专题5.3 分式方程的应用 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

分式方程的应用 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 分式方程的应用 考点梳理 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 典例引领 考向01 列分式方程 【例1】甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由甲的单件制作时间表示出乙的单件制作时间，再根据甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相等，进而列出方程． 【详解】解：若甲制作一件手工艺品需要小时，则乙制作一件手工艺品需要小时，则． 考向02 分式方程的行程问题 【例2】小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【详解】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 考向03 分式方程的工程问题 【例3】某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 【答案】原计划完成这项工程需用28个月 【分析】设原计划完成这项工程需用x个月，列分式方程解答． 【详解】解：设原计划完成这项工程需用x个月， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划完成这项工程需用28个月． 考向04 分式方程的经济问题 【例4】四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的．求商店至少购进甲种茶叶多少千克？ 【答案】(1)每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元 (2)商店至少购进甲种茶叶千克 【分析】（1）设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元，由题意得：，即可得到答案； （2）设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克，由题意得：，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元； （2）解：设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克， 由题意得：， 解得， 答：商店至少购进甲种茶叶千克． 考向05 分式方程和差倍分问题 【例5】某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 【答案】(1)款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元 (2)最少购进33个款文件袋 【分析】（1）先设款文件袋的单价为元，再根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）先设购进款文件袋个，再根据题意列出不等式，最后解不等式，并结合为整数解答即可． 【详解】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元． （2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个， 由题意得，， 解得，， 又为整数， 的最小值为． 答：最少购进33个款文件袋． 考向06 分式方程的其它实际问题 【例6】列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【答案】(1)该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元 (2)2万元 【分析】（1）设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元，根据“改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元”列方程求解即可； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元，根据“180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 则改造1条乙类生产线需投入（万元）． 答：该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元； （2）解：设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 对点提升 【对点1】深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可． 【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 【对点2】一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设原计划行驶速度为，计划总时间为小时．实际行驶分两段：先匀速1小时，再以行驶剩余路程，根据“比计划提前”列方程，求解即可； （2）先算出去程实际时间为，返程总路程、降速后速度为．设以原速行驶的路程为，根据“返程含停留比去程多2小时”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则原计划总行驶时间为小时， 由题意得，实际行驶中，第一小时行驶路程为，剩余路程为，提速后速度为， ∴实际总时间为小时，， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划的行驶速度为； （2）解：由题意得，去程实际总时间为，返程总路程为，降速后速度为，， 设返程时以原计划速度行驶的路程为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：返程时以原计划速度行驶的路程为． 【对点3】在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 【答案】平均每小时清除10吨 【分析】先设原计划平均每小时清除吨垃圾，再分别表示出原计划用时和实际用时，根据原计划用时实际用时小时这一等量关系列出分式方程，求解并检验后得到答案． 【详解】解：设青年突击队原计划平均每小时清除吨垃圾． 由题意，得． 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：青年突击队原计划平均每小时清除10吨垃圾． 【对点4】为了营造更加浓厚的读书氛围，我校初二年级计划采购古典名著、原创诗歌两种课外读物用于学生阅读．年级预算资金为2000元，且原创诗歌每本的价格是古典名著每本价格的1.25倍．若用800元购买古典名著，剩余的资金购买原创诗歌，则购买到的古典名著的数量比原创诗歌的数量少10本． (1)求古典名著和原创诗歌每本的价格分别为多少元？ (2)由于采购方案的变化，现在共需采购古典名著、原创诗歌两种课外读物共100本，恰逢商家进行促销活动，商家决定给予一定的优惠，古典名著在原价的基础上降价，原创诗歌按原价的九折销售，购买两种读物的总费用不超过1694元，请问古典名著最少购买多少本？ 【答案】(1)古典名著和原创诗歌每本的价格分别为16元和20元 (2)古典名著最少购买18本 【分析】本题主要考查了运用分式方程以及一元一次不等式解决实际问题． （1）设古典名著每本的价格为x元，则原创诗歌每本的价格为元，根据“花费资金÷单价=购买数量”，结合题意列出分式方程，解方程，进行检验后得出答案； （2）设购买古典名著m本，则购买原创诗歌本，根据“销售单价×销量=费用”，结合题意“购买两种读物的总费用不超过1694元”，注意题中“降价”和“打折”的数学表示，列出相关不等式，解不等式，最后根据实际情况m应为正整数，得出正确答案． 【详解】（1）解：设古典名著每本的价格为x元，则原创诗歌每本的价格为元， 由题意得：． 