9.3.因式分解之公式法导学案 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

9.3因式分解之“公式侦探”——寻找平方差与完全平方的踪迹》 导学案 适用教材：苏科版数学八年级下册 第9章《因式分解》9.3 公式法 课型：新授课 姓名：___________ 班级：___________ 日期：___________ 【学习目标】 1. 理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，能准确判断一个多项式能否用公式法分解因式。 2. 熟练掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，并能正确书写结果。 3. 能综合运用提公因式法和公式法分解因式，体会“先提公因式，再套公式”的基本思路。 4. 通过观察、比较、归纳，培养“数形结合”和“整体代换”的数学思想。 【学习重点与难点】 重点：运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。 难点：准确判断公式类型，综合运用提公因式法与公式法。 【知识回顾——走进公式】 因式分解的三种基本方法： （1）提取___________：各项都含有的相同因式，提到括号外面。 （2）运用公式法（今天的主角！） （3）十字相乘法（拓展内容） 填一填：因式分解与整式乘法是___________运算。把整式乘法公式反过来，就是因式分解的公式。 整式乘法公式 平方差公式： (a + b)(a - b) = _____________ 完全平方公式： (a ± b)² = _____________ 反过来，因式分解公式 平方差公式： a² - b² = _____________ 完全平方公式： a² ± 2ab + b² = _____________ 【新知探究——寻找公式的特征】 问题1：（选自2025年吉林省某校期中考试卷）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. x² + 4y²　　　B. -x² + 4y²　　　C. x² - 2y + 1　　　D. -x² - 4y² 【解题锦囊】 平方差公式的结构特征：①___________项式；②两项都能写成___________的形式；③两项符号___________。简记为：“两项平方，符号相反”。 问题2：（选自2025年广东省某校期末模拟测试）下列各选项中，因式分解正确的是（ ） A. x² - 1 = (x - 1)² B. a³ - 2a² + a = a²(a - 2) C. -2y² + 4y = -2y(y + 2) D. a²b - 2ab + b = b(a - 1)² 【解题锦囊】 完全平方公式的结构特征：①___________项式；②有两项能写成___________的形式，且符号为___________号；③第三项是这两个数（或式）的乘积的___________倍。简记为：“三项式，两头平方，中间两倍积”。 【典例精析——公式法实战】 例1（选自2024年甘肃·中考真题） 因式分解： 2x² - 8 【思路导引】 观察多项式：各项有公因式吗？提出公因式后，括号内的多项式符合哪个公式？ 第一步：提取公因式___________，得___________； 第二步：括号内为___________的形式，可用___________公式； 第三步：写出最终结果：___________。 例2（选自2024年云南·中考真题） 分解因式： a³ - 9a 【思路导引】 先提取公因式___________，得 a(___________)； 括号内是否还能继续分解？它符合哪个公式的特点？ 最终结果：___________。 例3（选自2024年江苏扬州·中考真题） 分解因式： 2a² - 4a + 2 【思路导引】 先提取公因式___________，得___________； 观察括号内的三项，是否符合完全平方公式的结构？两项平方是___________和___________；“中间项”检验：___________； 最终结果：___________。 【方法总结】 多项式因式分解的一般步骤： 1. 一提——提取___________； 2. 二套——套用___________公式或___________公式； 3. 三分——分组分解（拓展）； 4. 四查——检查是否分解彻底（注意：括号内还能继续分解吗？）。 【易错警示】 （1）公式中的a、b可以表示一个数，也可以表示一个单项式或多项式。 （2）套用完全平方公式时，务必确认“中间项”是否为“两数乘积的2倍”，避免误判。 （3）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【易错辨析表】 常见错误 正确答案 错误原因分析 x² - 1 = (x - 1)² (x + 1)(x - 1) 混淆平方差公式和完全平方公式，x² - 1 是两项平方差，不是三项式 a³ - 9a = a(a² - 9)（停止） a(a + 3)(a - 3) 没有检查是否分解彻底，a² - 9 还可再用平方差公式 2x² - 8 = 2(x² - 4)（停止） 2(x + 2)(x - 2) 同上，未分解彻底 a³ - 2a² + a = a(a² - 2a) a(a - 1)² 提取公因式后括号内未用公式继续分解 -x² + 4y² = -(x² - 4y²) = -(x + 2y)(x - 2y) 正确，也写为 (2y + x)(2y - x) 两种写法均对，注意负号处理 【真题挑战——课堂检测】 一、选择题 1.（选自2025年广西·中考真题）因式分解：x² - 4 =（ ） A. (x + 2)(x - 2)　B. (x + 4)(x - 4)　C. (x + 2)²　D. (x - 2)² 2.（选自2024年浙江·中考真题）因式分解：a² - 7a =（ ） A. a(a - 7)　B. a²(1 - 7a)　C. (a - 7)(a + 1)　D. a(a + 7) 二、填空题 3.（选自2024年北京·中考真题）分解因式：x² - 25y² = _______________。 4.（选自2024年山东威海·中考真题）因式分解：(x + 2)(x + 4) + 1 = _______________。 5.（选自2025年湖南·中考真题）因式分解：m² - 4n² = _______________。 6.（选自2025年江苏苏州·中考真题）因式分解：x² - 6x + 9 = _______________。 三、解答题 7.（选自2024年黑龙江绥化·中考真题）分解因式：2mx² - 8my² 8.（选自2025年江西·中考真题）因式分解：a² - 4a + 4 四、拓展提升 9.（选自2025年四川内江·中考真题）已知实数a，b满足 a + b = 4，ab = 3，求 a²b + ab² 的值。 （提示：先因式分解，再整体代入计算。） 【自我评价】 【知识拓展——探索公式的几何背景】 下图用两个正方形的面积差直观解释了平方差公式。请根据下图验证：a² - b² = (a + b)(a - b)。 （说明：一个大正方形边长为a，从中剪去一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成一个长为a+b、宽为a-b的长方形。） 【预习导航】 下节课我们将学习因式分解方法的综合运用（公式法第3课时），请同学们提前思考： （1）如何判断一个多项式应该先提公因式还是先套公式？ （2）什么情况下需要对多项式进行“分组”后再分解？ 参考答案 【知识回顾】 提取公因式法、因式分解与整式乘法是互逆运算。 (a + b)(a - b) = a² - b²、 (a ± b)² = a² ± 2ab + b²、a² - b² = (a + b)(a - b)、a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 【新知探究】 问题1：B（解析：-x² + 4y² = 4y² - x² = (2y + x)(2y - x)。A是平方和，不符合；C是三项式；D提出负号后为 -(x² + 4y²)，仍是平方和，不能用平方差公式。） 平方差公式结构特征：① 二项式；② 平方；③ 相反。 问题2：D（解析：A应为 (x + 1)(x - 1)；B应为 a(a - 1)²；C应为 -2y(y - 2)；D正确：a²b - 2ab + b = b(a² - 2a + 1) = b(a - 1)²。） 完全平方公式结构特征：① 三项式；② 平方，且符号为正号；③ 2倍。 【典例精析】 例1 2x² - 8 = 2(x² - 4)　　　　　　　（提取公因式2） = 2(x + 2)(x - 2)　　　　（平方差公式） 【思路导引导答案】 提取公因式2，得 2(x² - 4)；括号内为平方差的形式，可用平方差公式；最终结果：2(x + 2)(x - 2)。 例2 a³ - 9a = a(a² - 9)　　　　　　　（提取公因式a） = a(a + 3)(a - 3)　　　　（平方差公式） 提取公因式a，得 a(a² - 9)；最终结果：a(a + 3)(a - 3)。 例3 2a² - 4a + 2 = 2(a² - 2a + 1)　　　　　（提取公因式2） = 2(a - 1)²　　　　　　　（完全平方公式） 提取公因式2，得 2(a² - 2a + 1)；两项平方是 a² 和 1（即 1²）；检验中间项：-2a = -2·a·1，符合。最终结果：2(a - 1)²。 【方法总结】 1. 一提——提取公因式； 2. 二套——套用平方差公式或完全平方公式； 3. 三分——分组分解； 4. 四查——检查是否分解彻底。 【真题挑战——课堂检测】 1. A　（选自2025年广西中考真题。解析：x² - 4 = (x + 2)(x - 2)，直接运用平方差公式。） 2. A　（选自2024年浙江中考真题。解析：a² - 7a = a(a - 7)，提取公因式a。） 3. (x + 5y)(x - 5y)　（选自2024年北京中考真题。解析：x² - 25y² = x² - (5y)² = (x + 5y)(x - 5y)。） 4. (x + 3)²　（选自2024年山东威海中考真题。解析：(x + 2)(x + 4) + 1 = x² + 6x + 8 + 1 = x² + 6x + 9 = (x + 3)²，先展开，再套用完全平方公式。） 5. (m + 2n)(m - 2n)　（选自2025年湖南中考真题。解析：直接运用平方差公式。） 6. (x - 3)²　（选自2025年江苏苏州中考真题。解析：x² - 6x + 9 = x² - 2·x·3 + 3² = (x - 3)²。） 