2024-2025学年-苏科版七年级下册数学期末复习专题-图形的变换之旋转

旋转 【知识积累】 知识点1、旋转的概念 在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转后重合的点叫对应点，旋转后重合的角叫对应角，旋转后重合的线段叫对应线段. 如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点O是旋转中心，θ为旋转角，点A的对应点是A′，线段A′B′ 是线段AB的对应线段，A′B′＝AB，∠A′B′C′ 是∠ABC的对应角，∠A′B′C′＝∠ABC． θ O A C′ C B B′ A′ 知识点2、旋转的要素 图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定. 知识点3、旋转的性质 1、旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等； 2、旋转变换与轴对称、平移变换一样，只改变了图形的位置，而没有改变图形的形状和大小； 3、对应点到旋转中心的距离相等； 4、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 知识点4、利用旋转的性质画图 利用旋转画图的步骤包括： 1、确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； 2、在已知图形上找关键点； 3、将各关键点与旋转中心连接，以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，按旋转方向作角的另一边，使这些角都等于旋转角，且使另一边的长度都等于连接关键点和旋转中心的线段的长度，即得到关键点的对应点； 4、按原图顺次连接各对应点，得到的图形就是旋转后的图形. 知识点5、中心对称 1、一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形可以重合，对应边相等，对应角也相等；对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 3、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 如图，△ABC绕点O旋转180°后得到△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′ 关于点O成中心对称，点O是对称中心，点A关于点O的对称点是A′，A′B′ 是AB的对应线段，∠B′A′C′ 是∠BAC的对应角．A B C O C′ A′ B′ 【专项训练】 类型一、生活中的旋转现象 例1、下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 训练1、下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有 个．【答案】4 训练2、有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C 训练3、如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定【答案】B 类型二、旋转作图 例2、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出将△ABC向下平移5个单位长度后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2； （3）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3； （4）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【详解】（1）解：△A1B1C1即为所求（2）解：△A2BC2即为所求（3）解：△A3BC3即为所求（4）解：点P即为所求 训练1、请你作出如图所示的四边形ABCD绕点O顺时针旋转75°后的图形．（不用写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：所作图形如图所示： 训练2、△ABC在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． （1）将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕点P逆时针旋转180°之后得到的△A2B2C2；（3）求△A2B2C2的面积． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示： （2）解：旋转后的图形如图所示： （3）解：． 训练3、如图是由小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，将线段AB绕B点顺时针旋转90°得到线段BD，画出线段BD； （2）在图2中，M为线段AB的中点，画出点M关于BC的对称点O，再以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． 【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析． 【详解】（1）解：根据旋转的性质作图，如图， ∴BD即为所求； （2）根据轴对称和旋转的性质作图，如图， ∴点O，△A1B1C1即为所求． 类型三、利用旋转的基本性质求长度 例3、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB=3，AC′=7，则B′C的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上， ∴，，∴，故选：A． 训练1、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE的长为 ． 【答案】3 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，， ∴是等边三角形，∵，∴．故答案为：3． 训练2、如图，在△ABC中，AB=20，BC=36，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长． 【答案】 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， 又，是等边三角形，， ． 类型四、利用旋转的基本性质求角度 例4、如图，△ABE绕点B顺时针旋转一定角度后得到△CBD，点D刚好在AE的延长线上，若∠AEB=130°，则旋转角的度数为（    ） A．50° B．65° C．80° D．95°【答案】C 【详解】解：如图， ∵点D刚好在的延长线上，，∴， ∵绕点B顺时针旋转一定角度得到，∴，∴， ∴，故选：C． 训练1、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A、B、E在同一条直线上． （1）求证：DA平分∠BDE；（2）AC与DE交于点O，∠AOE=95°，求旋转角α的度数． 【答案】(1)详见解析；(2)【详解】（1）证明：如图： 由旋转得：，，，， 平分； （2）解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，，∵，，，，是的一个外角， ，，解得：，旋转角的度数为． 类型五、利用旋转的基本性质求周长 例5、如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则△ADE的周长为（    ） A．8 B．3 C．9 D．5 【答案】C 【详解】解：由旋转性质得，，，∴是等边三角形， ∴，∵是等边三角形，，∴， ∴的周长为，故选：C． 训练1、如图，在等边△BAC中，D是边AC上的一点，将△BCD绕点B沿逆时针方向旋转60°得到△BAE，若BC=8，BD=6，则△AED的周长为 ． 