江苏南京市2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷数学试题

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如酷改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。 3.本试卷共4页，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并 交回。 吹 超 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={-7,-3,15}.B={y=g(x+2)},则AnB= A.{-7,-3} B.{L,5 C.{-3,1,5} D.5 2.己知复数2满足(1+21)z=3-4i,z是2的共轭数，则z·z= 毁 A.5 B.5 C.3 D.5 3.在平行四边形ABCD中，M为CD的中点.记AB=a,AD=b,则MB= A.o- B.8-6 .2a+6 D.+6 4. 已知函数∫(x)= +x-2<x<0,若了存在最小值.则c的最大值为 -x,0sx<c, C. D. 5.记以长方体ABCD-AB,C,D,的四个顶点为顶点的一个三枚锥的体积为V.若AB=2, AD=3,A4=4,则V的取值集合为 A.4 B.{4,6 C.{4,8} D.4,6,8} S数学试卷第1页共4页 6.在△MBC中，A=云，BC=2,若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的取值 6 范围是 A.(0,2) B.(0,2] c.(0,2)U{4 D.(0,2]U{4} 7.已知AB为圆O:x2+y2=4的一条弦，弦AB绕点O旋转一周扫过的区域为2，若点 (1,)∈2，则A的取值范围为 A.[,2] B.[5,2 c.[2,4] D.[25,4] 8.设sina+2sinB=1,则M=sina-cos2B的取值范围是 A.[-2,2] [] c[] [ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.一组数据a,a2,,a(a1<a3<a3<.<a3o2),记其中位数为k,均值为，标准差为 5,由其得到新数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,,2ao2+1的标准差为52，则 A.k=a012 B.dou<m<aon2 C.m2k D.S:=25 10.已知函数f(x)=x2+2(x≥0)，g(x)=a沁(a>0),点P,2分别在函数y=∫(x)的 y=g(x)的图像上，O为坐标原点，则 A.若关于x的方程∫(x)-g(x)=0在[0，]上无解，则a>3c B。存在P,2关于直线y=r对称 C.若存在P,2关于y轴对称，则0<a≤2 D.若存在P2满足∠P00=90',则0<a5, "2W2c S数学试卷第2页共4页 11.在校长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，M为正方体内（含表面）的动点，N为线段 AC,上的动点，若直线AM与AB的夹角为牙，则 A.CN+DN的最小值为5 B.点M的轨迹形成图形的面积为W2+还 C.点M的轨迹与正方体表面交线的长度为二+2W2 D.当点M在侧面BB,C,C上时， 马N+M网的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在(3-x)1-x)的展开式中，x的系数为 13.设函数(x)=cosx,g(x)=cos(x+p).若对于任意的1∈R,函数(x)和g(x)中至少有一 个在(+习引上具有单调性，则P的一个取值为 14.已知直线1的倾斜角为锐角，且过抛物线y=x2的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该 抛物线的准线上存在一点C,使得△MBC为正三角形，则直线1的斜率为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 如图所示，该几何体是由一个直三校柱ADE-BCF和一个正四校锥P-ABCD组合而成， AD⊥AF,AE=AD=2. (I)证明：平面PAD⊥平面ABFE: (2)求正四校锥P-ABCD的高h,使得二而角C-F-P的余弦 值是22 3 16.(15分) 己知函数/e)=2--an(x+). (I)讨论函数∫(x)的单调性： (2)当a>0时，若m为函数∫(x)的正零点，证明：m>2Wa+1. $数学试卷第3页共4页 17.(15分) 已知双曲线r:x_上=1的右焦点为F,过点F的直线/交双曲线r右支于A、B两点 3 (点A在x轴上方)，点C在双曲线厂的右支上，直线AC交x轴于点2（点2在点F的右 侧) (I)求双曲线Γ的渐近线方程： 2若点4(2，)，且an∠BAC=分，求点c的坐标： 3)若△A8c的重心G在x轴上，记△MFG、△C2G面积分别为S、S,求兰的最小值. 18.(17分) 已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2+c2=4ab. (I)求角C的取值范围： (2)i证明：c0s(4-B)=osC+2c0sC-2 cosC-2 1 1 (3)求 、3 tan方tan8+tanC的取值范围. 19.(17分) 定义：若一个数列{a,}满足其首项为0，且对于yneN,al可所取an+1或an-1的 概率均为0.5，则我们称该数列为可取数列，已知数列{a}为可取数列"。 （0求证Pa3=0=分 (2)在“可取数列{an}中，设随机变量Y是a2a1的值，求： ①Y的概岸分布： ②YI的期望E(IYD. S败学试卷第4页共4页 2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷 数学试题参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.B 2.D 3.A 4.A 5.0 6.D 7.D 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-18 13.号答案不唯-） 14.√2 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15,本小题主要考查直线与直线、直线与平面，平面与平面的位置与面面垂直判定定理等关系等基 础知识，考察空间想象能力和推理论证能力，满分13分 解：(1)证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE, 所以AB⊥AD,又AD L AF,AB∩AF=A, 所以AD⊥平面ABFE,ADc平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABFE. (2)由（I)知AD⊥平面ABFE,以A为原点，AB,AE,AD方向为x,y,z轴建立空间直 角坐标系A-2,如图 设正四棱锥P-ABCD的高h,AE=AD=2,则A(00,0),F(2,2.0),C(2,0,2),P(1,-h,1), 设平面ACF的一个法向量m=（x,,), 则i:=2斯+2%=0， x=1,则y=名=-1，所以i=(1,-1,-1) m.AC=2x+2z1=0, 设平面AFP的一个法向量n=(,2,22) 取x2=1,则2=-1,32=-1-h,所以i=(1,-1,-1-h) 二面角C-AF-P的余弦值是22 3 解得h=1. 16本小题主要考查用导数研究函数的单调区间与性质，考察综合运用数学思想方法分析与解决问 题，以及逻辑推理能力，满分15分 解：()函数J()的定义域为(-+w),)=x-1-。=-+0, x+1x+1 ①当a+1≤0即a≤-1时，'(x)≥0，函数∫(x)单调递增，增区间为(-1，+o),没有减区间； ②当1+a>0,令'(x)=0,解得x=±+a,当-1<-√a+1<0,0<√a+1<1,即-1<a<0时， 可得函数f(x)的减区间为(-a+,Va+i),增区间为(-l,-a+),(a+,+∞： ③当-√a+i≤-l,则√a+1≥1，即a≥0，可得∫(x)减区间(-l,a+,增区间(Va+1,+∞)： 综上，当a≤-1时，增区间为(-l,+∞)： 当-1<a<0时，减区间为(-a+l,a+),增区间为(-1，-√a+可)，(Na+1,+o: 当a≥0时，减区间为(-l,Va+可，增区间为(a+l,+: (2)由(1)可知当a>0时，函数∫(x)的减区间为(L,Va+可，增区间为（√a+1,+∞）， 可知m>2a+1等价于f(m)>f2a+.因为f(0)=0,m为函数∫(x)的正零点， 所以f(m)=0,等价证明f(2a+<0, Xf(2/a+1)-2(a+1)-2Va+1-aln(2/a+I+1). 令1=2Wa+1>2),有a=-4, 4 8/0=tf片t+=2.+2-2ae+ 2 =-2[2-+2h+--2+2[21ne+, ◆g间-÷6e+eg有ea4j0 x2 可得函数g(x)单调递减，有g(x)≤g(2)=1-ln3<0, 可得当>2时，平2-+k0. 故有∫2Wa+1)<0,可得m>2Wa+1得证 17.本小题主要考查直线方程，双曲线方程，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，向量 数量积等基础知识，考查推理论证能力，分析能力和运算求解能力，满分15分 解《()已知双曲线r:-苦-，则a=lb=5,所以双曲线方程为y=士5x: (2)双曲线r:x-二=1的右焦点F2,0),又4〔2,3)，所以B10F,则B(2,-3), 3 因为am∠4C=所以kct(B4c+引-=-2, 则直线AC:y-3=-2(x-2),即y=-2x+7, 所以 2-号-1与-28x+52=0,解得写=26=26，即e-26, 3 y=-2x+7 则yc=-2×26+7=45,所以点C的坐标为(26，-45)： (3)设直线AB:x=y+2,A(x,为)，B(x2,y2),C(为)， x=y+2 -号r-产41w+90写A=+20%*⅓=品%=品 12 9 因为直线I过点F且与双曲线T右支交于A、B两点，所以1e 又因为△ABC的重心G在x轴上，所以+片+为=0， 由点2在点F的右侧，可得为<0，所以片+乃>0，解得1>0，所以1∈ 而y-=V+y)'-4y,代入可得y-⅓= 6W2+1 312-1 S AF y 所以义- AB =-五=-少 Cg-以+ SVACG AC片-y 2y+y2 =4+为++必=上+丛+1- (4-2)y+y2)片-2 (4-+)1 代入化简可得：足=134++1， S28n2+1 所以是r1=r+1≥2二f+15 +1, S 82+1 8+18+1 V8+1 8+1 2 当且仅当：=开时客号成立，所以受的最小位为1 11 18本小题主要考查正弦定理余弦定理，同角三角函数关系，两角和与差们三角函数等基础知识， 考察运算求解能力，满分17分. a2+b2>c2 [a2+b2>4ab-a2-bi 解：（1)因为△ABC是锐角三角形， 故c2+b2>a2,得 ab-d2-8+b>a2,得)<g<2且g1, a2+c2>b2 a2+4ab-a2-b2>b2 2b b cosC-+-￡.产+-b-a-】+白-2，由于对勾函数y=+在经 2ab 2ab b a 单调递减，在(1,2)单调递增， 当1-2或=2时，1+ y=4+2,当且仅当：=1时，取等号，故当行小(，2)时， 2 b a (2)由正弦定理可得，(2 RsinA)'+(2 RsinB)'+(2 RsinC)'=4(2R)'sin4sinB, sin2 4+sin2 B+sin2C=4sin Asin B, sinin-(c0s24+co) 2 过和差化积得，s24+29=1-2r（24生2）m(42） =1-cos(4+B)cos(A-B)=1+cosCcos(4-B), 4sin Asin R=4x-[cos(4+B)-cos(4-B)]--2[-coC-cos(A-)]-2cosC+2c0(A-) 代入可得，1+cosCcos(A-B)=2[cos(A-B)+cosC]-1+cos2C, 整理可得(cosC-2)cos(A-B)=cos2C+2cosC-2,因为cosC≠2， 所以两侧同时除以cosC-2,可得cos(4-B)=cosC+20sC-2】 cosC-2 （8)设过过gc则x++8=4 4ab 2 4S =2absinc sinC 令品c 由在三角形中amA=-tam(B+C二n5nC,tan (tan8tanC-刂=tamB+mC 所以an4+tamB+tamC=-tan Atan Btan C,所以，LL+,L,LtL,1 tan 4 tan B tan B'tanC tanC'tan=1, 即y+z+2x=1,则s”=2+y2+3z2，且2+y2=(x+y2-2y=(k-z-21-z(k-z刃， 化商s=2-2,因为品c所以c层所以ec=图-_是 所以S∈(2,4). sinC 2 19本小题主要考查等差和等比数列的定义，通项公式，性质等基础知识，同时考查离散型随机变 量的均值与独立事件的乘法等概率分布，考察代数推理转化以及综合运用数学知识探究与解 决问题的能力，满分17分. 解)解：当0a-1-0时概车为行 当a=0,a=-a,=0时概率为2×24 11_1 所以4，=0的概率为4+42 111 (2)（i)设dn=an1-aw, 则对任意正整数a,d,取1或1的概率均为分，且a4=4+之(ou-4)-=之， 设a21=k.显然k≤2n, 再设此时d,42,…,dn中有x个1,2n-x个-1，则X=x-(2n-x)=2(x-n)=k, 因此k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值，所以X=2m(m=±1,2，…，±n), 对于偶数2m(m=0,±l,,士n), 事件{X=2m}相当于在2n个数d,42,",dn中，有n+m个取1，n-m个取-1， 所以X的展率分布可表茶为P(K=2m)-器(u=0,-,士切 (i)对任意1≤i≤n,可得P(X=-2m)=P(X=2m) 所以P(X-2m)=器(m=2,, 4t0-器六宫c+c-心] 22cwc到28c-2 2[2n×2x2-2-c川]g