹣∠1＝180°﹣2∠CED﹣（2∠CDE﹣180°） ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED）＝360°﹣2（180°﹣∠C）＝2∠C所以：∠2﹣∠1＝2∠C． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平移、轴对称 【知识积累】 一．平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 二．生活中的平移现象 1、平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 三．平移的性质 （1）平移的条件：平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 四．作图-平移变换 （1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 五、轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 1.轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等； 2.对称轴是一条直线，而不是线段或射线； 3.成轴对称的两个图形的位置固定后，其对称轴只有一条； 4.对称点通常在对称轴的两侧，对称轴上的点的对称点是它本身. 六、轴对称图形 把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 常见的轴对称图形如下（）： 图形名称 图形表示 对称轴 含对称轴的图形 对称轴的条数 角 角平分线所在的直线 1 等腰三角形（底和腰不相等） 底边上的高所在的直线 1 等边三角形 三条边上的高所在的直线 3 矩形（长方形） 各个对边中点连线所在的直线 2 正方形 对角线所在的直线和各对边中点的连线 4 圆 过圆心的直线（直径所在的直线） 无数 七、轴对称与轴对称图形的异同 1.轴对称与轴对称图形的不同点 （1）对象不同：轴对称的对象是两个图形，而轴对称图形的对象是一个图形； （2）对称点位置不同：轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点在同一个图形上； （3）对称轴位置不同：轴对称的对称轴可能在两个图形的外部，也可能在两个图形的内部，或经过两个图形的公共边（点），而轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部； （4）对称轴的条数不同：轴对称的对称轴只有一条，而轴对称图形的对称轴可以有多条. 2.轴对称与轴对称图形的相同点 （1）都能沿某条直线折叠后完全重合； （2）若把成轴对称的两个图形看成一个整体，则它是一个轴对称图形，若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分关于这条直线成轴对称. 八、线段的垂直平分线 1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 2.线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 九、轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形全等； 2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； 3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称. 十、画已知图形的轴对称图形 1.找：找出原图形的关键点； 2.作：作出关键点关于对称轴的对称点； 3.连：按原图顺序依次连接相应的对称点； 4.若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合. 十一、画对称轴 如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 画对称轴的步骤： 1.找：找出任意一对对应点； 2.连：连接这对对应点； 3.画：画出对应点所连线段的垂直平分线 【题型讲练】 平行线之间的距离 1．（海港区校级期中）直线、、是三条平行直线．已知与的距离为5厘米，与的距离为2厘米，求与的距离为　　 A．2厘米 B．3厘米 C．7厘米 D．3厘米或7厘米 2．（秦皇岛期末）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，的面积　　 A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 生活中的平移现象 1．（天宁区校级期中）下列现象属于平移的是　　 A．下雨天雨刮刮车玻璃 B．每天早上打开教室门 C．每天早上打开教室窗户 D．荡秋千 2．（启东市期末）“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是　　 A． B． C． D． 3．（盱眙县期末）如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是　　平方米． A．50 B．55 C．40 D．44 平移的性质 1．（建邺区期中）如图，沿着直线向右平移得到，则①；②；③；④，其中结论正确的是　　 A．①② B．①②④ C．②④ D．①③④ 2．（丹阳市校级期末）如图，将直角沿的方向平移得到直角，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积等于　　 A． B． C． D． 3．（梁溪区校级期中）如图，将周长为8的沿方向向右平移2个单位长度得到，则四边形的周长为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 4．（洪泽区期中）如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点、、的对应点分别点、、． （1）若，则　　． （2）若，求的度数． 作图-平移变换 1．（高港区月考）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． （1）将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△； （2）利用网格在图中画出的中线，高线； （3）△的面积为 　　； （4）在平移过程中线段所扫过的面积为 　　； （5）在图中能使的格点的个数有 　　个（点异于． 2．（工业园区校级月考）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． （1）在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的△； （2）线段与线段的关系是 　　； （3）求平移过程中，线段扫过的面积． 3．（江阴市校级月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： （1）画出△； （2）画出的高； （3）求的面积为 　　； （4）在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 　　个． 4．（泗洪县期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点． （1）画出△； （2）连接、，那么与的关系是 　　； （3）线段扫过的图形的面积为 　　． 利用平移设计图案 1．（宜兴市月考）下列图案中，可以利用平移来设计的图案是　　 A． B． C． D． 2．（鼓楼区校级月考）如图是由边长为1的小正方形构成的格点图形，、、在格点上，将三角形向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形． （1）在网格中画出三角形； （2）求线段在变换到过程中扫过的区域面积（重叠部分不重复计算）． 3．（新吴区月考）请把下面的小船图案先向上平移3格，再向右平移4格． 轴对称的概念 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 　　． 轴对称图形 1．下列图形中，是轴对称图形的有（　　）个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（　　） A．风车纹 B．海棠纹 C．回纹 D．套方锦纹 确定对称轴条数 1．如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列分子结构模型平面图都是轴对称图形，对称轴在3条以上的图形是（　　） A． B． C． D． 3 ．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 镜面对称 1．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 2．在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：，则该汽车的车牌号是　 　． 3．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后的时钟如图，则这时的实际时间是　 　． 画对称轴 1．如图是“绿色食品”的标识，它是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 2．画出下列各轴对称图形的对称轴． 3．