精品解析：四川嘉祥教育集团2025-2026学年八年级下学期期中质量监测数学试题

嘉祥教育集团2025－2026学年初二下学期质量监测试题数学 注意事项： 1．全卷分为第A卷和第B卷，A卷满分100分，B卷满分50分． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据图形绕某点旋转后能与原图形重合来判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、中心对称图形，符合题意． 2. 若实数x和y满足，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴ ，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意； D. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 4. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答． 【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍， ∴ 新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选B． 5. 分式方程有增根，则增根是（ ） A. x＝0 B. x＝－1 C. x＝－1或0 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程求解，检验得到增根，由此得到答案． 【详解】解：， 去分母，得3x=x-2， 移项合并同类项，得2x=-2， 系数化为1，得x=-1， 检验：当x=-1时，x（x+1）=0，即x=-1是原分式方程的增根， 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，理解分式方程增根的含义，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，为线段上一点，将线段平移得到线段，点A，B，P的对应点分别是点C，D，Q，若点C的横坐标为3，点D的纵坐标为，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平移中所有点的平移规律一致，先根据已知点的坐标变化得出平移规律，再推导点Q的坐标即可． 【详解】解：∵平移变换中所有点的平移规律相同， 已知点平移后对应点的横坐标为， ∴横坐标平移量为 ，即整个图形向右平移个单位， 又已知点平移后对应点的纵坐标为， ∴纵坐标平移量为 ，即整个图形向下平移个单位， ∵点平移后得到对应点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即的坐标为． 7. 如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像以及两交点，点的坐标得出即可． 【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点， ∴观察图像可知解集为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键． 8. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 分解因式：______． 【答案】m（m-2n）2 【解析】 【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：m3-4m2n+4mn2 =m（m2-4mn+4n2） =m（m-2n）2． 故答案为：m（m-2n）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 10. 已知函数，则自变量的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围、立方根和分式有意义的条件，令分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，分母不为0， 即， 解得 ， 任意实数的立方根都有意义， 分子对的取值没有限制， 综上，． 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．已知的周长为10，，则的长为____． 【答案】6.5 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 12. 已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法，得出，再结合，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 13. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上） 14. 解不等式组、解方程 （1）解不等式组： ，并将解集表示在数轴上； （2）解方程：． 【答案】（1）不等式组的解集是； 解集在数轴上表示如下： （2）分式方程的解是 【解析】 【小问1详解】 解：， 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集是． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得， 检验：当时，， 则分式方程的解是． 15. 先化简，再求值：，其中x是满足的整数，请你从中选择一个合适的数代值计算． 【答案】，2 【解析】 【分析】先将括号内进行通分计算，再将除式的分子和分母分解因式，然后再把除法转化为乘法，通过约分化简；根据分式有意义的条件，取满足的整数，代入化简的结果进行计算即可． 【详解】解： ， ∵要使原分式有意义，则，且， 解得，且， 又∵且为整数， ， 当时，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标； （4）x轴上有，两点如图所示，若网格内x轴上有一点，使得，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）按照旋转的性质，在网格中画图即可； （2）先通过点A的对应点的坐标，确定图形的平移方式，再根据平移方式作图即可； （3）由旋转的性质，可知对应点之间的连线交于一点，交点即为旋转中心，且旋转中心为每组对应点所连接的线段的中点，连线确定旋转中心即可； （4）根据题意，判断出轴，，根据比例关系找到点P的位置即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴平移方式为先向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度， 【小问3详解】 解：由旋转的性质，可知对应点之间的连线交于一点，交点即为旋转中心，且旋转中心为每组对应点所连接的线段的中点，由平行四边形的性质和网格特征可得； 如图，点即为所求， 【小问4详解】 解：由题意，可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由作图可得． 17. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点E，过点A作于点A，交延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由线段垂直平分线可知，，， ， ， ∴， 在△和△中，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知，，证明，即可证明； （2）连接，根据余角的定义求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形三线合一得到，，根据等边对等角得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． 18. 按操作、迁移探究的要求解决下列问题： （1）【操作探究】如图1，在中，，点为延长线上一点，点为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在边上，作交于点，求证：； （2）【迁移探究】 等边中，点是延长线上一点，点为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①如图2，若点恰好落在边上，点是的中点，交于点，连接，求的面积； ②如图3，点落在外，若，连接，当最小时，直接写出此时的面积． 【答案】（1） 证明：中，， ， ， ， 由旋转的性质，得 ， 又， ， ； （2）①的面积为；②的面积为 【解析】 【分析】（1）只需证即可证得； （2）①由（1）的结论可知，，过点作于点，先求，再求，根据三角形的面积公式即可求解；②绕点把逆时针旋转得到点，连接，则，求出，然后明确点的位置，分析得出，从而知道当点与点重合时，取得最小值；过点作于点，则，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）的结论可知，， ， ，即， ， ， 在等边中，， ，， 过点作于点， 在中，， ， ； ②绕点把逆时针旋转得到点，连接，则， ， 又， 点的轨迹在射线上， 在等腰中，， 线段就是点到射线的距离，即当点与点重合时，最小， ， ， ， ， ， 过点作于点，则， 在中，， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 19. 已知，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用完全平方公式，将两边平方后，结合已知的的值，建立关于的方程求解． 【详解】解：对两边同时平方，根据完全平方公式得， 展开得， 将代入上式得， 移项得， 解得． 20. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 【答案】50 【解析】 【分析】由旋转得所以，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将绕点旋转至的位置，点在边上， ， ， ， ， ， ． 21. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，先解含字母参数的分式方程，求出x，再根据分式的分母不能为0和关于x的分式方程的解为非负数，列出不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵， ∴，即， ∵方程的解为非负数，即， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 22. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点的“三分点”．例如：，，当点满足：，，则点是点的“三分点”．已知直线上有一点，恰好是点，的“三分点”，若直线与直线：的交点为整点（横、纵坐标都是整数的点）时，则满足条件的负整数的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“三分点”的定义，用参数表示出点的横纵坐标，消去参数得到直线的解析式，再联立与的方程，用表示出交点坐标，结合交点为整点，为负整数求解即可. 【详解】解：根据“三分点”的定义，得 ， ， 消去得，代入得 ， 整理得，即直线的解析式为， 联立直线与得方程组， ， 消去得， 整理得， 解得， 将代入得 ， 交点为整点，且为负整数， ∴是的负因数，且， 的负因数有， 当时，，不符合负整数要求，舍去， 当时，，不符合负整数要求，舍去， 当时，，符合要求，此时，，均为整数， 故答案为． 23. 如图，在中，，平分，点D为上一点，连接并绕点D逆时针旋转得到，连接，若，，，，则的长为____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点O作于点F，于点G，于点H，连接，证明，得出，，证明四边形为正方形，得出，证明，得出，同理可得：，即可得出，设，则，，，根据勾股定理得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点O作于点F，于点G，于点H，连接，如图所示： 则， 根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设，则，，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 整理得：， ， ， ， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上） 24. 2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． （1）求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； （2）已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】（1）甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 （2）该专卖店的最大利润为7800元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【小问1详解】 解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． 【小问2详解】 解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求得直线的解析式，再联立成方程组即可求解； （2）①先求得点的坐标为，由与直线交于点，可得，即点的纵坐标，代入直线，即可求得，可得点，的坐标，即可求解； ②分点在点的上方，点在点的下方两种情况进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 由，解得， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：①把代入，得， ∴点的坐标为， ∵与直线交于点， ∴点的横坐标， ∴点的纵坐标， 如图， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴点坐标为，点坐标为， ∵，， ∴． ②（Ⅰ）：点在点的上方， 如图，由题意可得，点，关于直线对称，设与直线交于点， ∴与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴点C坐标为； （Ⅱ）：点在点的下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可得， 设，则， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线与轴交于点，与轴交于点， ∵与关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴，与点重合，舍去； 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴点C的坐标为 综上所述，点C坐标为或． 26. 在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，延长交于点F． （1）如图1，若E、F重合，求的值； （2）若F为中点． ①如图2，求的度数； ②如图3，延长交于点G，连接并延长交延长线于点H，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据题意设，，则，根据翻折的性质可得，从而得到，即可得解； （2）连接，过点F作于点N，根据直角三角形斜边中线可得，再结合三线合一的性质和翻折的性质，得出，，，证明，得到，再利用三角形内角和定理求解即可； ②过点作于点，结合①所得结论，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理和翻折的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴设，， ∴， ∵由沿翻折得到， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接，过点F作于点N， ∵在中，F为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ； ②如图，过点作于点， 由①得，， ， F为中点， ， 是等腰直角三角形， ，， 在中，设，， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， 由翻折的性质可得，， 设，则，， 在中，， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2025－2026学年初二下学期质量监测试题数学 注意事项： 1．全卷分为第A卷和第B卷，A卷满分100分，B卷满分50分． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D.   2. 若实数x和y满足，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 5. 分式方程有增根，则增根是（ ） A. x＝0 B. x＝－1 C. x＝－1或0 D. 不能确定 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，为线段上一点，将线段平移得到线段，点A，B，P的对应点分别是点C，D，Q，若点C的横坐标为3，点D的纵坐标为，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ） A. B. C. D. 或 8. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 分解因式：______． 10. 已知函数，则自变量的取值范围为___． 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．已知的周长为10，，则的长为____． 12. 已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 13. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上） 14. 解不等式组、解方程 （1）解不等式组： ，并将解集表示在数轴上； （2）解方程：． 15. 先化简，再求值：，其中x是满足的整数，请你从中选择一个合适的数代值计算． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标； （4）x轴上有，两点如图所示，若网格内x轴上有一点，使得，请直接写出点P的坐标． 17. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点E，过点A作于点A，交延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 按操作、迁移探究的要求解决下列问题： （1）【操作探究】如图1，在中，，点为延长线上一点，点为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在边上，作交于点，求证：； （2）【迁移探究】 等边中，点是延长线上一点，点为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①如图2，若点恰好落在边上，点是的中点，交于点，连接，求的面积； ②如图3，点落在外，若，连接，当最小时，直接写出此时的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 19. 已知，，则_____． 20. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 21. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 22. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点的“三分点”．例如：，，当点满足：，，则点是点的“三分点”．已知直线上有一点，恰好是点，的“三分点”，若直线与直线：的交点为整点（横、纵坐标都是整数的点）时，则满足条件的负整数的值为____． 23. 如图，在中，，平分，点D为上一点，连接并绕点D逆时针旋转得到，连接，若，，，，则的长为____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上） 24. 2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． （1）求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； （2）已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 26. 在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，延长交于点F． （1）如图1，若E、F重合，求的值； （2）若F为中点． ①如图2，求的度数； ②如图3，延长交于点G，连接并延长交延长线于点H，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $