第九章 图形的变换【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 图形的变换【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平移的性质求解 题型二 利用平移解决实际问题平移（作图） 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型六 作角平分线（尺规作图） 题型七 台球桌面上的轴对称问题 题型八 轴对称中的光线反射问题 题型九 折叠问题 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 电子钟示数的镜面对称 题型十二 旋转中的规律性问题 题型十三 根据旋转的性质求解 题型十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十五 求旋转对称图形的旋转角度 题型十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型十八 中心对称图形规律问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.性质： （1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形全等. （2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. （3）对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 3.作图步骤： （1）确定平移的方向和距离. （2）找出原图形的关键点. （3）按平移方向和距离，分别作出各关键点的对应点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到平移后的图形. 知识点二 轴对称 1.定义： （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等; （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 3.作图步骤： （1）确定对称轴. （2）找出原图形的关键点. （3）作出各关键点关于对称轴的对称点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对称点，得到轴对称后的图形. 知识点三 旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质: （1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.作图步骤: （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角，分别作出各关键点的对应点； （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平移的性质求解 【例1】（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 【变式】（25-26七年级下·天津河西·期中）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点均在格点上． （Ⅰ）与的位置关系为__________； （Ⅱ）在如图所示的网格中，是线段上一点，是线段上一点，且．连接，，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 题型讲练二 利用平移解决实际问题平移（作图） 【例2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【变式】（25-26七年级上·上海·期末）已知，直角梯形的上底为厘米，下底为厘米，高为厘米．正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为秒，两个图形的重叠部分面积为平方厘米，则当时，_____． 题型讲练三 作已知线段的垂直平分线 【例3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【变式】（25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 题型讲练四 作垂线（尺规作图） 【例4】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【变式】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 题型讲练五 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例5】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形内有一点， (1)将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (2)连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (3)直接写出折痕与的位置关系_______． 【变式】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 题型讲练六 作角平分线（尺规作图） 【例6】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【变式】（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 题型讲练七 台球桌面上的轴对称问题 【例7】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)将纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，在图1中作出折痕直线． (2)将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在边上的点处，在图2中作出点以及折痕直线． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在平面上取一点称为极点，从点引一条射线称为极轴．将绕点逆时针旋转得到，叫作射线的极角． (1)如图2，射线、的极角分别记为、，且，，．是（小于平角）的角平分线，射线的极角记为， ①若，，则________； ②若，，则________； ③请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想、、的等量关系，并说明理由； (2)如图3，射线、、的极角分别为、、（、为常数），请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出极角为的射线和的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 题型讲练八 轴对称中的光线反射问题 【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【变式】如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 题型讲练九 折叠问题 【例9】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【变式】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 题型讲练十 钟表的镜面对称 【例10】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则（    ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 题型讲练十一 电子钟示数的镜面对称 【例11】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【变式】在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    题型讲练十二 旋转中的规律性问题 【例12】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【变式】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 题型讲练十三 根据旋转的性质求解 【例13】（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转得到，其中点、的对应点为、．如果的一边与原边平行，且旋转角小于，那么的度数是______． 【变式】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺（分别含、、和、、的角）按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上．现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，将绕点以每秒的速度逆时针旋转．两个三角尺同时旋转，当第一次与重合时，两三角尺同时停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 题型讲练十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例14】（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【变式】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 题型讲练十五 求旋转对称图形的旋转角度 【例15】（25-26九年级上·江西南昌·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． (2)正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 【变式】（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 题型讲练十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例16】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【变式】（25-26七年级上·上海·月考）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 题型讲练十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例17】（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 【变式】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知的顶点、、在格点上，按下列要求在方格纸中画图． (1)画出将向右平移个单位长度后的图形； (2)画出关于直线对称的图形； (3)如果点与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心，并画出关于点成中心对称的图形 题型讲练十八 中心对称图形规律问题 【例18】（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【变式】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边所在直线与垂直的时间为（   ） A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒 4．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿折叠，点落在处，点落在，使得，若，则_____． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依次类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 8．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 9．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置． (1)观察发现：如图①所示：，，则________． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明： (3)迁移应用：如图③，已知，，当点落在边的上方和落在边下方时，请直接写出的值（用含有，的式子表示）． 10．（25-26七年级下·四川·期中）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图所示摆放，其中，若点在直线上，点在直线上． 【操作一】以如图为其中位置，小祥固定三角板不动，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． (1)当与平行时，则t的值为　　； (2)① 当秒时，与平行，求出的值． ②若时，若射线与射线相交于点，作出图形，并判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【操作二】 (3)以如图为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小祥将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，直接写出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第九章 图形的变换【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+18个题型讲练+真题实战练 共46题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平移的性质求解 题型二 利用平移解决实际问题平移（作图） 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型六 作角平分线（尺规作图） 题型七 台球桌面上的轴对称问题 题型八 轴对称中的光线反射问题 题型九 折叠问题 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 电子钟示数的镜面对称 题型十二 旋转中的规律性问题 题型十三 根据旋转的性质求解 题型十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十五 求旋转对称图形的旋转角度 题型十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型十八 中心对称图形规律问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.性质： （1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形全等. （2）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. （3）对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 3.作图步骤： （1）确定平移的方向和距离. （2）找出原图形的关键点. （3）按平移方向和距离，分别作出各关键点的对应点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到平移后的图形. 知识点二 轴对称 1.定义： （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等; （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; （3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 3.作图步骤： （1）确定对称轴. （2）找出原图形的关键点. （3）作出各关键点关于对称轴的对称点. （4）按原图形的连接顺序，连接各对称点，得到轴对称后的图形. 知识点三 旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质: （1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.作图步骤: （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找出原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角，分别作出各关键点的对应点； （4）按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平移的性质求解 【例1】（25-26七年级下·重庆永川·期中）如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】/68平方厘米 【思路引导】由平移的性质可得阴影部分的面积直角梯形的面积，再求出直角梯形的面积即可求解． 【规范解答】解：∵平移不改变图形的形状和大小， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积，， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积， 即阴影部分的面积直角梯形的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积直角梯形的面积． 【变式】（25-26七年级下·天津河西·期中）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点均在格点上． （Ⅰ）与的位置关系为__________； （Ⅱ）在如图所示的网格中，是线段上一点，是线段上一点，且．连接，，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 平行 将向右平移得到点，连接交于点，将向左平移得到，连接交于点，则点，即为所求；图见解析 【思路引导】（Ⅰ）根据纵向的网格线互相平行即可得出结论； （Ⅱ）将向右平移得到点，连接交于点，将向左平移得到，连接交于点，则点，即为所求. 【规范解答】解：（Ⅰ）∵在纵向的网格线上， ∴； （Ⅱ）如图，将向右平移得到点，连接交于点，将向左平移得到，连接交于点，则点，即为所求. 理由如下：∵由题意可知：， ∴， 当三点共线时，最短，即：最短． 题型讲练二 利用平移解决实际问题平移（作图） 【例2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【思路引导】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【规范解答】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 【变式】（25-26七年级上·上海·期末）已知，直角梯形的上底为厘米，下底为厘米，高为厘米．正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为秒，两个图形的重叠部分面积为平方厘米，则当时，_____． 【答案】或/或 【思路引导】本题考查一元一次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段未进入正方形内部时，②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，共六种情况讨论列出方程或推导即可得解． 【规范解答】解：标记和作图如下，其中于，四边形是直角梯形，四边形是正方形： 依题意可知，，，， ∴， ∴，， ①当线段未进入正方形内部时，，，即， ∴， 此时重合部分是，， 此时无解； ②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，，，即， ∴， 则重合部分是直角梯形，， ∴， 解得； ③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，，，即，， ∴， 此时重合部分是五边形， ∴， 即此时无解； ④当点在线段的延长线上时，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是五边形， ∴， 此时无解； ⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是长方形，， ∴， 解得； ⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，，，即， ∴， 则此时重叠部分为线段或无重叠，无解； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 题型讲练三 作已知线段的垂直平分线 【例3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)见解析 【思路引导】（1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题； （3）在上取格点，根据点M向右平移2格向下平移1格到达点C，将点B向右平移2格向下平移1格到达点D，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． （3）解：如图，即为所求． 【变式】（25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【思路引导】本题考查平移，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，平面直角坐标系的应用，进行解答，即可． （1）根据平移，画出图形，即可； （2）根据平面直角坐标系，即可得到； （3）根据平移可得，在平移过程中扫过的面积为：，即可． 【规范解答】（1）解：即为所求． （2）解：如图可知：，，． （3）解：在平移过程中扫过的面积为： ． 题型讲练四 作垂线（尺规作图） 【例4】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【思路引导】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【规范解答】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 【变式】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)， 【思路引导】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． ②结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （2）点到直线的距离即为该点到直线的垂线段长度，据此即可作答． 【规范解答】（1）解：如图所示： ①是线段的垂线，②是线段的垂直平分线； （2）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：，． 题型讲练五 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例5】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形内有一点， (1)将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (2)连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (3)直接写出折痕与的位置关系_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）连接，作的线段垂直平分线即可； （2）作的角平分线即可； （3）求出，，则，据此即可得． 【规范解答】（1）解：如图，折痕即为所作． ． （2）解：如图，折痕即为所作． ． （3）解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)60 (2) 见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据法线与平面镜垂直求出入射角的度数即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角可知，法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （3）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【规范解答】（1）解：∵入射光线与平面镜的夹角为， ∵法线与平面镜垂直， ∴入射角的度数为， ∴反射角的度数是； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 题型讲练六 作角平分线（尺规作图） 【例6】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分线段 【思路引导】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先根据轴对称的性质得出，再根据，求出的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出，再根据求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （3）解：直线垂直平分线段．理由如下：如图， ∵，关于直线对称， ∴直线垂直平分线段． 【变式】（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【规范解答】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 题型讲练七 台球桌面上的轴对称问题 【例7】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)将纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，在图1中作出折痕直线． (2)将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在边上的点处，在图2中作出点以及折痕直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）折叠后点与点重合，根据折叠性质，折痕是线段的垂直平分线，用尺规作出线段的垂直平分线，即为所求折痕直线； （2）根据折叠性质，点落在上的点处，满足，且过点的折痕平分． 用尺规作的平分线，即为所求折痕直线． 【规范解答】（1）如图1，直线m即为所求； （2）如图2，点N和直线n即为所求． 【变式】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在平面上取一点称为极点，从点引一条射线称为极轴．将绕点逆时针旋转得到，叫作射线的极角． (1)如图2，射线、的极角分别记为、，且，，．是（小于平角）的角平分线，射线的极角记为， ①若，，则________； ②若，，则________； ③请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想、、的等量关系，并说明理由； (2)如图3，射线、、的极角分别为、、（、为常数），请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出极角为的射线和的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②；③当时，；当时，；理由见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了极角的定义，角的和与差计算，尺规作图． （1）利用极角的定义结合角的和与差计算即可求解； （2）作，则射线的极角为；再利用作角的尺规作图法即可作出的角平分线． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ③当时，， ∵平分， ∴， ∴； 当时，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵射线、的极角分别为、， ∴， ∴作，则射线的极角为； 如图，射线、即为所求． ． 题型讲练八 轴对称中的光线反射问题 【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 【变式】如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【规范解答】解：如图， ∵A，P关于BD对称， ∴∠AQB=∠PQB， ∵∠PCB＞∠PQB， ∴∠PCB＞∠AQB， 故选：C． 【考点剖析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型讲练九 折叠问题 【例9】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【思路引导】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行； (2) 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）根据平行线性质及反弹规律可求得结果； 【规范解答】（1）（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． （2）解：过点作，如图所示： ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． 题型讲练十 钟表的镜面对称 【例10】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则（    ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先利用平行线和折叠性质求出，再通过同旁内角互补求出． 【规范解答】解：根据题意可知，， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）延长交于点，根据角的和差关系，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的大小即可； （2）设交于点，交于点，设，根据平行线的性质和三角形的内角和为180度，推出即可； （3）根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，分点在上和的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：延长交于点， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：是定值，理由如下： 设交于点，交于点， ∵与的平分线交于点O， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵， 故是定值； （3）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵的平分线所在直线交线段于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图，设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上：． 题型讲练十一 电子钟示数的镜面对称 【例11】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【规范解答】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式】在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    【答案】 【思路引导】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解． 【规范解答】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查镜面反射的原理与性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 题型讲练十二 旋转中的规律性问题 【例12】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【思路引导】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【规范解答】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 【变式】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【规范解答】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 题型讲练十三 根据旋转的性质求解 【例13】（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转得到，其中点、的对应点为、．如果的一边与原边平行，且旋转角小于，那么的度数是______． 【答案】 或 【思路引导】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，先根据旋转的性质得到，再分平行于、平行于的情况讨论． 【规范解答】解：绕顶点逆时针旋转得到， ， 的一边与原边平行， 当平行于， ， ； 当平行于， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺（分别含、、和、、的角）按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上．现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，将绕点以每秒的速度逆时针旋转．两个三角尺同时旋转，当第一次与重合时，两三角尺同时停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为秒或秒 【思路引导】（1）根据列式求解即可； （2）由旋转性质可得，，根据角的和差关系表示出，，然后根据列方程求解即可； （3）根据题意可得，然后分两种情况讨论：当与重合前，当与重合后，根据角的和差关系表示出，然后列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，当以为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角尺性质可知，，， ， 至少旋转，才能使落在上； （2）解：由旋转性质可得，， 设， ，， ， ，解得， 即； （3）解：设的平分线为，的平分线为， ， ，， 根据题意得，， 当与重合前，， 与两角平分线的夹角为，即， ，解得； 当与重合后，， 与两角平分线的夹角为，即， ，解得． 综上，的值为秒或秒． 题型讲练十四 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例14】（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或或 (3)；理由见解析 【思路引导】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分三种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）解：①如图，， ， ②如图，， ， ③如图，延长交于点， ， ， ， ， ， 综上所述：度数为或或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 【变式】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 【答案】(1)①；② (2)，成立，理由见详解 (3)当时，射线旋转的时间t的值为或 【思路引导】本题主要考查角的变换计算与角的和差运算，角平分线的性质，解一元一次方程的综合，掌握角平分线的性质与角的和差运算，射线运动与角度数量关系是解题的关键． （1）根据题意，，①根据图示得，由此即可求解；②根据图示得，由此即可求解； （2）解析方法与②的类似； （3）根据题意，分类讨论，①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线；②如图所示，射线追上射线；运用角平分线的性质，图形结合分析即可求解． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∵直角三角尺， ∴， ∵平分， ∴， ①若， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②根据上述的证明可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，成立，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止， ∴旋转一周的时间为：（秒）， ∵射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转， ∴当停止时，射线旋转的度数为：， 根据题意，设运动时间为，射线的运动速度比的速度快， ①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线， ∴，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； ②如图所示，射线追上射线， 根据①中证明，当时，，即当时，射线与射线重合， ∴当时，， 根据题意，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； 综上所示，当时，射线旋转的时间t的值为或． 题型讲练十五 求旋转对称图形的旋转角度 【例15】（25-26九年级上·江西南昌·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． (2)正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 【答案】(1)①② (2)正十五边形 【思路引导】本题考查正多边形的性质和图形旋转的性质： （1）根据题意求出，其中n为正多边形的边数，120°能被整除则满足题意； （2），要满足题意，则可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍． 【规范解答】（1）解：如图： ，，， 能被整除，不能被整除， ∴①等边三角形和②正六边形是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°． 故答案为：①②； （2）②，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍，如正十五边形． 故答案为：正十五边形． 【变式】（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)①对；②对 (2)正五边形；正十边形 【思路引导】本题考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法，是解题的关键： （1）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；②根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：①， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； 故答案为：对，对； （2），， 正五边形满足有一有旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 题型讲练十六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例16】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【思路引导】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设运动时间为秒，则 ， ， ， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·上海·月考）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【思路引导】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【规范解答】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【考点剖析】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 题型讲练十七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例17】（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了在正方形网格中利用无刻度的直尺作中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【规范解答】（1）如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求． 【变式】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知的顶点、、在格点上，按下列要求在方格纸中画图． (1)画出将向右平移个单位长度后的图形； (2)画出关于直线对称的图形； (3)如果点与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心，并画出关于点成中心对称的图形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了网格作图，作平移图形，作轴对称图形，中心对称的性质，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）平移作图即可； （2）轴对称作图即可； （3）根据中心对称的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：如图所示即为所求： （3）解：如图所示即为所求： 题型讲练十八 中心对称图形规律问题 【例18】（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【规范解答】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 【变式】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据中心对称的性质解答即可． 【规范解答】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据折叠的性质得，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补进行求解． 【规范解答】解：由折叠可知， 又， ， 在长方形中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 【答案】D 【思路引导】根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【规范解答】解：1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边所在直线与垂直的时间为（   ） A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒 【答案】D 【思路引导】根据旋转的性质，垂线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【规范解答】解：由题意知，分以下几种情况讨论： ①如图，当时，设与交点为H，与交点为K， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转时间为； ②如图，当时，设与交点为H， ∵，， ∴， ∴旋转时间为； ③如图，当时，设与交点为H，与交点为K， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转时间为， 综上所述，恰有一边所在直线与垂直的时间为3秒或5秒或9秒． 4．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【思路引导】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿折叠，点落在处，点落在，使得，若，则_____． 【答案】 【思路引导】根据长方形对边平行得到内错角相等，利用平行线性质求出，再结合折叠性质确定，则可求． 【规范解答】解： 由折叠的性质得， ∵ ， ∴ ∴， ， ． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依次类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 【答案】 【思路引导】由折叠的性质折叠n次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【规范解答】解：如图， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， .....， ∴； 故答案为：． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 【答案】(1)直线垂直平分线段 (2) 【思路引导】（1）根据轴对称图形的性质即可得出结果； （2）根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； （2）解：如图，线段即为所求的线段．． 8．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5； 【思路引导】（1）根据题干中作图步骤进行作图即可； （2）先作的垂直平分线，即为折痕，以点A为圆心，为半径画弧，交于一点，该点即为点E，连接，作的垂直平分线，交于点F； （3）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，根据平角得出，最后根据三角形内角和定理求出即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）解：如图，、即为所求； （3）解：根据折叠可得：，， ∴； 根据折叠可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置． (1)观察发现：如图①所示：，，则________． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明： (3)迁移应用：如图③，已知，，当点落在边的上方和落在边下方时，请直接写出的值（用含有，的式子表示）． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)点落在边上方时；点落在边下方时 【思路引导】（1）过点作，根据翻折的性质以及平行线的性质求解； （2）过点作，根据翻折的性质以及平行线的性质证明； （3）根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图①所示，过点作， ∵， ∴， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图②所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； （3）解：①点落在边上方时，如图③所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； ②点落在边下方时，如图④所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴； 综上，点落在边上方时；点落在边下方时． 10．（25-26七年级下·四川·期中）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图所示摆放，其中，若点在直线上，点在直线上． 【操作一】以如图为其中位置，小祥固定三角板不动，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． (1)当与平行时，则t的值为　　； (2)① 当秒时，与平行，求出的值． ②若时，若射线与射线相交于点，作出图形，并判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【操作二】 (3)以如图为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小祥将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，直接写出的值． 【答案】(1)秒 (2)①；②见解析， (3)秒，秒 【思路引导】（）利用时需与平行的条件，结合三角板旋转后与的夹角变化列方程求解时间； （）①根据两直线平行时倾斜角相差的性质，结合旋转后的倾斜角与的固定倾斜角列方程求解时间；②通过过交点作，利用余角定理，推导得出与的和为定值； （）先表示出旋转秒后和的倾斜角，利用两直线平行时倾斜角相差的整数倍列方程，结合的范围，代入整数验证，得到符合条件的和． 【规范解答】（1）解：当时， 初始时，与（方向）夹角为， ∵在上，，若，则需与平行， ∴三角板逆时针旋转秒后，与夹角为， 即与（）夹角为，即，解得； （2）① 当时， 初始与轴（）倾斜角为，旋转秒后倾斜角为；固定，倾斜角为（直线平行倾斜角相差）， ∵，则， 解得， 即； ② 是定值， 证明： 过交点作于点，交于点，交于点 ∵在中，，在中，， 又∵ ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∵ ∴； （3）解：旋转秒后，倾斜角为，倾斜角为，平行时倾斜角相差（为整数）： 整理得，结合： 时，，符合； 时，，符合； ∴或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $