第9章 因式分解 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

(3)画法不唯一，如图所示 由图可知，2a2+5ab+2b2=(2a+b)· (a+2b). aa b e aa b (第15题) 方法归纳 动手操作“做”数学 动手操作“做”数学也是学习 数学的一种方法.学习数学时，我 们要善于体验感受数学过程，主动 地通过自主探索、动手操作“做”数 学，将数与形相互转化。 专题特训八常见的 因式分解方法 1.(1)2m(m-)(5m-n) (2)2(.x-a)(4a-2b-3c) (3)a(a-b)(1+a-b) 2.(1)(m+4)(m-4) (2)-(.x+2y)2(x-2y)2 (3)8a(a+2)2(a-2) (4)(饣+2)(p-2) 3.(1)原式=-2a(a2-6a+9)= -2a(a-3)2」 (2)原式=(x2+4+4x)(x2+4 4.x)=(x十2)2(x-2)2 (3)原式=[3(m+2n)]2-[2(m 2m)]2=[3(m+2m)+2(m-2m]· [3(m+2)-2(m-2n)]=(3m+ 6n+2m一4n)(3m+6n-2m+4n)= (5m+2m)(m+10m). 4.(1)原式=(x-y)2一16=(x y+4)(x-y-4) (2)原式=xy(y-2)+2(y-2)= (y-2)(xy+2) 5.(1)(x-3)(x+1):(a-5b)· (a+b). (2)m2+6m+13=(m2+6m+9)+ 4=(m+3)2+4. .(m+3)2≥0， ∴.代数式m2+6m+13的最小值 是4. 第9章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C解析：A.该变形属于整 式乘法，故A不是因式分解；B.该等 式右边没有化为几个整式的积的形 式，故B不是因式分解：C.该变形是 把一个多项式化成几个整式的积的形 式，故C是因式分解：D.该等式右边 没有化为几个整式的积的形式，故D 不是因式分解 [变式]B解析：一16=-1× 16=-2×8=-4×4=2×(-8)= 1×(-16)=ab,∴.m=a+b=-1+ 16或-2+8或-4+4或2+（一8）或 1+(-16),即m=士15或±6或0. ∴.m的可能值的个数为5. 典例2B解析：(2x一8)(3x 4)-(3x-4)(x一13)=(3.x-4)· L(2x-8)-(x-13)]=(3x-4)· (x+5)..(2x-8)(3.x-4)-(3x 4)(x一13)可分解因式为(3.x+a)· (x+b),∴.a=-4,b=5..a+ 2b=-4+2×5=6. [变式]290解析：由题意，得 2(a+b)=14,ab=10,.'.a+b=7. :ab+ab3=ab[(a+b)2-2ab]= 10×(72-2×10)=290. 典例3B解析：①x2十y2,不能用 公式法因式分解：②一x2十y2=y2 x2=(y十x)(y-x),能用平方差公 式因式分解；③x2+2.xy-y2,不能 用公式法因式分解：④一x2+4xy 4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x 2y),能用完全平方公式因式分解 '.能用公式法因式分解的有2个. 40 [变式]D 典例4(1)(m-2)(x+3y)(x 3y). (2)(a-b)(a+b+3). (3)(a+4)2(a-4)2. (4)(y+2)2(y-2)2. [变式](1)(x-y)(x+y). (2)(11x-3y)(3x-11y). (3)(a+b+2)2 (4)(x-y)(a+2b)(a-2b). 典例5D解析：a=2023.x十 2022,b=2023x+2023,c= 2023x+2024,.a-b=(2023x+ 2022)-(2023.x+2023)=-1,a c=(2023x+2022)-(2023.x+ 2024)=-2,b-c=(2023x+ 2023)-(2023.x+2024)=-1 a2+62+c2-ab-ac-bc= a2e-2ah -2ue- 2k)=2[a2-2ab+63)+(a2 2ac+c2)+(b2-2bc+c2)]= 2[a-b+a-)+0-c)]= 号×[(-10+(-22+(-10]= 2×1+4+1)=2×6=3. [变式]B解析：，(2m+1)2 25=(2m+1+5)(2n+1-5)=(2m+ 6)(2-4)=4(n+3)(n-2),.对任 意整数n,4都是4(n一2)(n十3)的一 个因数..对任意整数n,(2n+ 1)2-25都能被4整除。 典例6(1)C. (2)(x-2)4. (3)设x2+2x=y. 原式=y(y+2)+1=y2+2y+1= (y+1)2=(x2+2x+1)2=(.x+1)4. 变式](1)二：公因式没有提取完. (2)原式=4mx2-16my2=4m(x2 4y2)=4m(x+2y)(x-2y). [综合素能提升] 1.A 2.C解析：(x-6)(x十2)=x2十 2x-6.x-12=x2-4x-12,(x+8)· (x一4)=x2一4x+8.x一32=x2+ 4x-32.:分解因式x2十m.x十n时， 甲看错了m的值，分解的结果是(x 6)(.x十2)，乙看错了n的值，分解的 结果为(x十8)(x-4),∴.n=-12, m=4. 