（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？ （2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？ （3）如果在图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？ 通过对称轴补全图形 1．如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业：　 　． 2．把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形． 3．根据对称轴画出下面各图形的轴对称图形． 规律探究 1．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． （1）如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？（2）如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？（3）按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 利用轴对称的性质求角度 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 2．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为（　　） A．20° B．21° C．24° D．25° 3．如图，∠AOB内有一点P，且∠AOB＝35°，作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，再作射线OP1，OP2，则∠P1OP2＝　　． 利用轴对称的性质求长度 1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 2．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 　　． 4．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为　　cm． 在格点中作轴对称图形 1．如图，在2×2正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请找出格纸上所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形有　　个． 2．如图，把直角三角形放置在4×4方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑） 3．如图，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l在网格线上． （1）在网格中作△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． （2）网格中每一个小正方形的边长均为1，在（1）的基础上，计算△AC'A'的面积． 4．如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 利用轴对称的性质解决折叠问题 1．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在BC边上，点G，H在AD边上，分别沿EG，FH折叠．若∠1+∠2＝140°，则∠B′EF+∠C′FE的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若△ABF的周长为12，△DEF的周长为4，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝　　． 4．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点E，AE＝DE．将△CDE沿CE折叠，点D落在点D′处，若∠BED'＝30°，则∠BCD′的大小为 　　． 利用轴对称的性质解决最短路径问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠C＝44°，D为BC边上一点．将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点E处．当BD最短时，∠ABE＝　　°． 2．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即可） （2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹） 3．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△DEF（要求：点A，B，C分别与点D，E，F相对应）； （2）在（1）的结果下，连接AD，求四边形ADEC的面积； （3）在直线l上找一点P，使PB+PD的长度最短，并在图中画出最短路径． 【课后作业】 一．选择题 1．（海安市月考）如图，沿所在直线向左平移得到△，若的周长为，则四边形的周长为　　 A． B． C． D． 2．（海州区校级期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为3，则阴影部分的面积为　　 A．20 B．18 C．15 D．26 二．填空题 1．（盱眙县期末）如图，箭头在网格中做平行移动，当点移到点位置时，点移到的位置为点 　　． 2．（建邺区期中）如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 　　． 三．解答题 1．（盐城月考）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫做格点． （1）画出先向右平移4个单位，再向上平移两个单位后得到的△；（2）画出△的高； （3）连结、，求四边形的面积． 2．如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 　 　个． 3．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 　 　． 4．下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充． （1）使得图①成为轴对称图形；（2）使得图 ②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形； （3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形． 5．如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点联结成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D． 6．如图，长方形台球桌ABCD上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） （1）请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边AB反射后，撞到球E； （2）请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边AB、BC反射后，撞到球E． 7．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠．图中∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 8．如图，将直角三角形纸片ABC按如图方式折叠：折痕分别为DC和DE，点A与点G重合，点B与DG延长线上的点F重合，连接CF．若满足∠ABC＝∠DCB＝20°，∠DCF＝∠DFC，则∠GCF的度数为 　 　． 9．如图，四边形ABCD为一个长方形纸片，点E、F分别在AB、DC上，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，折叠后FD与EB交于点N．若∠NEF＝34°，则∠NFC＝　 　度． 10．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　 　． 11．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠1+∠2＝130°，则∠A＝　 　． 12．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝28°，D是线段AB上一个动点，连接CD，把△ACD沿CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处，当A′D平行于△ABC的边时，∠ACD的大小为 　 　． 13．在下列方格纸上画出关于直线l对称的图形． 14．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是边BC上的一点，连接AD，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F． （1）求∠AFC的度数；（2）若∠C＝30°，试证明：DE∥AC． 15．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 16．在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$