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：古典名著和原创诗歌每本的价格分别为16元和20元． （2）解：设购买古典名著m本，则购买原创诗歌本， 由题意得：． 解得：， ∵m为正整数， ∴． 答：古典名著最少购买18本． 【对点5】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 【对点6】中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【答案】取得满分，见解析 【分析】设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒，根据“第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍”建立分式方程求解，再求出甲同学第二次模拟测试的时间即可． 【详解】解：能取得满分，理由如下： 设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 那么第二次模拟测试用时秒，而3分50秒秒， 由于， 故甲同学第二次模拟测试取得满分成绩， 答：甲同学第二次模拟测试取得满分成绩． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 【答案】B 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 2．已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 【答案】B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 3．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 4．为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据预定时间表示出两种货车的行驶时间，结合速度公式得到两车速度，再根据高速货车速度是普通货车速度的2倍的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵预定时间为小时，普通货车比预定时间晚小时到达， ∴普通货车的行驶时间为小时，可得普通货车速度为， ∵高速货车比预定时间早小时到达， ∴高速货车的行驶时间为小时，可得高速货车速度为， ∵高速货车的速度是普通货车的倍， ∴可列方程． 5．若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得：， 整理得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 6．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 7．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边乘以去分母得：． 8．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 9．关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 10．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 2、 填空题 11．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 12．方程的解是________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求出一元一次方程的解后检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 13．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 14．若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 【答案】24 【分析】先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个偶数解， ∴这两个偶数解为，0， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a为整数， ∴或5或7或8， 则． 15．若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有三个整数解确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解且分母不为零确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件整数的和． 【详解】解：， 解不等式①：得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至少有三个整数解，大于的前三个整数为，，， 是不等式组的解， ， 解得：， 解分式方程：， 方程变形为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 分式方程有非负整数解， 是的非负整数倍， 且（时分母为零，是增根，需舍去）， ，且， ①当时，，符合条件； ②当时，，符合条件； ③当时，，不符合条件，舍去； ④当时，，符合条件； ⑤当时，，不符合条件，舍去． 综上所述，符合条件的整数为，，， 所有满足条件的值的和为． 3、 解答题 16．为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且用300元购进A种花木的数量是用250元购进B种花木数量的2倍． (1)求A、B两种花木的单价各是多少元? (2)如果购进的这批花木共600棵，A种花木至多购进400棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵?并求出最低费用． 【答案】(1)A种花木单价为30元，B种花木单价为50元 (2)应购进A种花木400棵，B种花木200棵，最低费用为22000元 【分析】（1）列分式方程求解； （2）利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A种花木的单价是元，则B种花木的单价是元，根据题意得， ， 解得， 经检验，当时，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 答：A种花木的单价是元，则B种花木的单价是元； （2）解：设应购进A种花木棵，则购进B种花木棵，设费用为，根据题意得， ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当的值越大时，费用越低， 当时，费用最低，为， 此时，， 答：应购进A种花木400棵，B种花木200棵，最低费用为22000元． 17．中超联赛蓉城主场门票分为普通票和优选区票，已知优选区票单价比普通票贵100元；用1320元购买普通票的数量，与用2420元购买优选区票的数量相等． (1)普通票和优选区票的单价分别为多少元？ (2)某球迷协会计划购买这两种门票共40张，计划总费用不超过7000元，且优选区票数量不少于普通票数量的一半，有多少种购票方案？哪种方案总费用最少？最少是多少元？ 【答案】(1)普通票单价为120元，优选区票单价为220元； (2)共有9种购票方案，当购买普通票26张、优选区票14张时总费用最少，最少总费用为6200元 【分析】（1）设普通票单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买普通票张，根据题意列一元一次不等式组，得到的取值范围，再取整数解得到购票方案的数量；再设总费用为，得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设普通票单价为元，则优选区票单价为元， 则， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 答：普通票单价为120元，优选区票单价为220元； （2）解：设购买普通票张，则购买优选区票张， 则， 解得：， 为整数， 的可能取值为18、19、20、21、22、23、24、25、26， 共有9种购票方案， 设总费用为，则， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为，此时， 即当购买普通票26张、优选区票14张时总费用最少，最少总费用为6200元． 18．计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可； （2）方程两边同乘去分母化为整式方程求解，然后检验即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解： 方程两边同乘去分母，得 展开整理得 移项合并同类项得 解得 检验：当时， 是原方程的解． 19．某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元 (2)最省钱的购进方案为购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元 【分析】（1）根据A、B单价的倍数关系设未知数，结合购买数量的差列分式方程，求解后检验即可得到单价； （2）先根据A种收纳箱数量的限制条件求出的取值范围，再根据优惠政策得到总费用关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应方案． 【详解】（1）解：设B种收纳箱的单价为元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得 化简得 ，即 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意.， 则 答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； （2）解：由题意得，购进A种收纳箱个，则购进B种收纳箱个， 根据题意得 解不等式①得：， 解不等式②得： ∵为正整数， ∴， ∵ ， ∴每个A种收纳箱售价为 元，B种收纳箱售价不变为40元， 总费用 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，最小， 此时 ， （元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元． 20．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式方程的应用 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 分式方程的应用 考点梳理 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 典例引领 考向01 列分式方程 【例1】甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 考向02 分式方程的行程问题 【例2】小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 考向03 分式方程的工程问题 【例3】某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 考向04 分式方程的经济问题 【例4】四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的．求商店至少购进甲种茶叶多少千克？ 考向05 分式方程和差倍分问题 【例5】某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 考向06 分式方程的其它实际问题 【例6】列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 对点提升 【对点1】深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【对点2】一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【对点3】在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 【对点4】为了营造更加浓厚的读书氛围，我校初二年级计划采购古典名著、原创诗歌两种课外读物用于学生阅读．年级预算资金为2000元，且原创诗歌每本的价格是古典名著每本价格的1.25倍．若用800元购买古典名著，剩余的资金购买原创诗歌，则购买到的古典名著的数量比原创诗歌的数量少10本． (1)求古典名著和原创诗歌每本的价格分别为多少元？ (2)由于采购方案的变化，现在共需采购古典名著、原创诗歌两种课外读物共100本，恰逢商家进行促销活动，商家决定给予一定的优惠，古典名著在原价的基础上降价，原创诗歌按原价的九折销售，购买两种读物的总费用不超过1694元，请问古典名著最少购买多少本？ 【对点5】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【对点6】中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 2．已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 3．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 4．为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 5．若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 7．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 8．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 9．关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 10．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 2、 填空题 11．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 12．方程的解是________． 13．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 14．若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 15．若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 3、 解答题 16．为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且用300元购进A种花木的数量是用250元购进B种花木数量的2倍． (1)求A、B两种花木的单价各是多少元? (2)如果购进的这批花木共600棵，A种花木至多购进400棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵?并求出最低费用． 17．中超联赛蓉城主场门票分为普通票和优选区票，已知优选区票单价比普通票贵100元；用1320元购买普通票的数量，与用2420元购买优选区票的数量相等． (1)普通票和优选区票的单价分别为多少元？ (2)某球迷协会计划购买这两种门票共40张，计划总费用不超过7000元，且优选区票数量不少于普通票数量的一半，有多少种购票方案？哪种方案总费用最少？最少是多少元？ 18．计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 19．某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 20．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $