9.2.因式分解之提公因式法导学案+巩固练习 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

9.2因式分解——提公因式法 巩固练习（导学案） （苏科版数学八年级下册 新教材 第9章 因式分解） 姓名：________　班级：________　日期：________ 学习目标 1. 理解公因式的概念，能准确找出多项式中各项的公因式； 2. 熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解，做到提取公因式后括号内不含公因式； 3. 了解因式分解与整式乘法的互逆关系，养成先提公因式、再考虑其他方法的分解习惯。 知识回顾 1、公因式的概念：多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法的一般步骤 ① 定系数：取各项系数的最大公约数； ② 定字母：取各项都含有的相同字母； ③ 定指数：取相同字母的最低次数； ④ 提取公因式，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式。 3、依据　ma + mb + mc = m(a + b + c) 4、学习重点（必须掌握的核心知识与技能） （1）公因式的准确确定（“三定”原则）这是提公因式法的根基。学生必须熟练掌握： 定系数：取各项系数的最大公约数。如 4m³n − 6m²n² 系数 4 和 -6 的最大公约数是 2，而非只取公约数。 定字母：取各项都含有的相同字母。多项式 12a³b − 8ab²c 中都含有的字母是 a 和 b，c 不是每项都有，不能取。 定指数：取相同字母的最低次幂。a³b 和 ab²c 中 a 的最低次数是 1，b 的最低次数是 1。 （2）提公因式法的基本步骤与规范书写 能按照“找出公因式→提取公因式→确定括号内各项”的流程规范分解，并能自觉用整式乘法（单项式乘多项式）反向检验。 （3）因式分解与整式乘法的互逆关系 这是整章内容的大观念统领，是学生理解“为什么这样变形”的关键，也是后续学习分式、解方程的基础。 5、学习难点（学生容易出错、需要着力突破之处） 难点1：首项为负时符号的正确处理（“变号”陷阱） 这是最容易出系统性错误的地方。当多项式首项系数为负数时，通常将负号作为公因式的一部分提出，使括号内首项为正。 例如：−3x²y + 6xy² − 12xy = −3xy(x − 2y + 4) 学生常见错误：提取 −3xy 后，括号内第二项、第三项的符号没有改变。尤其当括号内项数较多时，符号错误率极高。 难点2：某一项全部提出后漏写“1” 当多项式某一项恰好与公因式完全相同时，整项提出后，括号里必须写“1”，不能空着。 例如：a³ − a² + a = a(a² − a + 1) 学生常见错误：写成 a(a² − a)，漏掉了最后的 +1。这在因式分解教学初期是十分高频的错误。 难点3：公因式是多项式（整体公因式的识别） 当公因式本身是一个二项式或多项式的整体时，学生难以识别整体。 例如：(5a − 3b)² − (5a − 3b) 的公因式是 (5a − 3b) 这个整体。 又如：3a(b − c) − 6b(c − b) 中，b − c 与 c − b 是互为相反数，需要先变形为相同因式 3a(b − c) + 6b(b − c)，再提取整体公因式。这种“互为相反数的转换 + 整体提取”是本章的最高频易错点之一。 难点4：提公因式与后续方法的衔接意识（“一提二分”的思维） 学生易形成思维定式，提完公因式就认为分解结束，不能敏锐判断括号内还能否继续分解。 例如：x³y − 9xy = xy(x² − 9) = xy(x + 3)(x − 3) 后半段 x² − 9 可用平方差公式再分解。必须强调：因式分解要分解到每个因式都不能再分为止，养成“一提二套三检查”的解题习惯。 6、课堂检测 第一部分　基础巩固（共 13 题） 一、公因式的识别（1—6题） 1.（2025宿迁宿城期末）多项式 12a³b − 8ab²c 的公因式是（ ） A. 4a²　　　B. 4abc　　　C. 4ab　　　D. 4ab² 2.（2025江苏徐州铜山期末）多项式 9a²x² − 18a⁴x³ 中各项的公因式是（ ） A. 9ax　　　B. 9a²x²　　　C. a²x²　　　D. 9a⁴x³ 3. 单项式 4a²b³ 与 −6a³b²c 的公因式是（ ） A. 2a²b²　　　　B. 2a³b³　　　　C. −2a²b²　　　　D. 以上都不对 4. 下列各组式子中，没有公因式的是（ ） A. −a² 与 a³　　　　　　B. 3(x + y) 与 −2(x − y) C. 5m² 与 10mn　　　　　D. −x²y³ 与 6x²y² 5.（2025江苏苏州吴中区期末模拟）多项式 (2x − 3y) + (2x − 3y)² 的公因式是（ ） A. 2x − 3y　　　　B. (2x − 3y)²　　　　C. 2x + 3y　　　　D. 1 6. 将 −4a³b² + 6a²b³ − 2a²b² 分解因式，应提取的公因式是 二、基本提公因式法（第7—13题） 7.（2025江苏苏州中考真题）分解因式：3x² − 12x = ________． 8.（2025江苏南京中考真题）分解因式：a² − 2a = ________． 9.（2025江苏无锡中考真题） 分解因式：15x² + 5x = ________． 10. 分解因式：4m³n − 6m²n² = ________． 11. 分解因式：a³ − a² + a = ________． 12. （2025江苏镇江丹阳期中）分解因式：−3x²y + 6xy² − 12xy = ________． 13. 分解因式：(5a − 3b)² − (5a − 3b) = ________． 第二部分　能力提升（共 9 题） 一、提公因式法综合运用（第14—18题） 14. 