3.3(x+y)(x-y)4.2(x-3y) 5.(m-1+n)(m-1-n) 6.a2(a-1)+a(a-1)+(a-1) (a-1)(a2+a+1) 7.2026解析：x2+x-1=0, .x2+x=1..x3+2x2+2025= x3+x2+x2+2025=x(x2+x)+ x2+2025=x+x2+2025=1+ 2025=2026. 8.(1)3(a-b)2. (2)(m-2)(x+y)(x-y). 9..4m+n=40,2m-3n=5, ∴.(m+2n)2-(3m-n)2=(m+ 2m+3m-n)(m+2-3m+n)= (4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)· (2m-3)=-40×5=-200. 10..x2+y2-4x+6y+13=x2 4x+4+y2+6y+9=(.x一2)2+ (y+3)2=0,(x-2)2≥0，(y+ 3)≥0， .x-2=0,y+3=0,即x=2, y=-3. .原式=(x-3y)2=[2-3× (-3)]2=121. 11.(1)答案不唯一，如32 (2)“正巧数”能被8整除. 理由：(2k+1)2-(2k-1)2=[(2k+ 1)+(2k-1)][(2k+1)-(2k- 1)1=4k×2=8k. ,k是正整数， '.8k能被8整除 ∴.(2k十1)2-(2k-1)2能被8整除. ∴.“正巧数”能被8整除。 (3)(m-7)(m+7)+n2-2= m2-72+n2-2mm=(m-n)2-72. .(m-7)(m+7)+n2-2mm是“正 巧数”， ∴.m-n=9. 第10章分 式 10.1分式的概念 1c2 3.(1)当x=一1时，原式= -1-1 2 2×(-1)2+1 =3 (2):a2-4a十4与b-1|互为相 反数， ∴.a2-4a+4+b-1=0. ∴.(a-2)2+1b-1=0. .(a-2)2≥0，b-1|≥0， ∴.a-2=0,b-1=0. ..a=2,b=1. g-b_2-11 ”a+b2+13 4.A解析：原式 a(b-c)-b(b-c)_(b-c)(a-b) a-c u一c 根据题意，得b一c=0或a一b=0且 a一c≠0，.b=c或a=b且a≠c. ∴.此三角形一定是等腰三角形 5.A解析：当x=一4时，分式无意 义，即-4-m=0,∴.m=-4.当x= 4时，分式的值为0，即2×4十n=0, n=-8.·该分式为28当 x+4 x=-12时，a= 2×(-12)-8=4, -12+4 当x=12时，6=2X128-=1. 12+4 6.3解析：把x=1代人，得 1-4+aa-3此时分式无意义， 1+23 41 ∴.a-3=0,解得a=3. 7.(1):当x=1时，分式的值为0， .1+a+b=0且a-2b+3≠0. 当x=一2时，分式无意义， .a-2b-6=0. 1+a+b=0, 联立，可得{a一2b十3≠0，解得 a-2b-6=0, 4 a=3’ 1b= 3 (2):分式，产的值是整数，且x为 整数， .x-2的值可以为-6，一3，-2， -1,1,2,3,6,即x的值为-4，-1,0， 1,3,4,5,8. 10.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 1.C2.(1)4m2 (2)a+b 30)原式出一 (2)原式= 2y-3 y2-2y+51 4C解析：对于A,+4 。+16心，故A不符合题意：对于B, 4+y=16+立，故B不符 4x 4x 合题意；对于C,4)+(4y) 4x 16x2+16y2=4z2+4y,故C符 4.x x 合题意；对于D, (2.x)2+(2y)2 4x2+42_2z+2y,故D不符合 2.x 题意 a-1 解析：根据题意，得S1= a-1,s:=(a-1),a>1,则 S2第9章因式分解 第9章整合拔尖 ●“答案与解析”见P40 壁]知识体系构建 把一个多项式化成几个整式的积的形式 概念 提公因式法，ab+ac+ad=a(b+c+d) 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 因式分解 方法 公式法 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) 提 有公因式，先提取公因式 二套提取公因式后，套用公式 步骤 根据整式乘法检查分解是否正确 三查 检查是否还可以继续分解 S)高频考点突破 考点一因式分解的概念 中，能用公式法因式分解的有 典例1下列从左到右的变形中，属于因式分解 A.1个 B.2个 C.3个D.4个 的是 [变式]下列因式分解中，正确的是 A.a(m+n)=am十an A.3ax2-6ax-3ax(x+2) B.a2-62-c2=(a-b)(a+b)-c? B.-x2+y2=(-x+y)(-x-y) C.10x2-5.x=5x(2x-1) C.a2+2ab+4b2=(a+2b)2 D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x D.