【答案】14 【详解】解：∵为等边三角形，∴，将绕点沿逆时针方向旋转得到， ，，，是等边三角形，， 的周长．故答案为：14． 训练2、如图，等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED． （1）求证：AE∥BC；（2）若BC=5，BD=4，求△ADE的周长． 【答案】(1)见解析；(2)9【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转，得到，，，， ； （2）将绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴是等边三角形， 的周长．的周长. 类型六、利用旋转的基本性质求面积 例6、如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（     ） A．AB=A1B B．∠ABA1=∠CBC1 C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等 D．△AA1O与△BCO的面积相等【答案】D 【详解】解：根据旋转的性质，，，∴A、B说法正确，不符合题意； 设中阴影部分的面积为，∵，∴， ∴，∴C说法正确，不符合题意； ，，∵不一定成立，∴不一定成立， ∴D说法错误，符合题意．故选：D． 训练1、如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如果正方形ABCD的边长是5，那么四边形AECF的面积是 ． 【答案】 【详解】解：由旋转可得，故答案为：． 训练2、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，A′，C′分别是点A，C的对应点． （1）请画出旋转后的△A′BC′；（2）△A′BC′的面积是__________． 【答案】(1)图见解析；(2)【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：的面积． 类型七、中心对称图形 例7、纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D．【答案】D 训练1、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D．【答案】C 训练2、如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则AB DE，BC∥ ． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，∴，∴，， 又∵，，∴，∴，∴． 故答案为：，． 训练3、如图，每个小方格都是边长为1的正方形，在图中添加阴影，使阴影部分既是轴对称图形又是中心对称图形，且阴影部分的面积是9． 【详解】解：如图（答案不唯一）． 类型八、利用中心对称的性质判断结论正误 例8、如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（     ） A．AD=CD B．∠C=∠E C．AE=CB D．S△ADE=S△ADB【答案】B 【详解】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称， ∴AD=CD，AE=CB，BD=ED ∴S△ADE=S△ADB∴选项A、C、D正确，选项B错误；故选B． 训练1、如果△ABC与△DEF关于点O对称，且点A、B、C的对应点依次为点D、E、F，那么下列说法不一定正确的是（     ） A．OA=OD B．AB∥DE C．∠BAC=∠EDF D．AD⊥BE【答案】D 训练2、如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（ ） ①点A与点A′关于点O对称；②BO=B′O；③AC∥A′C′；④∠ABC=∠C′A′B′． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A 训练3、用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分，图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（     ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】C 类型九、利用中心对称的性质求解 例9、如图长方形的长为10，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（     ） A．20 B．15 C．10 D．25【答案】A 训练1、如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB=3，则△DOC中CD边上的高是（     ） A．3 B．6 C．8 D．12【答案】C 【详解】根据中心对称的性质可得：△DOC的面积等于△AOB的面积是12，CD=AB=3． 根据三角形的面积公式，则CD边上的高是12×2÷3=8．故选：C． 训练2、小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校3公里，那么他们两家相距 公里． 【答案】6 训练3、如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知OA=OB=2米．则阴影部分的面积为 平方米． 【答案】8π 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且OA=OB=2米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，∴阴影部分的面积为2×π×22=8π（平方米）， ∴阴影部分的面积为8π平方米．故答案为：8π 类型十、补全图形使之成为中心对称图形 例10、如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A1B1C1有 个． 【答案】2 【详解】解：△A1B1C1如图所示：      则这样的△A1B1C1有2个故答案为：2． 训练1、如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个．故答案为：3． 训练2、图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是 ． 【答案】③ 训练3、如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”． （1）在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称； （2）在图2中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示：由中心对称图形的定义可知：新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称．该图形即为所求． （2）如图所示：由轴对称图形，中心对称图形的定义可知新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形．该图形即为所求． 类型十一、作中心对称图形 例11、已知△ABC和直线MN，点O在直线MN上． （1）画出△A1B1C1，使△A1B1C1与ABC关于直线MN成轴对称． （2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与ABC关于点O成中心对称． 【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求； 训练1、如图，点O和△ABC的三个顶点都在方格图的格点上，请画出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称． 【详解】解：△A′B′C′如图所示． 训练2、下图是由含60°内角的菱形组成的一个5×5的网格图． 请画出以AB为边的格点四边形ABCD，其中点A，B，C，D均在格点上． 要求如下∶ （1）在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形ABCD． （2）在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形ABCD． 【详解】（1）解：如图1，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图2，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）． ． 训练3、图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作△ABE，使E在格点上，且△ABE与△ABC成轴对称； （2）在图②中，作△BEF，使E、F均在格点上，且△BEF与△ABC成中心对称； （3）在图③中，作△BEF，使E、F均在格点上，且△BEF是△ABC绕着点B顺时针方向旋转90°后的图形． 【详解】（1）解：如图①，△ABE即为所作： （2）解：如图②，△BEF即为所作： （3）解：如图③，△BEF即为所作： 拓展提优： 1．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，)，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ，，， ①当时，设，则，∵， ，，， 解得：，， ②当时，设，则， ，，， 解得：，； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ，，， ①当时，设，则， ，，， 解得：，； ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况，综上所述，或或．故选：C． 2．如图，，A，B分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，有 次射线与射线互相平行，时间分别是 ． 【答案】 2 36或108/108或36 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．分四种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间． 【详解】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况： ①如图，当时，，， ，， ，，，， 当时，，此时，，解得； ②当时，，， ∴， ，， ，，，， 当时，，此时，，解得，此时， （舍去）； ③如图，当时，，，， ，， ，，，， 当时，，此时，，解得（舍去）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵，∴，即， ∴，解得：， 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或． 故答案为：2；36或108． 【课后作业】 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列图案是部分剪纸图案，其中图案是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D．【答案】C 2．如图，绕点逆时针旋转一个角度得到，则与相等的线段是（    ） A． B． C． D．【答案】B 3．如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 4．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 5．如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 二、填空题 1．如图所示的图案是由一个基础图形绕中心旋转 次形成的． 【答案】3 【详解】解：观察图案可知，整个图案由4个相同的基础图形组成．最初有1个基础图形，绕中心旋转形成新的图形，每旋转一次新增1个基础图形，那么旋转次数比基础图形的个数少 1，即旋转次数为次． 故答案为：3． 2．如图，沿着由点B到点E的方向平移，得到，若，，那么平移的距离是 ． 【答案】 【详解】解：根据平移的性质得，∴平移的距离，故答案为：． 3． 如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度 是 ． 【答案】2 【详解】解：∵旋转后到达的位置，，∴， ∴．故答案为：2． 4．如图所示，某商场准备在门前台阶上铺设地毯，台阶的尺寸如图所示．已知这种地毯的批发价为40元，则购买地毯至少需要 元． 【答案】192 【详解】解：，（元），即购买地毯至少需要元，故答案为：． 5．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为 ． 【答案】/66度 【详解】解：纸条沿折叠，，纸条再沿折叠并压平， ，， ，，， 纸条沿折叠并压平，，故答案为：． 三、解答题 1．在图中的方格纸中画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【详解】解：画出点绕点按顺时针方向旋转后的对应点，连接 ，就是所求作的图形，如图所示： 2．下图中的图形都是轴对称图形，请画出它们的对称轴． 【详解】解：画图如下： 3．如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移1格，再向上平移4格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)连接、，则它们的数量关系是 ； (3)求线段直接平移至扫过的面积． 【答案】(1)见解析；(2)相等(3) 【详解】（1）见下图； （2）如下图： 根据平移的性质知：、的数量关系是相等． （3）线段直接平移至扫过的面积 4．在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．按下列要求画图． (1)如图①，点P在格点上，将三角形平移，使点P和点B是对应点，点的对应点为，画出平移后的三角形；(2)请在图②中找一个格点Q，连接，使． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； 5．同学们，我们已学习了角的平分线的概念，那么你会用它解决有关问题吗？ （1） 如图（1），已知， 请你画出它的角的平分线， 并填空： 因为是的平分线（已知） 所以 = = ． （2） 如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请       你画出射线，射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以 所以射线 是∠ 的角的平分线． 拓展应用 （3） 如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在处并且使过点，折痕为．直接利用（2）的结论； ①若，求的度数， ②若，求的度数；从计算中你发现了的度数有什么规律？ 【答案】（1），，；（2），，；（3）①；②；从计算中发现了的度数始终为，与的度数无关 【详解】解：（1）如图所示： ， 因为是的平分线（已知）所以； （2）如图： ， 因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以， 所以射线是的角的平分线； （3）①由折叠的性质可得，， ∴； ②由折叠的性质可得，， ∴；从计算中发现了的度数始终为，与的度数无关． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 旋转 【知识积累】 知识点1、旋转的概念 在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转后重合的点叫对应点，旋转后重合的角叫对应角，旋转后重合的线段叫对应线段. 如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，点O是旋转中心，θ为旋转角，点A的对应点是A′，线段A′B′ 是线段AB的对应线段，A′B′＝AB，∠A′B′C′ 是∠ABC的对应角，∠A′B′C′＝∠ABC． θ O A C′ C B B′ A′ 知识点2、旋转的要素 图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定. 知识点3、旋转的性质 1、旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等； 2、旋转变换与轴对称、平移变换一样，只改变了图形的位置，而没有改变图形的形状和大小； 3、对应点到旋转中心的距离相等； 4、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 知识点4、利用旋转的性质画图 利用旋转画图的步骤包括： 1、确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； 2、在已知图形上找关键点； 3、将各关键点与旋转中心连接，以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，按旋转方向作角的另一边，使这些角都等于旋转角，且使另一边的长度都等于连接关键点和旋转中心的线段的长度，即得到关键点的对应点； 4、按原图顺次连接各对应点，得到的图形就是旋转后的图形. 知识点5、中心对称 1、一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形可以重合，对应边相等，对应角也相等；对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 3、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 如图，△ABC绕点O旋转180°后得到△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′ 关于点O成中心对称，点O是对称中心，点A关于点O的对称点是A′，A′B′ 是AB的对应线段，∠B′A′C′ 是∠BAC的对应角．A B C O C′ A′ B′ 【专项训练】 类型一、生活中的旋转现象 例1、下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 训练1、下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有 个． 训练2、有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 训练3、如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A． 顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 类型二、旋转作图 例2、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出将△ABC向下平移5个单位长度后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2； （3）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3； （4）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 训练1、请你作出如图所示的四边形ABCD绕点O顺时针旋转75°后的图形．（不用写作法，但要保留作图痕迹） 训练2、△ABC在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． （1）将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕点P逆时针旋转180°之后得到的△A2B2C2； （3）求△A2B2C2的面积． 训练3、如图是由小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，将线段AB绕B点顺时针旋转90°得到线段BD，画出线段BD； （2）在图2中，M为线段AB的中点，画出点M关于BC的对称点O，再以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． 类型三、利用旋转的基本性质求长度 例3、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB=3，AC′=7，则B′C的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 训练1、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE的长为 ． 训练2、如图，在△ABC中，AB=20，BC=36，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长． 类型四、利用旋转的基本性质求角度 例4、如图，△ABE绕点B顺时针旋转一定角度后得到△CBD，点D刚好在AE的延长线上，若∠AEB=130°，则旋转角的度数为（    ） A．50° B．65° C．80° D．95° 训练1、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A、B、E在同一条直线上． （1）求证：DA平分∠BDE； （2）AC与DE交于点O，∠AOE=95°，求旋转角α的度数． 类型五、利用旋转的基本性质求周长 例5、如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则△ADE的周长为（    ） A．8 B．3 C．9 D．5 训练1、如图，在等边△BAC中，D是边AC上的一点，将△BCD绕点B沿逆时针方向旋转60°得到△BAE，若BC=8，BD=6，则△AED的周长为 ． 训练2、如图，等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED． （1）求证：AE∥BC； （2）若BC=5，BD=4，求△ADE的周长． 类型六、利用旋转的基本性质求面积 例6、如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（     ） A．AB=A1B B．∠ABA1=∠CBC1 C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等 D．△AA1O与△BCO的面积相等 训练1、如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如果正方形ABCD的边长是5，那么四边形AECF的面积是 ． 训练2、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，A′，C′分别是点A，C的对应点． （1）请画出旋转后的△A′BC′； （2）△A′BC′的面积是__________． 类型七、中心对称图形 例7、纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 训练1、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 训练2、如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则AB DE，BC∥ ． 训练3、如图，每个小方格都是边长为1的正方形，在图中添加阴影，使阴影部分既是轴对称图形又是中心对称图形，且阴影部分的面积是9． 类型八、利用中心对称的性质判断结论正误 例8、如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（     ） A．AD=CD B．∠C=∠E C．AE=CB D．S△ADE=S△ADB 训练1、如果△ABC与△DEF关于点O对称，且点A、B、C的对应点依次为点D、E、F，那么下列说法不一定正确的是（     ） A． OA=OD B．AB∥DE C．∠BAC=∠EDF D．AD⊥BE 训练2、如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（ ） ①点A与点A′关于点O对称；②BO=B′O；③AC∥A′C′；④∠ABC=∠C′A′B′． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 训练3、用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分，图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（     ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 类型九、利用中心对称的性质求解 例9、如图长方形的长为10，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（     ） A．20 B．15 C．10 D．25 训练1、如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB=3，则△DOC中CD边上的高是（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 训练2、小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校3公里，那么他们两家相距 公里． 训练3、如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知OA=OB=2米．则阴影部分的面积为 平方米． 类型十、补全图形使之成为中心对称图形 例10、如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A1B1C1有 个． 训练1、如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 训练2、图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是 ． 训练3、如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”． （1）在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称； （2）在图2中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 类型十一、作中心对称图形 例11、已知△ABC和直线MN，点O在直线MN上． （1）画出△A1B1C1，使△A1B1C1与ABC关于直线MN成轴对称． （2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与ABC关于点O成中心对称． 训练1、如图，点O和△ABC的三个顶点都在方格图的格点上，请画出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称． 训练2、下图是由含60°内角的菱形组成的一个5×5的网格图． 请画出以AB为边的格点四边形ABCD，其中点A，B，C，D均在格点上． 要求如下∶ （1）在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形ABCD． （2）在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形ABCD． 训练3、图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作△ABE，使E在格点上，且△ABE与△ABC成轴对称； （2）在图②中，作△BEF，使E、F均在格点上，且△BEF与△ABC成中心对称； （3）在图③中，作△BEF，使E、F均在格点上，且△BEF是△ABC绕着点B顺时针方向旋转90°后的图形． 【拓展提优】 1.如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，)，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，A，B分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，有 次射线与射线互相平行，时间分别是 ． 【课后作业】 一、单项选择题： 1．下列图案是部分剪纸图案，其中图案是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．如图，绕点逆时针旋转一个角度得到，则与相等的线段是（    ） A． B． C． D． 3．如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 4．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 1．如图所示的图案是由一个基础图形绕中心旋转 次形成的． 2．如图，沿着由点B到点E的方向平移，得到，若，，那么平移的距离是 ． 3．如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是 ． 4．如图所示，某商场准备在门前台阶上铺设地毯，台阶的尺寸如图所示．已知这种地毯的批发价为40元，则购买地毯至少需要 元． 5．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 1．在图中的方格纸中画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 2．下图中的图形都是轴对称图形，请画出它们的对称轴． 3．如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移1格，再向上平移4格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)连接、，则它们的数量关系是 ； (3)求线段直接平移至扫过的面积． 4．在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．按下列要求画图． (1)如图①，点P在格点上，将三角形平移，使点P和点B是对应点，点的对应点为，画出平移后的三角形； (2)请在图②中找一个格点Q，连接，使． 5．同学们，我们已学习了角的平分线的概念，那么你会用它解决有关问题吗？ （1） 如图（1），已知， 请你画出它的角的平分线， 并填空： 因为是的平分线（已知） 所以 = = ． （2） 如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请       你画出射线，射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以 所以射线 是∠ 的角的平分线． 拓展应用 （3） 如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在处并且使过点，折痕为．直接利用（2）的结论； ①若，求的度数， ②若，求的度数；从计算中你发现了的度数有什么规律？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$