分解因式：x³y − 9xy = ________． 15.（2025江苏无锡中考真题）分解因式：a³ − 4a = ________． 16. 分解因式：2x³ − 4x² + 2x = ________． 17.（2025江苏常州中考真题）分解因式：a²b − b = ________． 18. 分解因式：m⁴ − 16m² = ________． 二、提公因式法在求值中的应用（第19—22题） 19. 已知 a + b = 8，ab = 12，则 a²b + ab² 的值为________． 20.（2025江苏无锡江阴期末）已知 x − y = 3，xy = −2，则 x²y − xy² = ___． 21.（2025江苏扬州中考真题）若 m = 2n + 1，则 m² − 4mn + 4n² = ________． 22. 已知 x² − x − 1 = 0，则代数式 x³ − 2x + 5 的值为________． 第三部分　拓展应用（共 8 题） 23. 分解因式：(x − 1)(x + 2) + (1 − x) = ________． 24.（2025江苏盐城亭湖期末）分解因式：3a(b − c) − 6b(c − b) = __． 25. 分解因式：(x − y)² + 4x − 4y = ________． 26.（2025江苏南通如皋期末） 分解因式：(a + b)(a − b) + a + b = ________． 27. （2025江苏苏州中考真题变式）已知 a = 2026，b = 2025，不直接代入，先分解因式再求值：a² − b²． 28. 判断并说明理由：对任意正整数 n，n³ − n 能否被 3 整除？ 29. 先分解因式，再求值：(x + 2)² − (x + 2)(x − 1)，其中 x = −4． 30. 已知 a + b = 3，ab = −4，求 a³b + 2a²b² + ab³ 的值． 参考答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 A 6 −2a²b² 7 3x(x − 4) 8 a(a − 2) 9 5x(3x + 1) 10 2m²n(2m − 3n) 11 a(a² − a + 1) 12 −3xy(x − 2y + 4) 13 (5a − 3b)(5a − 3b − 1) 14 xy(x + 3)(x − 3) 15 a(a + 2)(a − 2) 16 2x(x − 1)² 17 b(a + 1)(a − 1) 18 m²(m + 4)(m − 4) 19 96 20 6 21 1 22 6 23 (x − 1)(x + 1) 24 3(b − c)(a + 2b) 25 (x − y)(x − y + 4) 26 (a + b)(a − b + 1) 27 4051 28 能，n³ − n = n(n − 1)(n + 1)，三个连续整数中必有一个是3的倍数 29 3(x + 2)，代入得 −6 30 ab(a + b)²，代入得 −36 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解·公式法专项提升 适用教材：苏科版数学八年级下册 第9章 9.3 公式法 姓名：___________ 班级：___________ 得分：___________ 一、选择题 1.（2025年四川内江·中考真题）因式分解：a² - 1 =（　） A. (a + 1)(a - 1) B. (a - 1)² C. a(a - 1) D. (a + 1)² 2.（2025年贵州贵阳·中考真题）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　） A. x² - 4 B. x² - 2x - 1 C. x² + 4x + 4 D. x² + 1 3.（2025年广西·中考真题）因式分解：m² - 9 =（　） A. (m + 9)(m - 9) B. (m + 3)(m - 3) C. (m + 3)² D. (m - 3)² 4.（2025年海南·中考真题）因式分解：a² - 2a + 1 =（　） A. a(a - 2) + 1 B. (a + 1)² C. (a - 1)² D. a(a + 2) - 1 5.（2025年浙江湖州·中考一模）下列各选项中，因式分解正确的是（　） A. 4x² - 9 = (4x + 3)(4x - 3) B. a² - 4b² = (a - 2b)² C. x² - 4x + 4 = (x - 2)² D. -x² + 6x - 9 = -(x + 3)² 二、填空题 6.（2025年湖南长沙·中考真题）因式分解：mx - 2my = _______________。 7.（2025年上海·中考真题）因式分解：x² - 9 = _______________。 8.（2024年山东临沂·中考真题）因式分解：mn + m = _______________。 9.（2025年黑龙江绥化·中考真题）分解因式：2mx² - 4mxy + 2my² = _______________。 10.（2025年北京·中考真题）分解因式：7x² - 28 = _______________。 11.（2025年新疆·中考真题）因式分解：(x + 1)(x + 3) + 1 = _______________。 12.（2024年江苏无锡·中考真题）若 x + y = 5，xy = 6，则 x²y + xy² = _______________。 三、解答题 13.（2025年宁夏·中考真题）因式分解：3a² - 12 14.（2024年辽宁沈阳·中考真题）分解因式：x³ - 4x 15.（2025年陕西·中考真题）因式分解：2a² - 8a + 8 16.（2024年安徽合肥·中考一模）因式分解：(x² + 4)² - 16x² 四、能力拓展 17. （2024年重庆·中考真题B卷）已知 a + b = 3，a² + b² = 7，求 a²b + ab² 的值。 18.（2025年四川成都·中考真题）已知多项式 x² + mx + 25 恰好是一个完全平方式，求 m 的值。 五、易错反思 19.（2025年湖北武汉·中考模拟）以下是小明同学解因式分解的四个步骤，请找出其中的错误并在横线上写出正确的分解过程与结果。 题目：分解因式 -2x² + 8 小明的解答： -2x² + 8 = -(2x² - 8) = -2(x² - 4)（到此停止） 你发现的错误：____________________________________________ 正确的解答：______________________________________________ 20.（2025年山西太原·中考模拟）甲、乙两位同学对多项式 a³ - 2a² + a 分别进行因式分解，结果如下： 甲：a³ - 2a² + a = a(a² - 2a) 乙：a³ - 2a² + a = a(a - 1)² 请问哪位同学的分解结果正确？另一位同学的错误原因是什么？请写出详细的验证过程。 答：________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 一、选择题 1. A，解析：a² - 1 为两项平方差形式，即 a² - 1²，直接运用平方差公式 a² - b² = (a + b)(a - b) 得 (a + 1)(a - 1)。其余选项均误用了完全平方公式或缺失因式。 2. C，解析：完全平方公式结构为 a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。C 项：x² + 4x + 4 = x² + 2·x·2 + 2² = (x + 2)²，符合要求。A 是平方差，B 第三项不是平方数，D 是两项式。 3. B，解析：m² - 9 = m² - 3² = (m + 3)(m - 3)。注意 9 是 3 的平方，而非 9 的平方，故 A 错误。 4. C，解析：验证 (a - 1)² = a² - 2a + 1，与原式一致。该三项式首尾平方项为 a² 与 1²，中间项 -2a = -2·a·1，满足完全平方公式。 5. C，解析：A 应为 (2x + 3)(2x - 3)；B 应为 (a + 2b)(a - 2b)；C 正确；D 应为 -(x - 3)²。 二、填空题 6. m(x - 2y) 解析：直接提取公因式 m。 7. (x + 3)(x - 3) 解析：x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3)。 8. m(n + 1) 解析：mn + m = m(n + 1)。 9. 2m(x - y)² 解析：原式 = 2m(x² - 2xy + y²) = 2m(x - y)²。先提取公因式 2m，再套用完全平方公式。 10. 7(x + 2)(x - 2) 解析：7x² - 28 = 7(x² - 4) = 7(x + 2)(x - 2)。 11. (x + 2)² 解析：原式 = x² + 4x + 3 + 1 = x² + 4x + 4 = (x + 2)²。 12. 30 解析：x²y + xy² = xy(x + y) = 6 × 5 = 30。 三、解答题 13. 3a² - 12 = 3(a² - 4) = 3(a + 2)(a - 2) 解析：先提取公因式 3，再运用平方差公式继续分解。 14. x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x + 2)(x - 2) 解析：先提公因式 x，再对括号内 x² - 4 用平方差公式，直至各个因式不能再分解为止。 15. 2a² - 8a + 8 = 2(a² - 4a + 4) = 2(a - 2)² 解析：提取公因式 2 后，检验括号内为完全平方式，中间项 -4a = -2·a·2，最终结果为 2(a - 2)²。 16. (x + 2)²(x - 2)² 解析： (x² + 4)² - 16x² = (x² + 4)² - (4x)² = (x² + 4 + 4x)(x² + 4 - 4x) = (x² + 4x + 4)(x² - 4x + 4) = (x + 2)²(x - 2)² 四、能力拓展 17. 3，解析：a²b + ab² = ab(a + b)。 由 a + b = 3，a² + b² = 7， 因 (a + b)² = a² + 2ab + b²，即 9 = 7 + 2ab，解得 ab = 1。 所以原式 = 1 × 3 = 3。 18. m = 10 或 m = -10 解析：完全平方式可写为 x² ± 2kx + k²。 对比 x² + mx + 25 得 k² = 25，即 k = ±5。 则 m = 2k = ±10。 易错提醒：容易遗漏 m = -10 的情况。 五、易错反思 19.错误：小明的分解不彻底。x² - 4 还可以用平方差公式继续分解为 (x + 2)(x - 2)。 正确解答： -2x² + 8 = -2(x² - 4) = -2(x + 2)(x - 2) 20.正确者：乙同学。 验证：a(a - 1)² = a(a² - 2a + 1) = a³ - 2a² + a，与原式一致。 甲同学错误原因：提取公因式 a 后，括号内的 a² - 2a 并未分解彻底。a² - 2a = a(a - 2)，但更重要的是 a² - 2a + 1 才是一个完全平方式，甲同学直接漏掉了常数项的处理，正确过程应为：a³ - 2a² + a = a(a² - 2a + 1) = a(a - 1)²。 核心提醒：因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 学科网（北京）股份有限公司 $