-a.x2+2a.x-a=-a(x-1)2 [变式]已知在x2+m.x-16=(x+a)(x+b) 考点四综合运用提公因式法与公式法因式 中，a,b为整数，则能使这个因式分解过程成立 分解 的m的值的个数为 ( 典例4把下列各式分解因式： A.4 B.5 C.8 D.10 (1)x2(m-2)+9y2(2-m). 考点二运用提公因式法因式分解 典例2已知(2x一8)(3.x-4)-(3x-4)(x (2)a2-b2+3a-3b. 13)可分解因式为(3.x+a)(x+b),则a+2b的 值是 ( A.1 B.6 (3)(a+16)2-64a2. C.7 D.8 [变式]边长为a,b的矩形，它的周长为14，面积 为10，则a3b十ab3的值为 (4)(y2-1)2-6(y2-1)+9. 考点三运用公式法因式分解 典例3有下列多项式：①x2+y2;②一x2十 y2;③x2+2xy-y2;④-x2+4xy-4y2.其 79 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 [变式]把下列各式分解因式： 请根据上述材料回答下列问题： (1)x(x-y)-y(y-x). ()小涵的解法中，第二步到第三步因式分解运 用了 A.提公因式法 (2)49(x-y)2-16(x+y)2. B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你 (3)(a+b)2+4(a+b)+4. 写出该因式分解的最后结果： (3)请你用换元法对多项式(x2十2x)(x2十 2x+2)+1进行因式分解. (4)a2(x-y)+4b(y-x). 考点五因式分解的应用 典例5已知a=2023.x+2022,b=2023x+ 2023,c=2023x+2024,则a2+b2+c2-ab- ac一bc的值是 [变式]嘉淇把多项式-16my2+4m.x2分解因 A.0 B.1 C.2 D.3 式的具体步骤如下： [变式]对任意整数n,(2n+1)2-25都能( -16my2+4m.x2 A.被3整除 B.被4整除 =4mx2-16my2…第一步 C.被5整除 D.被6整除 =m(4x2-16y2)…第二步 考点六阅读理解题 =m[(2x)2-(4y)2]…第三步 典例6阅读材料： =m(2x+4y)(2x一4y)…第四步 在因式分解中，把多项式中某些部分看作 (1)事实上，嘉淇的解法是从第 步开始 一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅 出现错误的，造成错误的原因是 可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式 子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分 (2)请给出这个问题的正确解法， 解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 小涵用换元法对多项式(x2一4x十1)(x2一4x+ 7)十9进行因式分解的过程如下： 解：设x2一4x=y. 原式=(y+1)(y十7)+9（第一步） =y2+8y+16(第二步) =(y十4)（第三步） =(x2一4x+4)2(第四步) 80 第9章因式分解 综合素能提升 1.已知多项式x2一4x十m可以分解因式，一个 (2)y2(2-m)+x2(m-2). 因式为x一6，则另一个因式为 ( A.x+2 B.x-2 C.x+3 D.x-3 2.分解因式x2+m.x十n时，甲看错了m的值， 9.已知4m+n=40,2m-3n=5,求(m+ 分解的结果是(x一6)(x+2),乙看错了n的 2m)2-(3m-n)2的值 值，分解的结果为(x+8)(x一4)，那么m,n 的值分别为 () A.-1,-12 B.1,-12 C.4,-12 D.-4,-12 10.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求 3.(2025·青岛)分解因式：3x2一3y2 x2-6xy+9y2的值. 4.(2025·烟台)分解因式：2x2一12xy十 18y2= 5.分解因式：m2-n2-2m十1= 11.新考法·新定义题如果一个正整数能表示为 6.我们在学习许多代数公式时，常用 两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整 几何图形来推理验证.观察图①，可 数为“正巧数”.例如：8=32一12,16=52 得a2-1=a(a-1)+(a-1) 3,24=7一5，因此8,16,24都是“正巧数”， (a一1)(a十1).观察图②，通过类比思考，分 (1)写出一个30到50之间的“正巧数”. 解因式：a3-1= (2)设两个连续正奇数为2k一1和2k十 1(其中k是正整数)，由它们构成的“正巧 数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如 果不能，请举例说明， (3)已知m,n为正整数，且m>n,(m 7)(m十7)十n2一2mm是“正巧数”，求m一n ① ② (第6题)》 的值. 7.若x2+x-1=0,则x3+2x2+2025= 8.分解因式： (1)-6ab+3a2+3b2. 81