7. 2mx² - 8my² = 2m(x² - 4y²) = 2m(x + 2y)(x - 2y)　（选自2024年黑龙江绥化中考真题。解析：先提取公因式 2m，再运用平方差公式。） 8. a² - 4a + 4 = (a - 2)²　（选自2025年江西中考真题。解析：a² - 2·a·2 + 2² = (a - 2)²。） 9. a²b + ab² = ab(a + b) = 3 × 4 = 12　（选自2025年四川内江中考真题。提示：先因式分解提取公因式 ab，再整体代入。） 学科网（北京）股份有限公司 $ 巩固练习——《因式分解·公式法》专项提升 适用教材：苏科版数学八年级下册 第9章 9.3 公式法 姓名：___________ 班级：___________ 得分：___________ 第一部分　运用平方差公式分解因式（共 10 题） 基础巩固（第1—6题） 1. （2025年甘肃省武威市/嘉峪关市/临夏州中考真题——因式分解类）分解因式：x² − 4　　 2. （苏州四市2025—2026学年八年级阳光测评期中）分解因式：a² − 9b²　　 3. （江苏省泰州市靖江市2025—2026学年八年级10月七校联考）分解因式：4m² − 25　　 4. （辽宁省沈阳市于洪区2024—2025学年八年级下学期期中）分解因式：16x² − y²　　 5. （2024年云南中考真题）分解因式：a³ − 9a　 6. （2024年四川眉山中考真题）分解因式：3m³ − 12m　　 能力提升（第7—10题） 7. （2024年甘肃中考真题）分解因式：2x² − 8　　 8. （2024年黑龙江绥化中考真题）分解因式：2mx² − 8my²　　 9. （2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解单元检测卷） 分解因式：(a − b)² − 4b²　　 10. （2025年江苏省苏州市中考真题——因式分解类）分解因式：x⁴ − 16　　 第二部分　运用完全平方公式分解因式（共 10 题） 基础巩固（第11—16题） 11. （河南省郑州市河南大学附属中学2024—2025学年八年级期中）分解因式：x² + 6x + 9　　 12. （湖北省荆州市沙市区2024—2025学年八年级上学期期末）分解因式：4a² − 4a + 1　　 13. （2025年浙江模拟——因式分解类）分解因式：m² − 10m + 25　　 14. （北师大新版八年级下册2024年单元测试卷）分解因式：9x² + 12x + 4　　 15. （2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解单元巩固测试卷） 分解因式：x² − x + 　　 16. （2025—2026学年苏科版八年级下册9.3公式法同步复习讲义） 分解因式：−2ab − a² − b²　　 能力提升（第17—20题） 17.（2025—2026学年苏科版八年级下册第9章因式分解单元提优测试卷） 分解因式：x² + 2xy + y²　　 18.（辽宁省沈阳市于洪区八年级下学期期中） 分解因式：(m + n)² − 4(m + n) + 4　　 19. （2025年江苏无锡中考数学真题——因式分解类）分解因式：a²b² + 2ab + 1　　 20. （2025年江苏苏州中考真题——因式分解类）分解因式：x² − 4xy + 4y²　　 第三部分　综合运用提公因式法与公式法（共 5 题） 拓展应用（第21—25题） 21. （2024年北京中考真题）分解因式：x³ − 25x　　 22. （2025年中考数学总复习《因式分解》专项测试卷）分解因式：a⁴ − 1　　 23. （2025年甘肃省武威市/嘉峪关市/临夏州中考真题） 分解因式：2x³ − 4x² + 2x　　 24. （江苏省苏州市2025—2026学年八年级期中测试）分解因式：3ax² − 3ay²　　 25. （2025年江苏常州中考数学真题专题提优训练——因式分解） 分解因式：x² − y² − x − y　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 第一部分　运用平方差公式分解因式 1. (x + 2)(x − 2) 2. (a + 3b)(a − 3b) 3. (2m + 5)(2m − 5) 4. (4x + y)(4x − y) 5. a(a + 3)(a − 3) 6 .3m(m + 2)(m − 2) 7 .2(x + 2)(x − 2) 8 .2m(x + 2y)(x − 2y) 9 .(a − 3b)(a + b) 10. (x² + 4)(x + 2)(x − 2) 第二部分　运用完全平方公式分解因式 11 .(x + 3)² 12. (2a − 1)² 13. (m − 5)² 14. (3x + 2)² 15. (x − )² 16. −(a − b)² 17. (x + y)² 18. (m + n − 2)² 19. (ab + 1)² 20. (x − 2y)² 第三部分　综合运用提公因式法与公式法 21. x(x + 5)(x − 5) 22 .(a² + 1)(a + 1)(a − 1) 23 .2x(x − 1)² 24 .3a(x + y)(x − y) 25. (x + y)(x − y − 1) 学科网（北京）股份有限公司 $